Q: hを小さくしすぎると誤差が増えるのはなぜですか？

hが極端に小さい場合（例えばh<10⁻¹²）、f(x+h)とf(x)が浮動小数点上でほぼ等しくなり、差分計算で有効桁数が失われます（桁落ち）。この丸め誤差はO(ε/h)で増大するため、log-logグラフでは打切り誤差の減少線と丸め誤差の増大線が交わるV字形になります。本ツールのε=2.22e-16（float64のマシンイプシロン）がこの下限を規定しています。

Question 1

中心差分の最適刻み幅hはどのように決まりますか？

Accepted Answer

1階中心差分の総誤差は打切り誤差 O(h²) と丸め誤差 O(ε/h) の和です。これを最小化すると h_opt = (3ε/|f'''|)^(1/3) ≈ ε^(1/3) ≈ 6×10⁻⁶ になります。float64（ε≈2.22e-16）の場合、最適hは通常10⁻⁵〜10⁻⁶付近で、このときの最小誤差は約ε^(2/3) ≈ 10⁻¹⁰〜10⁻¹¹です。本ツールのグラフでV字形の谷の底がこの最適点に対応します。

Question 2

4点中心差分O(h⁴)はいつ使うべきですか？

Accepted Answer

高精度な数値微分が必要な場合（感度解析・ヤコビアン計算など）に有効です。4点中心差分のステンシルは [-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(x-h)+f(x-2h)]/(12h) で、打切り誤差はO(h⁴)ですが、係数が大きいため丸め誤差の影響を受けやすく最適hが中心差分より大きくなります（h_opt≈10⁻⁴付近）。CAEのヤコビアン計算では通常h=10⁻⁵の中心差分で十分です。

Question 3

前進差分と中心差分の精度の差はどのくらいですか？

Accepted Answer

同じ刻み幅h=10⁻³の場合、前進差分（O(h¹)）の誤差は約10⁻³、中心差分（O(h²)）の誤差は約10⁻⁶と、約1,000倍の差があります。ただし中心差分は関数評価が2回必要です。計算コストが重要なCFDの反復計算では前進差分、精度優先のポストプロセスには中心差分を使うのが一般的です。

Question 4

hを小さくしすぎると誤差が増えるのはなぜですか？

Accepted Answer

hが極端に小さい場合（例えばh<10⁻¹²）、f(x+h)とf(x)が浮動小数点上でほぼ等しくなり、差分計算で有効桁数が失われます（桁落ち）。この丸め誤差はO(ε/h)で増大するため、log-logグラフでは打切り誤差の減少線と丸め誤差の増大線が交わるV字形になります。本ツールのε=2.22e-16（float64のマシンイプシロン）がこの下限を規定しています。

数値微分の打切り誤差・精度次数可視化

関数設定

差分スキーム

丸め誤差定数

|誤差| vs 刻み幅 h (log-log) — 打切り誤差 vs 丸め誤差のバランス

ステンシル可視化 (f(x) 近傍)

誤差分解: 打切り vs 丸め (中心差分)

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