MHD流动分析
理论：磁场对流动的制动
概述
听说核聚变堆用液态金属冷却时泵功率非常大，为什么？
液态金属导电性好，横穿强磁场流动时，会感应出与流动方向和磁场方向都垂直的电流。该电流处于磁场中，受到与流动相反的洛伦兹力，起制动作用。流速越快的地方制动越强，所以流速分布中央被压平，速度变化被压缩到壁面附近的薄层内。这一层的摩擦很大，流过同样流量所需压力增大几百甚至几千倍。两平行板间的流动（哈特曼流）有精确解，可以确认这一效应的大小。
哈特曼数与流速分布
y为离中心的距离，壁面为电绝缘。δ_Ha为壁面哈特曼层厚度。
流量与压损
同样压力梯度下的平均流速比，其倒数为流过同样流量时压损的增大倍数。
哈特曼的水银实验
1937年，丹麦的哈特曼通过水银在磁场中流道流动的实验和理论，证明磁场使流动变平、阻力增大。如今所说的哈特曼流、哈特曼数就来自这项研究。几乎同一时期，阿尔文预言了导电流体与磁场一起运动的波（阿尔文波），开辟了天体等离子体研究。MHD如今已是核聚变堆液态金属包层设计不可缺少的分析。
算例
例1：流体与磁场的组合
| 条件 | 哈特曼数 | 哈特曼层厚度 | 压损增大 |
|---|---|---|---|
| 水银、0.1 T、半宽10 mm | 26 | 0.38 mm | 9.0倍 |
| 水银、1 T、半宽10 mm | 261 | 0.038 mm | 87倍 |
| PbLi、5 T、半宽50 mm | 5,000 | 0.010 mm | 约1,670倍 |
例2：哈特曼数与流速分布平坦度
| 哈特曼数 | 平均流速/中心流速 | 达到中心95%以上速度的范围 | 压损增大 | Ha/3 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.677 | 23% | 1.1 | 0.3 |
| 10 | 0.900 | 70% | 3.7 | 3.3 |
| 100 | 0.990 | 97% | 33.7 | 33.3 |
| 1,000 | 0.999 | 99.7% | 334 | 333 |
哈特曼数5,000时边界层只有10 μm，用计算捕捉它似乎很难。
确实很难。半宽50 mm的流道中，需要在离壁10 μm的层内放几个网格点，网格宽度是中央的几千分之一。这一层网格粗了，壁面摩擦和电流路径就会改变，压损大大算错。而且实际流道是方管，平行于磁场的侧壁形成更厚的层（厚度约a/√Ha），可能出现高速射流。壁面导电时电流经壁面闭合，压损更大。核聚变堆中正在研究在壁面设置不易导电的层（流道插件）来抑制这一点。数值计算首先要与哈特曼流精确解比较，确认是否正确分辨了边界层。
分析流程
- 用哈特曼数和相互作用参数估算磁场效应大小。
- 建立能分辨哈特曼层（a/Ha）和侧壁层（a/√Ha）的网格。
- 用满足电流守恒的解法（电位法等）求感应电流。
- 计入壁面电导率和厚度，包括电流通过壁面的效应。
- 先用哈特曼流等精确解验证，再计算实际形状。
“网格加密后压损翻倍”
某液态金属流道分析中，最初计算壁面附近网格粗，哈特曼层内一个网格点都没有，结果压损只有理论的一半左右。向壁面加密网格、在哈特曼层内放5个以上点后，平板部分压损与精确解吻合在百分之几以内，总压损约为最初计算的2倍。没有分辨边界层的计算看起来像样，却会大大低估压损。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 未分辨哈特曼层 | 低估压损 | 层内放几个以上点 |
| 假定壁面绝缘 | 低估压损 | 计入壁面导电性 |
| 电流不守恒的解法 | 非物理的力 | 守恒型离散 |
| 漏掉侧壁射流 | 传热算错 | 三维分析 |
| 使用普通湍流模型 | 漏掉磁场抑制 | 适用MHD的模型 |
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