Vremanモデル
理論：層流で消える渦粘性
概要
LESでスマゴリンスキーモデルを使うと、壁の近くで流れが遷移しにくくなると聞きました。
スマゴリンスキーモデルは、ひずみ速度の大きさだけで渦粘性を決める。壁の近くの層流や、遷移前の境界層にもせん断はあるので、乱れていないのに粘性を加えてしまう。その結果、乱れの芽がつぶされて遷移が遅れたり、壁面摩擦が過大になったりする。これを避けるために、壁から離れるほど係数を減らす減衰関数や、係数を流れから決める動的モデルが使われてきた。Vremanモデルは、速度勾配の組み合わせ方を工夫し、単純なせん断では自動的に0になるように作られている。計算はスマゴリンスキーと同じくらい簡単だ。
Vremanモデルの式
Δ は格子幅。B_β は行列 β の2次の不変量で、速度勾配 α が1方向の成分しか持たない（行列の階数が1）とき0になる。比較のためスマゴリンスキーの式も並べた。
層流で0になるように作られたモデル
Vremanは2004年の論文で、速度勾配の成分の組み合わせで流れを分類し、せん断層など乱れていない多くの流れで渦粘性が0になることを示した。そのうえで、計算が局所的で、動的手順のような平均化を必要としない点を強調した。一方で、すべての層流で0になるわけではなく、その後、ナイクらが2011年に提案したσモデルでは、剛体回転や軸対称の伸長でも0になるように改良された。
計算例
例1：代表的な流れでの渦粘性（Δ = 1 mm、速度勾配 100 1/s、Cs = 0.17、c = 0.072）
| 流れ | スマゴリンスキー | Vreman | 空気の動粘度に対する比（S / V） |
|---|---|---|---|
| 単純せん断 | 2.9×10⁻⁶ | 0 | 0.19 / 0 |
| せん断＋10%の横方向成分 | 2.9×10⁻⁶ | 7.2×10⁻⁷ | 0.19 / 0.05 |
| 平面ひずみ | 5.8×10⁻⁶ | 5.1×10⁻⁶ | 0.39 / 0.34 |
| 軸対称ひずみ | 5.0×10⁻⁶ | 4.4×10⁻⁶ | 0.33 / 0.29 |
| 剛体回転 | 0 | 5.1×10⁻⁶ | 0 / 0.34 |
| 等方的な乱れ（2万個の平均） | 3.2×10⁻⁶ | 3.1×10⁻⁶ | 0.21 / 0.21 |
単位は m²/s。空気の動粘度は1.5×10⁻⁵ m²/s とした。等方的な乱れでは両者の比は0.97で、c = 2.5·Cs² がほぼ同じ強さになるよう選ばれていることがわかる。
例2：壁近くの層流のせん断
| 壁面のせん断速度 | スマゴリンスキー | Vreman |
|---|---|---|
| 100 1/s | 2.9×10⁻⁶（空気の19%） | 0 |
| 1,000 1/s | 2.9×10⁻⁵（空気の193%） | 0 |
せん断1,000 1/sだと、スマゴリンスキーは空気そのものの粘度の2倍近い粘性を足してしまうんですね。
そうだ。格子幅1 mmのままなら、壁の近くの本来は層流の部分が、実際の2〜3倍の粘性を持つ流体として計算される。乱れの芽はつぶれ、境界層は遷移せず、はく離の位置も変わる。実際の計算では壁に向けて格子を細かくするので値は小さくなるが、それでも減衰関数なしでは壁面摩擦が大きめに出やすい。Vremanはこの例で0になり、減衰関数が要らない。ただし表の剛体回転のように、乱れていない回転流でも粘性を出す。回転する容器の中や渦の中心では注意が必要で、そうした流れではσモデルやWALEモデルとの比較が役に立つ。
使い方
- 係数は c = 2.5·Cs²（Cs = 0.17 なら約0.07）から始める。
- 壁の減衰関数は付けない（モデル自体が壁近くで小さくなる）。
- 遷移や層流が混ざる流れで、スマゴリンスキーとの差を確認する。
- 回転流や渦の中心では、σモデルなどと比べて渦粘性の分布を見る。
- 格子を変えて結果が収束するかを確かめる。
「翼の上で遷移しなかったLES」
低レイノルズ数の翼のLESで、スマゴリンスキーモデルを使うと、実験で見られる前縁付近のはく離泡と再付着が現れず、層流のまま大きくはく離して揚力が低く出た。前縁付近の層流のせん断に余計な渦粘性が加わり、はく離したせん断層の遷移が遅れていたのが原因だった。Vremanモデルに替えると、はく離泡ができて再付着し、揚力は実験に近づいた。計算時間はほぼ変わらなかった。
よくある間違い
間違いと対策
| 間違い | 起きること | 対策 |
|---|---|---|
| Cs の値をそのまま c に入れる | 粘性が2倍以上違う | c = 2.5·Cs² |
| 減衰関数を重ねる | 壁近くで粘性不足 | 付けない |
| 回転流で過信する | 余計な粘性 | σモデルと比較 |
| 格子が粗すぎる | モデル依存が大きい | 格子を細かく |
| B_β の負の値をそのまま使う | 平方根で計算が止まる | 0で切り捨て |
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