多目的最適化
多目的最適化の理論基礎
多目的最適化
先生、多目的最適化って何ですか？
複数の目的関数を同時に最適化する。例：「質量を最小化」かつ「剛性を最大化」。通常これらはトレードオフ（質量を減らすと剛性が下がる）。
パレートフロント
トレードオフの最適解の集合がパレートフロント。パレートフロント上の解は「どの目的関数も他を犠牲にせずには改善できない」最適解。設計者がパレートフロントから好みの解を選択。
まとめ
パレート最適の概念は19世紀の経済学者が源流
「パレート最適（Pareto optimality）」の概念はイタリアの経済学者ヴィルフレード・パレートが1906年に「Manuale di Economia Politica（経済学便覧）」で導入した。資源配分において「誰かを改善すると誰かが悪化する」均衡状態を指す概念で、これを多目的最適化に転用したのは1963年のKuhn-Tuckerの拡張と、1985年のSchaffer（VEGA法）だ。パレートフロントの概念なしに自動車の軽量化と安全性の同時最適化は語れない。
多目的最適化の数値計算手法
多目的最適化のアルゴリズム
まとめ
NSGAIIは多目的最適化の事実上の標準アルゴリズム
NSGA-II（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II）はKalyanmoy Deb（インド工科大学カーンプール校）が2002年にIEEE Transactions on Evolutionary Computationに発表した多目的進化アルゴリズムで、Google Scholar上の被引用数は4万件超（2024年時点）と計算科学全体でもトップクラスだ。計算コストO(MN²)と密度保存メカニズムの組み合わせが優れており、optDesignやCadenceのAMSシミュレーションツールにも標準搭載されている。
多目的最適化の実務適用
多目的最適化の実務
自動車の軽量化（質量）＋衝突安全（傷害値）、航空機の燃費（重量）＋強度。
実務チェックリスト
フォーミュラEのエアロ最適化は3目的同時最適化
フォーミュラEカーの空力設計では「ダウンフォース最大化・ドラッグ最小化・サイドウォッシュ均一化」の3目的同時最適化が標準だ。Mahindra Racing（フォーミュラEチーム）の2019シーズン車両開発では、SIMOPTICALとOpenFOAMを連成したNSGA-IIIベースの多目的CFD最適化で200世代・1000評価点を回し、エアロ効率を前シーズン比7%改善したと技術報告が記載している。
多目的最適化のソフトウェア比較
ツール
modeFRONTIERは欧州自動車業界の多目的最適化標準
ESTECO社（イタリア・トリエステ、1999年創業）のmodeFRONTIERは欧州自動車業界で多目的最適化ツールのデファクトスタンダードに近い地位を持つ。フォルクスワーゲン・ポルシェ・アウディが共通インフラとしてmodeFRONTIERを採用し、NastranやABAQUS・StarCCMとの多コード連成最適化を展開している。2022年にはHEEDSを買収したAltairとの競争が激化しているが、欧州アカデミア発の技術的厚みはmodeFRONTIERの強みだと評価するユーザーが多い。
多目的最適化の先端研究
多目的最適化の先端
多目的ベイズ最適化はCFD評価コストを90%削減
進化アルゴリズムは多目的最適化に強いが、1評価（CFDシミュレーション）に数時間かかる場合は数百〜数千評価が現実的でない。Gaussian Process（ガウス過程）サロゲートを用いた多目的ベイズ最適化（MESMO, MOTBO等）は1目的Bayesian最適化を多目的に拡張し、サンプル効率を劇的に改善する。Google BrainとJAXAの共同研究（2022年Nature Communications）は航空機翼形状の多目的最適化で評価回数を従来の進化的手法比1/10に削減できることを示した。
多目的最適化のトラブル対応
多目的最適化のトラブル
目的関数のスケール差が最適化を偏らせる
多目的最適化で目的関数の単位・スケールが大きく異なる（例：重量[kg]と応力[MPa]の値が100倍差）場合、加重和法では小さい値の目的が支配的になりパレートフロントが偏る。標準的な対処法は各目的を「理想点（最小値）からの正規化」し0〜1スケールに変換することだ。OptiStruct、Isight、modeFRONTIERなどの多目的最適化ツールでは自動スケーリングオプションが設けられているが、オフのままのユーザーによる最適化失敗が実務でも頻発する。
関連トピック
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