库埃特流（平行平板间剪切流）

上板以速度 $U$ 移动的平行平板间定常层流。线性速度分布 $u(y) = Uy/h$ 为严格解。Navier-Stokes方程最简单的非平凡解，用于CFD求解器粘性项的实现验证。ASME V&V 20代码验证步骤的出发点最合适。

速度场在空间上呈线性分布，因此任何离散化方案（有限体积法、有限元法、差分法）理论上都应该能精确求解。若数值解与理论解不一致，则表明离散化或边界条件的实现存在缺陷。通过引入压力梯度的广义库埃特流（Couette-Poiseuille流）可扩展到验证抛物线分布。

在定常、不可压缩、充分发展流的假设下，Navier-Stokes方程为

对于广义库埃特流（Couette-Poiseuille流）

$h = 0.01$ m、$U = 1$ m/s、$\mu = 0.001$ Pa·s（水相当）、$\rho = 1000$ kg/m³。Re = $\rho U h/\mu = 10000$，但强制层流解。

使用simpleFoam。案例结构为：

使用 fixedValue 直接指定墙面速度。movingWallVelocity 边界条件是为网格移动的ALE计算设计的，对于墙面位置固定只改变速度的情况，用fixedValue即可。

在墙面边界条件中启用Moving Wall选项，设置Speed = 1 m/s。用定常求解器（压力基础、耦合或SIMPLE）求解。离散化选择Second Order。

在Re = 10000下启用湍流模型时，层流理论解会偏离。k-ε模型在墙附近生成湍流粘性，速度分布变为非线性。这是湍流模型的特性，不是代码缺陷。代码验证必须使用Laminar模型运行，以确保与理论解匹配。

线性速度场，线性或更高阶的离散化方案理论上能用1个单元得到精确解。实际上取决于FVM面插值（linear、upwind等）的阶次。

不是。"应该精确匹配但不匹配"时能检出缺陷。边界条件内部插值、墙面速度处理、压力方程零梯度条件等实现细节中可能潜藏错误。此外，非均匀网格（偏置网格）的精度验证也能用上。

用Python脚本自动化以下步骤：

正是。通过入出口压力差给压力梯度后，验证框架切换到抛物线分布对比。判定标准随网格依赖性转为GCI基础评估。此阶段upwind与linear的差异变得显著，离散化方案精度比较有了意义。

库埃特流壁面剪切应力为 $\tau_w = \mu U/h$ 保持不变。与CFD求解器的壁面摩擦系数（skin friction coefficient）对比：$C_f = \tau_w / (0.5\rho U^2) = 2\mu/(\rho U h) = 2/\text{Re}_h$。

壁面函数基于湍流壁律（粘性底层的 $u^+ = y^+$，对数区的 $u^+ = (1/\kappa)\ln(y^+) + B$），对层流库埃特流不适用。用壁面函数求解会在剪切应力中引入系统误差。层流验证必须用Laminar viscous model。

幂律流体 $\tau = K\dot{\gamma}^n$ 的库埃特流存在理论解。速度分布为

运行 $n = 0.5$（拟塑性）和 $n = 1.5$（膨胀性）两个工况。验证理论值匹配后再进入实际流变数据（高分子溶液、血液等）。非牛顿模型参数输入（OpenFOAM的transportProperties中viscosityModel powerLaw设置）的正确性由这个简单验证来保证。

高度方向5个单元网格上的速度分布对比如下。

墙面附近速度插值方式因求解器而异，壁邻单元梯度计算会有微小差异。特别是OpenFOAM的corrected snGrad与uncorrected snGrad在壁面通量精度上不同。非正交网格时差异扩大，skewness > 0的网格比较测试很有用。

库埃特流情况下，div(phi,U)用upwind、linearUpwind或limited linear结果相同（对线性场都精确）。差异出现在非正交网格的laplacian(nu,U)方案选择：

正确。库埃特流+正交网格所有方案给相同结果。这正是它作为代码验证出发点的优势——从这里出发逐步引入非正交网格和非线性问题，分阶段切分各设置的影响。

域分割边界的进程间通信若正确实现，串行结果应完全一致。但浮点加法顺序不同会产生舍入误差（ $10^{-15}$ 量级）。

非常重要的基准问题。内圆筒以角速度 $\Omega$ 旋转时，速度分布为

DiPrima和Swinney（1981）的实验数据为参考。半径比 $\eta = 0.5$ 时临界Taylor数约 $\text{Ta}_c \approx 41.2$。通过FEA或CFD本征值分析或非定常仿真追踪力矩变化来确定临界值。OpenFOAM用pimpleFoam时间推进，寻找轴向速度分量开始增长的Re数。

Stokes第二问题（振荡平板）有严格解。壁面速度 $U_0\cos(\omega t)$ 下

振荡周期 $T = 2\pi/\omega$ 的百分之一以下为目标。用Crank-Nicolson（二阶）或BDF2（二阶）时间离散化，通过系统改变 $\Delta t$ 验证精度。时间方向Richardson外推可估计时间离散化误差。

平面库埃特流的湍流转迁有个有趣特性：线性稳定性理论无法预测（所有Re数都线性稳定）。实际上Re ≈ 350时发生转迁，属于有限幅值扰动的亚临界转迁。DNS再现转迁过程并与实验数据（Tillmark and Alfredsson, 1992）对比，是当前活跃研究领域。

用来验证湍流DNS/LES代码。转迁Re数再现性、统计量（平均速度分布、Reynolds应力）与实验一致性成为Validation指标。但转迁对初始扰动敏感，需统计比较。这属Solution Verification而非Code Verification范畴。

按顺序检查：

检查迭代法收敛残差。simpleFoam默认残差基准约 $10^{-5}$，速度场会残留该量级误差。在residualControl中将U基准设为 $10^{-8}$ 以下可达机器精度。

blockMesh z方向设为1个单元，前后面设empty边界。常见错误：

库埃特流这样的2D问题用3D（z方向多单元+symmetry）求解结果应一致。若不同说明empty边界实现有问题。这也是一种回归测试。

库埃特流本质简单，SIMPLE应快速收敛。收敛慢时尝试：

相同。这些求解器默认设置下数十次迭代就能收敛库埃特流。收敛不了首先检查单位系统。Fluent默认m-kg-s，若用mm输入物性量级偏离导致收敛极慢。