Mohr-Coulomb破壊基準
Mohr-Coulomb破壊基準の理論基礎
Mohr-Coulomb基準とは
先生、Mohr-Coulomb破壊基準は地盤力学の基本ですよね。
Mohr-Coulomb（MC）基準は土や岩盤のせん断破壊を記述する最も古典的な基準。1773年にCoulombが提案。
- $\tau$ — せん断応力（破壊面上）
- $c$ — 粘着力（cohesion）
- $\sigma_n$ — 法線応力（圧縮が正）
- $\phi$ — 内部摩擦角
von Misesとの違いは？
von Misesは静水圧（平均応力）に依存しない。MC基準は静水圧に依存する（法線応力 $\sigma_n$ が含まれる）。土は拘束圧が大きいほどせん断強度が増す。これがMC基準の本質。
主応力表示
偏差応力空間では不規則な六角形（von Misesの円筒とは異なる）。
FEMでの設定
まとめ
要点：
- $\tau = c + \sigma_n \tan\phi$ — せん断強度が法線応力に依存
- $c$（粘着力）と $\phi$（摩擦角）の2パラメータ
- 静水圧依存 — von Misesとの根本的な違い
- 土、岩盤、コンクリートの破壊基準 — 地盤工学の基本
Coulomb摩擦則の起源
Charles-Augustin de Coulombは1776年に土砂崩壊の実験データを整理し、せん断強度がτ=c+σtanφで表されることを示した。その後1900年にOtto Mohrが主応力空間での幾何学的解釈（Mohr円）と組み合わせ、Mohr-Coulomb破壊基準として体系化。岩盤・地盤工学で250年近く使われ続けている。
Mohr-Coulomb破壊基準の数値計算手法
MC基準のFEM処理
MC基準の降伏面は角（コーナー）を持つ。角での応力戻し（Return Mapping）が数値的に難しい。
対策：
- Drucker-Prager（DP）基準で近似 — 円錐面（角なし）で近似。収束が良い
- MC基準の厳密処理 — コーナーでの特殊処理。Abaqusは厳密MC対応
- Plaxis — MC基準に完全対応。地盤専用ソフトの強み
ダイラタンシー角 $\psi$
塑性流れの方向を決めるダイラタンシー角 $\psi$。$\psi = \phi$（associated flow）だと体積膨張が過大。通常 $\psi < \phi$（non-associated flow）。
associated vs. non-associated？
associatedは降伏面と塑性ポテンシャルが同じ（$\psi = \phi$）。non-associatedは別（$\psi < \phi$）。土の場合は $\psi = 0 \sim \phi/3$ が実務的。
まとめ
c・φの三軸試験同定
粘着力c（コヒージョン）と内部摩擦角φは三軸圧縮試験（CU試験またはCD試験）から同定する。拘束圧σ₃を3段階以上変えてτ-σ平面にプロットし、Mohr円の共通接線の傾き（tanφ）と切片（c）を最小二乗法で求める。砂質土のφは28〜40°、粘土のcは0〜100kPaが一般的な範囲だ。
Mohr-Coulomb破壊基準の実務適用
MC基準の実務
掘削、斜面安定、擁壁、トンネル、ダム基礎の地盤解析で使用。
地盤パラメータの典型値
| 地盤 | $c$ (kPa) | $\phi$ (°) |
|---|---|---|
| 軟弱粘土 | 10〜25 | 0〜5 |
| 中程度の粘土 | 25〜50 | 15〜25 |
| 砂（緩い） | 0〜5 | 28〜32 |
| 砂（密な） | 0〜5 | 35〜42 |
| 岩盤（弱い） | 100〜500 | 25〜35 |
| 岩盤（硬い） | 1000〜5000 | 35〜55 |
実務チェックリスト
トンネル掘削解析の実績
2016年に完成したゴッタルドベーストンネル（スイス、全長57km）の掘削支保工設計では、花崗岩岩盤のMohr-CoulombパラメータφとcをPhase2（現Rocscience RS2）で解析した。高い拘束圧下でのせん断破壊ゾーン予測精度が現場計測と±10%以内で一致したと報告されている。
Mohr-Coulomb破壊基準のソフトウェア比較
MC基準のツール
選定ガイド
地盤専用ソルバーの実装
Plaxis（現Bentley PLAXIS 3D）はMohr-Coulombを最も基本的な土・岩盤モデルとして実装し、1987年のデルフト工科大学での開発以来世界100か国以上で使用されている。標準版では硬化土（Hardening Soil）モデルも用意されており、Mohr-CoulombはInitial analysisの最初の一手として位置付けられている。
Mohr-Coulomb破壊基準の先端研究
MC基準の先端
Drucker-Prager近似との差異
Mohr-Coulombは主応力空間で六角錐、Drucker-Prager（1952年）は円錐として降伏面を定義する。外接・内接・一致の3種の近似が可能で、内接の場合φDPはφMCより最大15%小さくなる。FEMでは角部を持つMohr-Coulomb面が収束困難を招くため、Drucker-Pragerで近似する手法が1970年代から広く使われる。
Mohr-Coulomb破壊基準のトラブル対応
MC基準のトラブル
引張カットオフの設定忘れ
Mohr-Coulombモデルは引張側の強度制限を持たないため、設定を省略すると岩盤や土が非現実的な引張応力を負担し続ける。Abaqusの*TENSION CUTOFFオプション（デフォルトは無効）を必ず指定することが推奨される。花崗岩の引張強度は圧縮強度の約1/10（典型値5〜15MPa）を目安にカットオフ値を設定する。
関連トピック
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