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制御工学

二次系のステップ応答（整定時間）シミュレーター

標準形の二次系にステップ入力を加えたときの時間応答を可視化するツールです。固有角振動数 ωn と減衰比 ζ を変えると、行き過ぎ量・ピーク時間・立ち上がり時間・整定時間がリアルタイムで分かり、制御系の時間応答仕様を直感的に理解できます。

パラメータ設定
固有角振動数 ωn
rad/s
応答の速さを決める。大きいほど速い
減衰比 ζ
応答の形を決める。1未満で振動、1で臨界、1超で過減衰
ステップ入力の大きさ
目標値（最終値）の大きさ
整定の判定基準
最終値の周りに取る許容帯の幅
計算結果
—
減衰固有振動数 ωd (rad/s)
—
行き過ぎ量 (%)
—
ピーク時間 (s)
—
立ち上がり時間 (s)
—
整定時間 (s)
—
応答の判定
—
ステップ応答アニメーション

単位ステップ応答が目標値へ向かって立ち上がり、行き過ぎてから振動して落ち着く様子。緑の帯が±許容帯、丸印がピーク（行き過ぎ）、縦線が整定時間を表します。

ステップ応答 c(t)
整定時間 vs 減衰比 ζ
理論・主要公式

$$M_p=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}},\qquad t_s=\frac{-\ln(\text{tol})}{\zeta\,\omega_n},\qquad \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$$

行き過ぎ量 Mp、整定時間 ts、減衰固有振動数 ωd。tol は許容帯（±2 %なら0.02、±5 %なら0.05）。減衰比 ζ が応答の形（行き過ぎ）を、固有角振動数 ωn が応答の速さを決めます。

$$t_p=\frac{\pi}{\omega_d},\qquad t_r=\frac{\pi-\beta}{\omega_d},\quad \beta=\cos^{-1}\zeta$$

ピーク時間 tp と立ち上がり時間 tr（0〜100 %）。いずれも不足減衰（ζ<1）の場合に定義され、臨界制動・過減衰では行き過ぎ・振動が生じないため対象外となります。

二次系のステップ応答とは

🙋
「二次系のステップ応答」って制御の教科書で必ず最初に出てきますよね。なんでそんなに重要なんですか？
🎓
ざっくり言うと、世の中の山ほどのシステムが、動作点の近くでは「標準形の二次系」としてふるまうからだよ。モータの位置制御ループ、アナログ計器の針、車のサスペンション、RLC回路、風で揺れるビル——みんな二次系で近似できる。しかも二次系は、たった2つの数——固有角振動数 ωn と減衰比 ζ——で応答が決まる。だからこの1枚の図を読めるようになると、無数のシステムの挙動が一目で分かるようになるんだ。
🙋
2つだけなんですね。左のスライダーで ωn を上げると、グラフが横に縮んで速くなりました。ωn は「速さ」担当ってことですか？
🎓
そのとおり。ωn は応答全体の「速さ」を決める。ωn を倍にすれば、立ち上がり時間も整定時間もだいたい半分になる。一方で減衰比 ζ は応答の「形」担当だ。ζ を 0.4 くらいの小さい値にすると、応答が目標を行き過ぎて、ぴょこぴょこ振動してから落ち着くだろう？ ζ が小さいほど行き過ぎ量が大きく、振動が長引く。試しに ζ をいろいろ動かしてみるといい。
🙋
ζ を 1 にしたら、行き過ぎ量がゼロになって、ピーク時間と立ち上がり時間が「—」になりました。これって何が起きてるんですか？
🎓
ζ=1 は「臨界制動」といって、行き過ぎをまったく出さずに、できるだけ速く目標へたどり着く状態だ。振動しないから「ピークの時刻」も存在しない。だからピーク時間は「—」になる。立ち上がり時間も、振動系の 0〜100 % 到達という定義が使えなくなるので、このツールでは「—」表示にしている。ζ をさらに 1 より大きくすると「過減衰」になって、行き過ぎはないけど、もっさり遅くなるよ。
🙋
右上の「整定の判定基準」で ±2 % と ±5 % が選べますけど、これは何の違いですか？
🎓
整定時間っていうのは「応答が最終値の近くに入って、もう出てこなくなるまでの時間」なんだ。でも「近く」をどれくらいの幅で見るかは決めの問題でね。最終値の ±2 % の帯に入ったら整定、とするか、±5 % で見るか。±5 % のほうが帯が広いぶん、早く「整定した」と判定されて整定時間は短く出る。式で言うと ±2 %で ts≈4/(ζωn)、±5 %で ts≈3/(ζωn) だ。仕様書がどちらで書いてあるかに合わせて使い分けるんだよ。
🙋
じゃあ行き過ぎ量を小さくしたいときは、ζ を大きくすればいいんですよね。それでデメリットはないんですか？
🎓
いいところに気づいた。ζ を上げれば行き過ぎ量 Mp = exp(−πζ/√(1−ζ²)) はどんどん小さくなる。でもタダじゃない。減衰を増やすと立ち上がりが鈍くなって、応答全体が遅くなるんだ。行き過ぎと速応性は綱引きの関係。実務では、行き過ぎが危ない用途——航空機の舵面とか化学反応器の温度——では ζ を 0.7 付近以上に取って安全をとり、足りない速さは ωn のほうで稼ぐ、という設計が多いよ。

よくある質問

モータの位置制御ループ、可動コイル計器、車のサスペンション、RLC回路、風で揺れるビルなど、実に多くの実システムが動作点の近くでは標準形の二次系として振る舞うからです。二次系は固有角振動数 ωn と減衰比 ζ の2つの数だけで応答が決まるため、この応答を読めるようになると無数のシステムの挙動を一目で把握できます。だからこそ二次系のステップ応答は制御工学で最もよく学ばれる図になっています。
ωn は応答の「速さ」を、ζ は応答の「形」を決めます。ωn を大きくすると時間軸が縮み、立ち上がり時間も整定時間も短くなります。ζ を小さくすると行き過ぎ量が増え、振動して落ち着くまでに時間がかかります。ζ=1 の臨界制動では行き過ぎなしで最速に目標へ到達し、ζ>1 の過減衰では行き過ぎはないものの応答が遅くなります。設計とはこの2つを目標仕様に合わせて配置する作業です。
整定時間 ts は応答が最終値の周りの許容帯（±2 %または±5 %）に入って出なくなるまでの時間で、包絡線近似では ts = −ln(tol)/(ζωn) と表せます。±2 %基準なら tol=0.02 で ts ≈ 4/(ζωn)、±5 %基準なら tol=0.05 で ts ≈ 3/(ζωn) となります。許容帯を広く取る±5 %のほうが整定時間は短く出ます。どちらを使うかは「どの程度で『落ち着いた』とみなすか」という仕様で決めます。
行き過ぎ量 Mp は減衰比 ζ だけで決まり、Mp = exp(−πζ/√(1−ζ²)) です。ζ を大きくすれば行き過ぎ量は単調に減り、ζ=1 で完全にゼロになります。ただし減衰を増やすと立ち上がりが遅くなり、応答全体が鈍くなります。行き過ぎと速応性はトレードオフの関係にあり、航空機の舵面や化学反応器の温度のように行き過ぎが危険な用途では ζ を 0.7 付近以上に取り、応答速度は ωn で稼ぐのが定石です。

実世界での応用

サーボ・位置決め制御：工作機械の送り軸、産業用ロボットの関節、半導体露光装置のステージなど、位置決め機構は二次系のステップ応答で性能を評価します。指令位置にどれだけ速く到達し（立ち上がり時間）、どれだけ行き過ぎ（オーバーシュート）、どれだけ早く許容帯に収まるか（整定時間）が、そのままタクトタイムや加工精度に直結します。整定時間の短縮は生産性向上の核心です。

機械振動とサスペンション：車のサスペンションは、ばね・質量・ダンパからなる典型的な二次系です。段差を乗り越えたときの車体の動きはまさにステップ応答で、減衰比 ζ が小さいと乗り心地は柔らかいがいつまでも揺れ、ζ が大きいと揺れは止まるが突き上げが固くなります。乗り心地と接地性のバランスを ζ で調整するのが足回り設計です。

電気回路と計測器：RLC直列回路の電圧応答、アナログ電圧計やガルバノメータの針の動きは二次系で記述できます。計器では針が目盛りを行き過ぎて読み取りを誤らせないよう、ζ をわずかに1未満（おおむね0.6〜0.7）に設計し、行き過ぎを小さく抑えつつ素早く指示値に落ち着かせます。

プロセス制御とコントローラ調整：温度・圧力・流量のPID制御ループも、閉ループ全体としては二次系で近似できる場合が多くあります。ステップ状の目標値変更に対する行き過ぎ量と整定時間を見ながらゲインを調整するのがチューニングの基本で、本ツールのような時間応答の見取り図が、ゲインを上げ下げしたときに何が起きるかを直感的に教えてくれます。

よくある誤解と注意点

まず多い誤解が、「整定時間 ts = −ln(tol)/(ζωn) は厳密な値だ」と思い込むことです。この式は応答の振幅が指数的な包絡線 e−ζωnt で減衰するという近似に基づいた便利な見積もりであり、実際の応答は許容帯を一度かすめてから本当に収まるため、厳密な整定時間は許容帯の出入りを追って求める必要があります。減衰比が小さいときや、±5 %のように帯が広いときは、近似式と厳密値が10〜20 %ずれることもあります。設計の初期検討には十分ですが、最終確認はシミュレーションで応答波形を追ってください。

次に、「現実のシステムは二次系そのものだ」という思い込みです。本ツールが扱うのは零点を持たない標準形の二次系ですが、実際の伝達関数には分子に零点が現れたり、3次以上の極が残っていたりします。伝達関数の零点は行き過ぎ量を大きくしたり、逆応答（最初に逆方向へ動く）を引き起こしたりします。また、無視できない高次極があると応答は「ほぼ二次系」からずれます。二次系近似はあくまで支配的な2つの極だけを見た一次近似だと理解しておくことが大切です。

最後に、「減衰比は大きいほど良い」という誤解です。確かに ζ を上げれば行き過ぎ量は減りますが、同時に応答は遅くなります。ζ を1より大きくした過減衰では行き過ぎはゼロでも、目標到達がだらだらと遅れ、外乱に対する復元も鈍くなります。実用上は、行き過ぎを許容範囲（多くの場合5〜10 %程度）に収めつつ最も速い応答が得られる ζ≈0.7 付近が「ほどよい減衰」としてよく選ばれます。行き過ぎゼロを最優先にして過減衰へ振りすぎると、肝心の速応性を失う点に注意してください。

使い方ガイド

  1. 固有角振動数ωn（rad/s）をスライダーで設定します。制御系の応答速度に影響し、値が大きいほど高速応答になります。
  2. 減衰比ζ（0～1.5）を調整します。ζ=0.7では臨界減衰に近く、ζ＞1では過減衰、ζ＜0.7では振動的な応答を示します。
  3. ステップ入力の振幅（V）を設定後、シミュレーション開始ボタンを押すと、整定時間・立ち上がり時間・行き過ぎ量がリアルタイム計算され、時間応答グラフが描画されます。

具体的な計算例

サーボモータ制御系を想定し、ωn=10 rad/s、ζ=0.5、入力振幅20Vの場合：減衰固有振動数ωd=8.66 rad/s、行き過ぎ量16.3%、ピーク時間0.363s、立ち上がり時間0.165s、整定時間（±2%帯）0.8sとなります。一方ζ=1.0（臨界減衰）では行き過ぎ量0%で整定時間0.92sとなり、トレードオフが明確です。

実務での注意点