Total Lagrange法 — CAE用語解説

Total Lagrange法は、常に初期の無変形形状を基準配置として使う定式化だ。変形がどれだけ大きくなっても、ひずみや応力は最初の形状に対して定義される。ひずみにはGreen-Lagrangeひずみ E = (F^T F - I)/2 を、応力には第2Piola-Kirchhoff応力を使うのが特徴だよ。

Total Lagrangeは基準配置が固定だから、弾性体の大変形（ゴムやバネ）で相性が良い。Updated Lagrangeは各ステップで基準を更新するから、塑性変形や接触を伴う金属加工シミュレーションに適している。どちらも正しく実装されていれば最終結果は理論上同じになるけど、収束性やメモリ効率に差が出ることがあるんだ。

Total Lagrangeでは要素の積分は常に初期配置上で行う。座標変換のヤコビアンが固定だから、ステップごとに再計算する必要がない分、ステップあたりの計算は速い。ただし大変形では増分ステップを細かくしないとニュートン・ラフソン法が収束しにくくなることもある。解くのはこの非線形方程式だ。

荷重の増分ステップを細かくするのが基本だ。他にもライン検索法や弧長法（アークレングス法）を併用すると、座屈やスナップスルーのような不安定経路でも追跡できるようになる。ゴムの場合は超弾性の材料モデル（Mooney-Rivlinなど）の設定も収束に大きく影響するよ。

その対応関係の理解は重要だ。まずはゴムの一軸引張モデルで両方の定式化を試して、結果が一致することを確認してみよう。定式化の違いを肌で感じられるよ。