库埃特流动
库埃特流动的理论基础
概述
老师，什么是库埃特流？
是指两块平行平板之间夹着的粘性流体，其中一块板以速度 $U$ 移动所驱动的剪切流。由于存在精确解，它是用于验证CFD代码精度的最基本问题之一。
精确解
精确解是什么形式？
在充分发展的平面库埃特流中，速度分布是简单的线性分布。
其中 $h$ 是板间距，$y$ 是距静止板的距离。
剪切应力在壁面处均匀，与距离无关，
其中 $\dot{\gamma} = U/h$ 是剪切速率。
速度只是线性变化啊。真简单。
库埃特-泊肃叶流
在板的移动之外还存在压力梯度时，就变成库埃特-泊肃叶流。
第一项是库埃特分量（线性），第二项是泊肃叶分量（抛物线）。根据压力梯度的符号和大小，会产生顺压、逆压、逆流等多种速度分布。
是库埃特和泊肃叶的叠加啊。
泰勒-库埃特流
同轴双圆筒间的库埃特流称为泰勒-库埃特流，由内筒旋转驱动。当泰勒数
超过临界值 $Ta_c \approx 1708$ 时，会出现泰勒涡。这是由离心不稳定性引起的分岔现象，是图案形成的经典问题。
泰勒涡，就是那个漂亮的环状图案吧。
是的。进一步提高Re数，会向波状涡、调制波状涡、湍流泰勒涡过渡。这条路径是湍流转捩的教科书案例。
库埃特流支撑食品工厂的理由
库埃特型流变仪——将样品夹在两块板之间并旋转其中一块的装置——是食品、化妆品行业粘度测量的标准设备。蛋黄酱、巧克力、洗发水、牙膏……这些都是“剪切速率改变粘度的非牛顿流体”，无法用简单的管式粘度计测量。以库埃特流的理论解（速度呈线性分布）为前提，可以准确推导出相同剪切速率条件下的粘度。在食品制造商的质控部门，每天早晨用库埃特型流变仪确认产品粘度是日常工作。看似不起眼的理论，支撑着我们的日常餐桌。
数值解法与实现
数值解法
如何数值求解库埃特流？
平面库埃特流可归结为一维问题，所以非常简单。
平面库埃特流的离散化
在充分发展条件下 $\partial u/\partial x = 0$，控制方程为
若是纯库埃特流（$dp/dx = 0$）则
用中心差分将其离散化得
可以用三对角矩阵求解呢。
是的。边界条件是 $u(0) = 0$（静止板）、$u(h) = U$（移动板）。即使是二阶精度的中心差分，无论网格数多少，结果都与精确解一致。这就是它被用于验证的原因。
泰勒-库埃特流的数值解法
泰勒-库埃特流是轴对称的，但泰勒涡的出现是三维现象，因此需要 $(r, \theta, z)$ 三个分量。
数值方法的选择：
- 谱方法: 周向Fourier、轴向Fourier（周期BC）、径向Chebyshev
- 有限体积法: 圆柱坐标系下的结构网格。$r$ 方向在壁面附近细化
用有限体积法模拟泰勒涡需要多少分辨率？
径向至少20~30个网格，轴向每个泰勒涡波长10~15个网格是基准。计算域的轴向长度取涡波长的整数倍（通常4~8个波长）并使用周期边界条件。
与稳定性分析的比较
要通过数值计算求泰勒涡的临界Ta数，需要从添加了微小扰动的初始条件出发进行时间推进，观察扰动的增长/衰减。若与理论值 $Ta_c = 1708$ 在2%以内一致，即可确认代码的有效性。
数值再现稳定性的临界值是个很好的精度测试呢。
泰勒涡教给我们的“数值不稳定先兆”
在库埃特流的数值计算中，提高旋转速度到某个点时，速度场有时会出现周期性的条纹图案。这就是“泰勒涡”现象，是离心力超过粘性力时发生的结构性不稳定。计算中突然出现涡时，容易以为是“程序错误吗？”，但实际上这是物理上正确的解。计算泰勒数 $Ta$ 的话，应该会在理论上的临界值发生转捩。反过来说，可以利用库埃特流来“测试自己的代码能否正确捕捉涡的产生”。也有用于验证湍流模型运行情况的案例。
库埃特流动库埃特流动实践指南
实践指南
请告诉我将库埃特流用于CFD验证的具体方法。
我们分阶段进行。