认知不确定性与偶然不确定性
理论与物理
两种不确定性
老师，认知不确定性和偶然不确定性有什么区别？不都是“不确定性”吗？
问得好。简单来说，偶然不确定性（aleatory uncertainty）是自然界固有的变异性，即使增加再多数据也无法消除。而认知不确定性（epistemic uncertainty）源于知识不足，可以通过改进模型或增加数据来减少。
具体有哪些例子呢？
以汽车碰撞试验为例。即使同一辆车在相同条件下碰撞，钢板的屈服应力每批都会略有不同。这是自然界的变异性——即偶然不确定性。即使做一百万次试验，这种变异性也不会为零。
另一方面，碰撞仿真中使用的摩擦系数通常直接采用文献值。因为我们不知道真实值，所以暂且假设 $\mu = 0.15$，如果进行精密实验就能接近真值。这就是认知不确定性。
原来如此。“能否减少”是关键点啊！
没错。另一点重要的是，在V&V（验证与确认）的国际标准 ASME V&V 20 中，要求明确区分并量化这两者。如果混在一起，就不知道哪里还有改进的余地了。
| 特性 | 偶然性（Aleatory） | 认知性（Epistemic） |
|---|---|---|
| 别名 | 不可约不确定性、统计不确定性 | 可约不确定性、系统性不确定性 |
| 原因 | 自然变异性（概率性波动） | 知识/数据/模型的不足 |
| 可减少性 | 不可 —— 本质上是随机的 | 可 —— 通过模型改进/数据追加来减少 |
| 数学表达 | 概率分布 $f_X(x)$ | 区间 $[a, b]$、信念函数、P-box |
| CAE示例 | 材料强度的批次间波动、风荷载变动 | 湍流模型误差、未知的边界条件 |
| 传播方法 | Monte Carlo、PCE | 区间分析、Dempster-Shafer |
偶然不确定性的数学表达
如何用数学公式处理偶然不确定性？
偶然不确定性用概率论处理。给输入变量 $X$ 分配概率密度函数 $f_X(x)$，然后求输出 $Y = g(X)$ 的统计量。
输出 $Y$ 的期望值和方差可以这样表示：
也就是说，如果完全知道输入的概率分布，那么（理论上）也能计算出输出的分布，对吧？
完全正确。但实际中 $g(\cdot)$ 是庞大的CAE模型，无法解析积分。所以才会使用蒙特卡洛采样或多项式混沌展开（PCE）。
认知不确定性的数学表达
认知不确定性不能用概率分布表示吗？
这个问题很敏锐。实际上有两个学派。贝叶斯主观概率派认为认知不确定性也可以分配概率分布。另一方面，非概率方法派认为“在数据不足的情况下假设概率分布是危险的”，主张用区间或模糊集合来表示。
在区间表达的情况下，表示只知道变量 $\theta$ 的可能取值范围：
例如，湍流模型常数 $C_\mu$ 在不同文献中范围是 $0.07 \leq C_\mu \leq 0.11$。目前不知道这个范围内哪个值是“真实”的。这就是用区间表示的认知不确定性。
概率分布和区间，传播方法也完全不同吧？
正是如此。所以为了混合处理两者，就需要P-box或Dempster-Shafer理论这样的框架。
概率箱（P-box）
我听说过P-box这个名字，但说实话不太明白…
P-box（Probability box）是一种用累积分布函数（CDF）的上界和下界来表示不确定性的方法。其最大优点是可以同时处理偶然不确定性和认知不确定性。
用具体例子来思考。假设钢材的屈服应力服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$（这是偶然不确定性）。但由于批次数据不足，平均值 $\mu$ 不精确知道，只知道 $\mu \in [340, 360]$ MPa（这是认知不确定性）。此时，CDF不是一条曲线，而是带状区域。这个带就是P-box。
啊，原来如此！表示知道分布的“形状”，但参数有变动的状态对吧。
完全正确。在信息更少的情况下（连分布形状都不知道），P-box也能用。在无分布P-box（distribution-free P-box）中，仅根据平均值和方差的范围，利用切比雪夫不等式来构造上下界。
Dempster-Shafer 证据理论
我也听说过Dempster-Shafer理论。它和P-box有什么区别？
Dempster-Shafer（DS）理论是一个从不完全证据中表示信念程度的框架。概率论给每个事件分配一个概率，但DS理论使用信念函数 Bel 和似真函数 Pl 这两个度量来表示概率的下界和上界。
机制是这样的。首先定义基本概率分配（BPA: Basic Probability Assignment）$m$。这是一个表示每个证据“质量”的函数，分配给空集以外的子集：
然后信念函数和似真函数定义如下：
Bel 是“至少可以相信这么多”的下界，Pl 是“最多可以相信这么多”的上界，对吗？
理解得非常完美。在现场，例如当多位专家持有不同意见时使用。专家A说“参数在 $[2, 5]$ 范围内”，专家B说“在 $[4, 7]$ 范围内”。给每个意见分配可信度（BPA），然后用Dempster组合规则进行合并。这样就可以量化证据集中在哪个区间以及有多少证据。
这看起来也能用作达成共识的工具呢。
ASME V&V 20 中的定位
ASME V&V 20是怎么规定的？
ASME V&V 20-2009 "Standard for Verification and Validation in Computational Fluid Dynamics and Heat Transfer" 中，将模型的验证指标 $E$ 定义如下：
这里 $S$ 是仿真结果，$D$ 是实验数据。然后将这个 $E$ 所包含的不确定性分解为以下三种：
- $u_{\text{num}}$ —— 数值不确定性（离散化误差、迭代误差等）：认知性
- $u_{\text{input}}$ —— 输入不确定性（材料常数、边界条件的变异性）：偶然性与认知性的混合
- $u_D$ —— 实验不确定性（测量误差、再现性）：偶然性与认知性的混合
关键是，即使 $|E| \leq u_{\text{val}}$，也不能说“模型已通过验证（validated）”，而应表述为“在验证不确定性的范围内一致”。并且要求将认知不确定性明确表示为未来研究中可以减少的部分。
通过区分，就能看清“哪里还有改进的余地”了。非常合理。
偶然性与认知性难以判断的案例
- 模型形式的不确定性：例如RANS湍流模型（k-epsilon vs SST）的选择。不清楚哪个模型是“正确”的，所以归类为认知性，但若创建模型选择的集成，有时看起来又像概率性的。ASME V&V 20将其定位为认知性。
- 制造变异性：材料屈服应力的批次间变异是偶然性的，但批次内的系统性偏差是认知性的。如果有足够数据，可以分离。
- 环境荷载：风速的季节性变化是偶然性的，但未来气候变化引起的变化是认知性的。分类会随时间尺度变化。
数值解法与实现
偶然不确定性的传播方法
那么偶然不确定性具体怎么传播呢？
最标准的是蒙特卡洛采样（MCS）。从输入变量的概率分布中生成 $N$ 个样本，对每个样本执行CAE模型。输出的直方图自然就形成了。
需要多少个 $N$ 呢？CAE一次计算也很耗时吧？
收敛速度是 $O(1/\sqrt{N})$，不依赖于输入维度是其优势。但是，要准确捕捉分布的尾部，如99百分位数，通常需要 $N \geq 10{,}000$。在实际工作中，通常使用拉丁超立方采样（LHS）来大幅减少所需样本数。
| 方法 | 收敛速度 | 所需样本数 | 特点 |
|---|---|---|---|
| 简单蒙特卡洛 | $O(N^{-1/2})$ | 10,000〜1,000,000 | 通用性高，高维也能用 |
| 拉丁超立方 | $O(N^{-1/2})$ 以上 | 100〜10,000 | 分层采样，方差减小 |
| 多项式混沌展开（PCE） | 指数级 | $(p+1)^n$ 〜 | 低维/平滑响应能力强 |
| 克里金/高斯过程 | ― | 10〜100 | 代理模型，适合少样本 |
认知不确定性的传播方法
认知不确定性没有概率分布对吧？不能用蒙特卡洛吗？
是的。当认知不确定性用区间表示时，使用求输出最大值和最小值的区间分析：
简单情况下，利用 $g$ 的单调性，只需评估端点即可。但如果有多个认知参数，就需要解优化问题。这时通常会使用全局优化算法（遗传算法或粒子群优化）。
如果认知不确定性是用Dempster-Shafer表示的，那怎么办？
那种情况需要对每个焦元（focal element）评估模型，并构造输出侧的Bel和Pl。如果有 $m$ 个焦元，则至少需要 $2m$ 次（每个焦元的上下端点）模型评估。
混合不确定性的传播（双重循环法）
现实中偶然性和认知性是共存的吧。两者同时怎么处理？
なった
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