直接法ソルバー — CAE用語解説

剛性行列をLU分解やCholesky分解で三角行列の積に分解して、前進代入・後退代入で厳密に解く手法だよ。反復法と違って「収束しなくてエラー」ということが原理的に起きない。丸め誤差は別だけど、基本的に必ず解が出る。

問題はメモリなんだ。LU分解すると元の疎行列が「フィルイン」で埋まって密行列に近づく。100万自由度のモデルだと数十GBのメモリを食うこともある。反復法ならO(n)のメモリで済むから、大規模問題では反復法一択になる場合が多い。

小〜中規模モデル、特に数万DOF以下の問題は直接法が安定して速い。あとは悪条件の行列、たとえば接触解析や薄板構造で剛性のスケールが大きくばらつく場合は、反復法だと収束しにくいから直接法のほうが確実なんだ。PARDISOやMUMPSといった並列直接法ソルバーの登場で、数十万DOFでも現実的な時間で解けるようになったよ。

そうそう、実務あるあるだね。メモリに余裕があるなら、まず直接法で解を確認してから、反復法のチューニングに移るのが効率的なワークフローだよ。

まずはLU分解の仕組みを理解するのが第一歩だね。

鋭いね。Reverse Cuthill-McKeeやMETISでの並び替えでフィルインを最小化するのが、直接法の実装で一番重要なテクニックだよ。