寸法最適化
寸法最適化の理論基礎
寸法最適化
先生、寸法最適化は最もシンプルな最適化ですか？
そう。板厚、断面寸法、材料特性を設計変数として最適化。形状もトポロジーも変えない。
まとめ
サイズ最適化の原型はミショール以前の1800年代に遡る
断面寸法を設計変数とするサイズ最適化の最も古い事例のひとつは、Rankineが1858年に発表した「Manual of Applied Mechanics」における最小重量トラスの解析的解法だ。荷重条件と材料強度を与えて各部材断面積の最適値を代数的に求めるランキンの手法は、現代の線形計画法ベースのサイズ最適化の原型と見なされている。1960年代にDorn, Gomory, Greenbergが線形計画法として定式化し直し、コンピュータ時代のサイズ最適化の基盤となった。
寸法最適化の数値計算手法
寸法最適化のFEM
Nastran SOL 200:
```
DESVAR, 1, T_FLANGE, 10., 5., 30. $ 設計変数: フランジ厚10mm（5〜30mm）
DVPREL1, 1, PSHELL, 1, T $ PSHELLの板厚と関連
DRESP1, 1, STRESS, STRESS, , , , MAX
DCONSTR, 1, 1, , 250. $ 応力制約 ≤ 250 MPa
```
まとめ
KKT条件は非線形サイズ最適化の最適性判定基準
非線形サイズ最適化の最適性条件はKarush-Kuhn-Tucker（KKT）条件で定式化される。Karushが1939年の修士論文（長年未発表）、Kuhn & Tuckerが1951年のBerkeley学会発表で独立に証明したKKT条件は、不等式制約付き最適化問題の一次必要条件だ。NASTRAN SOL 200はKKT条件をコンバージェンス判定基準として使用しており、全制約のKKT剰余が閾値（デフォルト0.005）を下回った時点で最適解と判定する。
寸法最適化の実務適用
寸法最適化の実務
航空機のパネル板厚最適化、自動車のフレーム断面最適化。
実務チェックリスト
橋梁の桁断面設計は最も古典的なサイズ最適化
道路橋上部工のI型鋼桁の板厚・フランジ幅のサイズ最適化は、土木設計事務所が1980年代からプログラムで実施してきた最も歴史ある実用応用だ。許容応力設計法（ASD）の時代は断面係数制約を満たす最小重量断面が解析的に求まったが、現代の限界状態設計法（LSD）では座屈・疲労の非線形制約が加わるためNLP（非線形計画法）が必須となった。JSSC（日本鋼構造協会）の設計指針2005年版改訂にはサイズ最適化の適用事例が参考資料として収録されている。
寸法最適化のソフトウェア比較
寸法最適化のツール
NASTRAN SOL200は40年以上現役のサイズ最適化機能
MSC Nastranのサイズ最適化機能「SOL 200（Design Sensitivity and Optimization）」はNASAの資金援助の下で1970年代後半に開発が始まり、1982年に最初のリリースが行われた。40年以上にわたって改善を重ね、2023版ではMLサロゲートとの連成とPythonスクリプトによるカスタム制約定義が可能になった。ボーイングの旅客機胴体フレーム断面最適化、ロッキード・マーティンのF-35主翼スパー板厚最適化など、航空宇宙のサイズ最適化のデファクト標準として君臨している。
寸法最適化の先端研究
寸法最適化の先端
PCB基板の配線幅最適化は電熱連成サイズ最適化
プリント回路基板（PCB）の電流経路となる銅箔配線幅の最適化は、ジュール熱・電流密度・基板たわみを同時に考慮する電熱構造連成サイズ最適化問題だ。Ansys Electronics Desktopの最適化モジュールを使ったIntelの報告（2020年DesignCon）では、電源供給層の配線幅・ビア径の同時最適化で基板重量を16%削減しながらIR drop（電圧降下）を規格内に収めた設計が示された。EV車載ECUのPCB設計では熱制約が支配的になるため、このような多物理サイズ最適化が不可欠だ。
寸法最適化のトラブル対応
寸法最適化のトラブル
離散変数化でサイズ最適化は組み合わせ爆発する
実際の設計では板厚がカタログ値（例：2.3mm, 2.6mm, 3.2mm等の規格品）に限定される「離散サイズ最適化」が必要で、これはNP困難な組み合わせ最適化問題になる。連続最適化解を四捨五入して最近傍の離散値に丸めると制約違反が生じることが多く、「丸め後に制約再チェック＋微修正」が実務の基本フローだ。分枝限定法（Branch and Bound）やSimulated Annealingを組み合わせた離散最適化がMSC Nastran SOL 200でオプション提供されている。
関連トピック
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