ニコルス線図シミュレーター

開ループ伝達関数の周波数応答を、位相（横軸）とゲイン（縦軸）の1枚の図にまとめて描くツールです。ゲインや時定数、むだ時間を変えると、ゲイン余裕・位相余裕・共振ピークがリアルタイムで分かり、閉ループ系がどれだけ安定かを直感的に検討できます。

パラメータ設定

開ループゲイン K

伝達関数全体の比例ゲイン。大きいほど速応だが余裕が減る

時定数 τ₁

支配的な1次遅れの時定数

時定数 τ₂

2つ目の1次遅れの時定数（高周波側）

むだ時間 T_d

輸送遅れ・計算遅れ。位相を一方的に遅らせ余裕を奪う

計算結果

—

ゲイン余裕 GM (dB)

—

位相余裕 PM (°)

—

ゲイン交差周波数 ωgc (rad/s)

—

位相交差周波数 ωpc (rad/s)

—

共振ピーク Mr (dB)

—

安定判定

—

ニコルス線図 — 開ループ軌跡

横軸は開ループ位相（度）、縦軸は開ループゲイン（dB）。十字が臨界点（−180°, 0 dB）。マーカーが周波数 ω の増加とともに軌跡上を移動します。

開ループボード線図（ゲイン）

閉ループ周波数応答 |T(jω)|

理論・主要公式

$$L(j\omega)=\frac{K\,e^{-j\omega T_d}}{j\omega\,(j\omega\tau_1+1)(j\omega\tau_2+1)}$$

解析対象の開ループ伝達関数（型1系）。K：開ループゲイン、τ₁・τ₂：時定数、T_d：むだ時間。積分器 1/(jω) を1つ含む。

$$\text{PM}=180^\circ+\angle L(\omega_{gc}),\qquad \text{GM}=-20\log_{10}|L(\omega_{pc})|$$

位相余裕 PM はゲイン交差周波数 ωgc（|L|＝1）での位相、ゲイン余裕 GM は位相交差周波数 ωpc（∠L＝−180°）でのゲインから求める。

$$T(j\omega)=\frac{L(j\omega)}{1+L(j\omega)},\qquad M_r=\max_\omega\,20\log_{10}|T(j\omega)|$$

閉ループ伝達関数 T と共振ピーク Mr。臨界点（−180°, 0 dB）は閉ループ安定性の境界であり、軌跡がここからどれだけ離れているかが余裕を表す。

ニコルス線図とは

🙋

「ニコルス線図」って初めて聞きました。ボード線図やナイキスト線図とは何が違うんですか？

🎓

3つとも「開ループ伝達関数 L(jω) の周波数応答」を見る図だよ。ボード線図はゲインと位相を2枚のグラフに分けて描く。ナイキスト線図は複素平面に実部と虚部でプロットする。ニコルス線図はその中間で、横軸に位相（度）、縦軸にゲイン（dB）をとって1枚に統合する。ボードの2枚を1枚にまとめた、と思えばいい。周波数 ω を動かすと、その点が図の上を1本の曲線になって動いていくんだ。

🙋

1枚にまとめると、何かいいことがあるんですか？

🎓

最大のメリットは、ゲイン余裕と位相余裕が「目で読める」ことだね。図の上に十字でマークされた点があるだろう？あれが臨界点（−180°, 0 dB）だ。閉ループが安定かどうかの境目になる点で、軌跡がこの点に近づくほど危ない。位相余裕は0 dBの高さで軌跡から臨界点までの横の隙間、ゲイン余裕は−180°の縦線上での縦の隙間として現れる。左で「開ループゲイン K」を上げてみて。軌跡がぐっと上に持ち上がって、臨界点に近づいていくのが分かるはずだ。

🙋

本当だ、K を14くらいまで上げたら判定が「不安定」になりました。何が起きたんですか？

🎓

ゲインを上げると軌跡全体が上にシフトする。位相は変わらないけど高さ（dB）が増えるからね。すると、0 dBを横切る点（ゲイン交差周波数 ωgc）での位相がどんどん −180° に近づいて、ついに追い越してしまう。位相余裕 PM＝180°＋∠L(ωgc) が負になった瞬間、その閉ループ系は発散する。実機ならモーターが唸って振動が止まらない、という状態だ。だから「ゲインを上げれば速くなる」と無邪気に上げると、ある所で必ず不安定になる。これがフィードバック制御の宿命なんだ。

🙋

むだ時間 T_d を増やすと、どうして余裕が一気に減るんですか？ゲインは増やしていないのに。

🎓

いい質問だ。むだ時間 e^(−jωT_d) はゲイン（大きさ）を変えないけど、位相を −ωT_d だけ「一方的に」遅らせる。しかも周波数 ω が高いほど遅れが大きい。ニコルス線図で見ると、軌跡が高周波側でどんどん左へ引っぱられて、臨界点をかすめるようになる。だから T_d をほんの少し入れるだけで位相余裕が大きく削られる。輸送遅れのあるプロセス、ネットワーク越しの制御、サンプリングの粗いディジタル制御などで、むだ時間は安定性を脅かす最大の敵になるんだ。下の閉ループ応答グラフを見ると、T_d を増やすと共振ピーク Mr が高くなるのも確認できるよ。

🙋

共振ピーク Mr は、結局どう読めばいいんですか？

🎓

Mr は閉ループ周波数応答 T(jω)＝L/(1+L) の山の高さだ。ある周波数で入力がどれだけ強く増幅されるかを表していて、Mr が大きいほど閉ループ応答が振動的になる。ざっくり言うと、Mr が 0〜3 dB なら良好、5 dB を超えると目に見えてオーバーシュートが大きい。Mr は位相余裕とほぼ裏表の関係で、PM が小さいと Mr は大きくなる。だから設計では「位相余裕 45°前後、Mr 3 dB以下」あたりを狙うのが定石なんだ。ニコルス線図はこの Mr の等高線（M等高線）を重ねて描けるのも便利なところだよ。

よくある質問

ニコルス線図は、開ループ伝達関数 L(jω) の「位相（横軸・度）」と「ゲイン（縦軸・dB）」を1枚にまとめてプロットしたグラフです。周波数 ω を動かしたときの軌跡を描くと、ボード線図のゲイン図と位相図を1本の曲線に統合した形になります。最大の利点は、ゲイン余裕と位相余裕が「臨界点（−180°, 0 dB）からの距離」として一目で読めること。位相余裕は0 dBの高さで臨界点までの横方向の隙間、ゲイン余裕は−180°の線上での縦方向の隙間として現れます。

まず周波数 ω を対数的に掃引し、各点で開ループ L(jω) の大きさと位相を求めます。ゲイン交差周波数 ωgc は |L|＝1（0 dB）になる周波数で、そこでの位相を ∠L(ωgc) とすると位相余裕は PM＝180°＋∠L(ωgc) です。位相交差周波数 ωpc は ∠L が −180° になる周波数で、そこでのゲインからゲイン余裕は GM＝−20log₁₀|L(ωpc)| [dB] と求まります。本ツールは交差点の前後を補間して、これらの値をリアルタイムに表示します。

一般的な制御系の目安は、位相余裕 30〜60°、ゲイン余裕 6 dB（約2倍）以上です。位相余裕が小さいと閉ループ応答が振動的になり、オーバーシュートと整定時間が増えます。逆に大きすぎると応答が遅くなります。位相余裕 45〜60° あたりが、速応性と安定性のバランスが良い領域とされます。本ツールでは PM が 30°未満または GM が 6 dB未満のとき「余裕が小さい」と警告し、PM≤0 または GM≤0 で「不安定」と判定します。

共振ピーク Mr は、閉ループ周波数応答 T(jω)＝L/(1+L) の大きさが最大になる値（dB表示）です。Mr が大きいほど、ある周波数で入力が強く増幅される、すなわち閉ループ応答が振動的でオーバーシュートが大きいことを意味します。経験的に Mr が約 0〜3 dB なら良好、5 dB を超えると振動が目立ち、位相余裕が小さい設計に対応します。Mr は位相余裕と密接に関係し、PM が小さいほど Mr は大きくなります。

実世界での応用

サーボ・モーション制御：工作機械の送り軸、ロボットの関節、ハードディスクのヘッド位置決めなどのサーボ系では、ゲイン余裕と位相余裕を確保しながら、できるだけ高いゲインで速応性を稼ぐ設計が求められます。ニコルス線図は、ゲインを上げたときに軌跡が臨界点へどう近づくかが一目で見えるため、ゲイン調整の上限を決めるのに直接使えます。M等高線を重ねれば、目標とする共振ピーク以下に収まるゲインを図上で読み取れます。

プロセス制御（化学・プラント）：温度・流量・圧力のループは、配管の輸送遅れや測定の応答遅れによって大きなむだ時間を含みます。むだ時間は位相だけを遅らせて位相余裕を削るため、ニコルス線図上では高周波側の軌跡が左へ伸びていきます。PID のゲインを決める際、むだ時間込みで位相余裕が十分残るかを確認するのにこの図が役立ちます。

電源・パワーエレクトロニクス：スイッチング電源やインバータの電圧・電流制御ループも、設計の最終確認では周波数応答で安定余裕を見ます。デジタル制御による計算遅れ・サンプリング遅れがむだ時間として効くため、ニコルス線図やボード線図で位相余裕 45°以上、ゲイン余裕 6 dB以上といった基準を満たすかをチェックします。

制御教育とループ整形：ニコルス線図は、ループ整形（loop shaping）の教材としても優れています。補償器を追加したときに軌跡がどう動くか、進み補償で位相を持ち上げると位相余裕がどう回復するか、といった操作が視覚的に理解できます。本ツールでゲイン・時定数・むだ時間を動かし、軌跡と余裕の関係を体感することは、制御工学の感覚を養う良い入口になります。

よくある誤解と注意点

まず多い誤解が、「ゲイン余裕と位相余裕が両方とも十分あれば必ず安定で性能も良い」というものです。GM と PM は1つの交差点だけを見た「局所的な」指標です。複雑な伝達関数では、ゲイン曲線が0 dBを複数回横切ったり、位相が −180° を行き来したりして、交差点が複数現れることがあります。その場合、最も近い臨界点までの距離（ベクトルマージン、あるいはニコルス線図上の最近接距離）で評価しないと、見かけ上 GM・PM が大きくても臨界点ギリギリを通る危険な設計を見逃します。本ツールは型1の単純な系を扱うため交差点は1組ですが、実機では必ず軌跡全体の形を確認してください。

次に、「むだ時間は小さいから無視してよい」という思い込みです。むだ時間 e^(−jωT_d) はゲインを1のまま保ち、位相を −ωT_d だけ遅らせます。低周波では遅れはわずかですが、ゲイン交差周波数 ωgc が高いほど ωgc·T_d が大きくなり、位相余裕がごっそり削られます。「速応性を上げるためにゲインを上げる」と ωgc が上がり、同じむだ時間でも位相損失が増える、という負の連鎖が起きます。サンプリング周期の半分程度の等価むだ時間や、センサ・アクチュエータの遅れも忘れずにモデルへ含めてください。

最後に、「ニコルス線図は開ループの図だから、閉ループ性能には関係ない」という誤解です。ニコルス線図は開ループ L(jω) の軌跡ですが、その上に閉ループゲイン |T| の等高線（M等高線）と閉ループ位相の等高線（N等高線）を重ねられるのが本来の強みです。開ループの軌跡が M等高線のどこを通るかを読めば、閉ループの共振ピーク Mr や帯域幅がそのまま分かります。つまりニコルス線図は「開ループの操作」と「閉ループの性能」を1枚で橋渡しする図であり、開ループだけの話ではありません。本ツールでも、開ループ軌跡と並べて閉ループ応答 |T(jω)| と Mr を表示しているのはこのためです。

ニコルス線図シミュレーター

ニコルス線図とは

よくある質問

実世界での応用

よくある誤解と注意点

使い方ガイド

具体的な計算例

実務での注意点