LESの基礎理論 -- 理論と支配方程式

いい質問だね。乱流にはさまざまなスケールの渦が含まれているけれど、LESでは空間フィルタリングによって大きなスケールの渦を直接計算し、フィルタ幅より小さいスケールの渦（サブグリッドスケール、SGS）はモデルで近似するという手法なんだ。

DNSはKolmogorovスケール $\eta_K$ まで全ての渦を解像するので、格子点数が $N \sim Re^{9/4}$ のオーダーで必要になる。実用的なReynolds数の工業問題では到底計算できない。LESはフィルタ幅 $\Delta$ をKolmogorovスケールより大きく取ることで、計算コストを大幅に削減するんだ。

任意の物理量 $\phi(\mathbf{x}, t)$ に対して、フィルタ操作は畳み込み積分で定義される。

有限体積法ベースのコード（Fluent、STAR-CCM+、OpenFOAMなど）では、セル体積による暗黙的フィルタリング（implicit filtering）が一般的だ。フィルタ幅はセルの代表長さとして $\Delta = V_{cell}^{1/3}$ や $\Delta = (\Delta x \cdot \Delta y \cdot \Delta z)^{1/3}$ で定義されることが多い。

非圧縮性流体の場合、フィルタされた連続の式と運動量方程式はこうなる。

その通り。SGS応力テンソルを閉じるためのモデルがSGSモデル（subgrid-scale model）で、Smagorinskyモデル、動的Smagorinskyモデル、WALEモデルなど、さまざまなモデルが提案されているんだ。

Boussinesq仮説を小スケールの渦に適用して、SGS応力テンソルの偏差成分を歪み速度テンソルに比例させるんだ。

その通り。RANSでは時間平均的な渦粘性を使うけど、LESではフィルタ操作後の瞬時場に対する局所的な渦粘性を評価するんだ。この違いは物理的に非常に大きい。

LESではフィルタ幅以上のスケールの渦構造を正確に解像する必要があるため、数値散逸の小さいスキームが求められる。2次精度の中心差分が最低ラインで、理想的には高次の中心差分やcompact差分を使いたい。

1次精度の上流差分は絶対に使ってはいけない。数値散逸がSGSモデルの散逸を大きく上回り、渦構造が人工的に消されてしまう。2次上流差分でも注意が必要で、blendingスキーム（例えば中心差分と上流差分の混合）を使う場合は中心差分の割合を十分高くすべきだ。OpenFOAMのlinearUpwindやFluent の Bounded Central Differencingは実務的な妥協点になるけれど、中心差分の割合が低すぎるとLESの意味がなくなるよ。

LESは本質的に非定常計算だから、時間積分の精度も重要だ。最低でも2次精度が必要で、代表的な選択肢は以下の通り。

CFL数（Courant-Friedrichs-Lewy数）で管理する。陽的スキームでは $CFL < 1$ が安定条件だけど、LESの精度確保のためには陰的スキームでも $CFL \sim 1$ 程度に抑えるのが望ましい。CFL数は $CFL = \frac{u \Delta t}{\Delta x}$ で定義される。

PISO（Pressure Implicit with Splitting of Operators）法が最も一般的だ。各時間ステップ内で1回の予測子ステップと2回以上の修正子ステップを行う。OpenFOAMではpimpleFoamソルバーがPIMPLE（PISO+SIMPLE）アルゴリズムを採用していて、LESに広く使われている。FluentではNon-Iterative Time Advancement (NITA) + fractional step法の組み合わせが推奨されるよ。

壁面解像LES（wall-resolved LES, WRLES）の場合、壁面近傍の格子解像度は非常に厳しい要件がある。

そうなんだ。壁面解像LESの格子点数は $N \sim Re^{13/7}$ のオーダーで増加するので、高Reynolds数の実機問題では非常に高コストになる。そこで壁面モデルLES（WMLES）やDES/IDDESといったハイブリッド手法が重要になってくるんだ。

LESはRANSとは根本的に考え方が違うから、フローもかなり異なるよ。

一様流やRANSの平均プロファイルだけでは、下流の渦が全く発達しない。乱流変動を含む入口条件を与える必要があるんだ。主な手法は以下の通り。

Fluent にはVortex MethodとSpectral Synthesizer法が組み込まれている。STAR-CCM+にはSynthetic Eddy法がある。OpenFOAMではturbulentDFSEMInletが使えて、これはSEMベースの手法だ。実務的にはSEMやDigital Filter法が精度とコストのバランスが良いよ。

対象の流れ場の特徴的な時間スケール $T_{conv} = L/U$（$L$ は代表長さ、$U$ は代表速度）の少なくとも10〜20倍はサンプリングしたい。例えば円柱後流では、渦放出周期の50〜100周期分くらいが望ましいね。

重要な品質指標がいくつかある。

その通り。格子解像度が不十分なLESは、RANSよりもたちが悪い結果を出すことがある。Popeの有名な言葉で "LES without quality assessment is not LES" というのがあるくらいだよ。

主要なソルバーとLES関連の機能を比較してみよう。

OpenFOAMは研究用途で非常に強力だ。SGSモデルの追加やカスタマイズが容易で、新しいモデルの実装も比較的簡単にできる。ただし、GUIがないためセットアップにはある程度の知識が必要になる。

Fluent でLESを設定する際の要点は以下の通り。

OpenFOAMではturbulencePropertiesでLESを指定し、fvSchemesで数値スキームを設定する。

その通り。LESは数百万〜数千万セルの格子を数十万タイムステップ回すので、計算リソースとライセンスの両方でコストがかかる。

そうだね。研究機関ではOpenFOAMが広く使われている理由の一つだ。一方、商用ソルバーはGUIによるセットアップの容易さやテクニカルサポートの充実というメリットがある。プロジェクトの要件に応じて選択するのが大切だよ。

陰的LES（ILES, Implicit LES）のことだね。数値スキームの持つ数値散逸をSGSモデルの代わりとして利用する手法だ。MONOTONE（単調性保存）スキームやFlux-Corrected Transport（FCT）の散逸がSGSモデルの役割を果たすという考え方で、Borisらが提唱した。

数値散逸の大きさがスキームとメッシュに依存するため、解の品質保証が難しいことが最大の課題だ。どの程度の散逸がSGSとして適切かを制御できない。とはいえ、高解像度計算では実質的にILESに近い状態になることも多く、実用上は有用な場面もある。

圧縮性LESではFavre平均（密度重み付きフィルタリング）を使う。Favre filtered量を $\tilde{\phi} = \overline{\rho \phi}/\bar{\rho}$ と定義して、圧縮性のフィルタ済みNavier-Stokes方程式を導出するんだ。SGSエネルギー方程式やSGS熱流束のモデルも必要になるから、非圧縮の場合よりも定式化が複雑になる。

航空宇宙分野ではジェット騒音予測が代表的だね。NASAやJAXAでは圧縮性LESによるジェット騒音の予測研究が盛んに行われている。また、燃焼分野ではガスタービン燃焼器のLES（反応性LES）が実用レベルに達しつつある。

最近の研究ではより厳密な品質評価手法が提案されている。

大きく影響している。特に注目されているのはニューラルネットワークによるSGSモデリングだ。DNSデータを教師データとして、従来のSGSモデルよりも高精度なクロージャーモデルを学習させる研究が活発に行われている。他にも、

うん。ただし、物理的な理解なしにブラックボックスで使うと痛い目を見る可能性がある。基礎理論をしっかり理解した上で、新しいツールとして活用していくことが大切だよ。

LES特有の問題をいくつか見ていこう。RANSとは性質が異なる問題が多いんだ。

考えられる原因と対策:

対策:

サンプリング時間が不十分な場合がほとんどだ。以下をチェックしてほしい。

壁面解像LESで壁面が合わない場合は、

その通り。LESは「ゴミを入れてゴミを出す（garbage in, garbage out）」の原則がRANS以上に顕著だ。設定の一つ一つが結果に直結するので、丁寧なセットアップと品質評価を心がけてほしい。