1次元非定常熱伝導（半無限体）

这是验证热分析求解器瞬态分析功能的经典问题，涉及表面温度瞬间变化到 $T_s$ 的半无限体温度响应。它存在包含误差补函数 erfc 的精确解。这是NAFEMS T1和T2基准测试的理论基础。

正是如此。是热传导代码验证的第一步。其特点是能够验证空间离散化和时间离散化两方面的精度，这是结构问题所不具备的。

傅里叶热传导方程（一维）为

其中 $\alpha = k/(\rho c_p)$ 是热扩散率。初始条件 $T(x,0) = T_i$、边界条件 $T(0,t) = T_s$ 下的精确解为

erfc 是互补误差函数。温度衰减到表面值1%的渗透深度约为 $\delta \approx 3.6\sqrt{\alpha t}$。

有的。表面的热通量为

当 $t \to 0$ 时发散至无穷大。这是由于瞬时温度变化这一非物理边界条件引起的奇异性，在FEA中会导致初始几个时间步的精度下降。如果采用斜坡输入（温度线性上升）则可以避免奇异性。

$T_i = 0$°C、$T_s = 100$°C、$k = 50$ W/(m·K)、$\rho = 7800$ kg/m³、$c_p = 500$ J/(kg·K)。$\alpha = 1.282 \times 10^{-5}$ m²/s。

$t = 10$ s 时 $x = 0.01$ m 处的温度：

$\eta = 0.01/(2\sqrt{1.282 \times 10^{-5} \times 10}) = 0.441$

$T = 100 \times \text{erfc}(0.441) = 100 \times 0.534 = 53.4$°C

NAFEMS T1基准测试使用等效参数对钢材进行单面加热。

• 前向欧拉（显式）: 一阶精度。需满足 $\Delta t < h^2/(2\alpha)$ 的CFL条件。满足条件则稳定，但 $\Delta t$ 会变得非常小
• 后向欧拉（隐式）: 一阶精度。无条件稳定，但时间方向的数值扩散较大
• Crank-Nicolson: 二阶精度。无条件稳定。但对于阶跃变化会产生过冲（类似Gibbs现象的振荡）
• Galerkin法（$\theta = 2/3$）: 抑制振荡的同时保持较高精度

Abaqus的HEAT TRANSFER步骤默认是后向欧拉。TRANSIENT HEAT TRANSFER中可以设置Alpha（AMPLITUDE parameter）。$\alpha = 0$ 对应后向欧拉，$\alpha = 0.5$ 对应Crank-Nicolson。

Nastran的SOL 159（非线性瞬态热）采用Newmark型$\theta$法，默认 $\theta = 0.5$（相当于Crank-Nicolson）。

在半无限体问题中，温度渗透深度 $\delta(t) = 3.6\sqrt{\alpha t}$ 随时间增加，因此需要在表面附近集中网格。

推荐设置：

• 表面单元尺寸：$h_{min} = \delta(t_{final})/20$
• 几何级数偏置：以1.5〜2.0的比率向内部逐渐变粗
• 模型长度：$L > 5\delta(t_{final})$ 以近似半无限体
• 时间步长: $\Delta t = h_{min}^2/(4\alpha)$ 作为初始参考，并通过GCI确认

当然可以。固定空间网格，系统性地改变$\Delta t$，就可以进行时间方向的Richardson外推。同样，固定$\Delta t$，改变空间网格，就可以得到空间方向的GCI。独立评估两者是ASME V&V 20的推荐流程。

Abaqus: 使用DC1D2（1D热传导单元）或DC2D8（2D）求解。INITIAL CONDITIONS, TYPE=TEMPERATURE 设置初始温度，BOUNDARY 固定表面温度。

Nastran: SOL 159 + CHBDY单元定义边界条件。使用TLOAD1/TLOAD2指定时间相关的温度边界条件。

OpenFOAM: 使用 laplacianFoam（纯热传导）。在 boundary conditions 中使用 fixedValue + uniform 指定温度。

COMSOL: Heat Transfer in Solids 模块。使用 Time Dependent Study 进行瞬态分析。

OpenFOAM主要用于CFD，但laplacianFoam是纯扩散方程求解器，因此可以直接用于热传导。不过，如果只求解固体的热传导，使用CalculiX或Code_Aster更自然。对于流体与固体的耦合（共轭传热: CHT），OpenFOAM的chtMultiRegionFoam会发挥作用。