扩散火焰与混合分数
理论与物理
概述
老师，扩散火焰是一种什么样的燃烧形态？
扩散火焰（非预混火焰）是指燃料和氧化剂分别供给，在混合的同时进行燃烧的形态。蜡烛火焰、柴油发动机、燃气轮机的燃烧器都属于此类。火焰在燃料和氧化剂以化学计量比相遇的面（化学计量面）上形成。
这和预混火焰有本质上的不同呢。
是的。预混火焰中燃烧速度是主导参数，而在扩散火焰中，混合速度成为限制步骤。利用这一性质，使用混合分数 $Z$ 这一变量来描述火焰结构，是Burke-Schumann理论的核心。
混合分数
请告诉我混合分数 $Z$ 的定义。
混合分数是表示“流体微元中包含多少来自燃料流的质量”的守恒标量。Bilger的定义被广泛使用。
其中 $Y_F$ 是燃料质量分数，$Y_O$ 是氧化剂质量分数，下标1表示燃料流的值，下标2表示氧化剂流的值。$s$ 是基于质量的化学计量比。
$Z=0$ 是纯氧化剂，$Z=1$ 是纯燃料，对吗？
没错。化学计量混合分数 $Z_{st}$ 由 $Z_{st} = Y_{O,2}/(s\,Y_{F,1} + Y_{O,2})$ 给出，对于甲烷/空气的情况，$Z_{st} \approx 0.055$。火焰位于 $Z = Z_{st}$ 的等值面上。
Burke-Schumann解
Burke-Schumann解是什么？
假设化学反应无限快（$Da \to \infty$），则在火焰面上燃料和氧化剂瞬间反应，温度和化学组分成为仅是混合分数的函数。
这就是Burke-Schumann解，温度在 $Z_{st}$ 处取峰，呈三角形分布。这个解也是火焰面模型（flamelet model）的出发点。
混合分数的输运方程
混合分数 $Z$ 遵循一个无源项（不依赖于化学反应）的输运方程。
因为没有源项，所以即使不知道化学反应的细节，也能求解 $Z$ 场，对吧？
这正是混合分数方法的一大优势。将化学反应的复杂性压缩到 $Z$ 空间的火焰面方程中，在CFD中只需输运 $Z$ 及其方差 $\widetilde{Z''^2}$ 即可。
扩散火焰的理论，其基础完全建立在混合分数的概念之上呢。
是的。可以说，混合分数是非预混燃烧CFD中最重要的变量。
蜡烛火焰曾是“扩散火焰”的教科书——Burke-Schumann解的局限
1928年Burke和Schumann提出的扩散火焰解析解，基于“无限大反应速度”的假设，即燃料与氧化剂的混合瞬间完成。蜡烛火焰用这个模型可以惊人地再现。然而，在实际的燃气轮机燃烧器中采用同样的假设，有时NOx生成量会是实测值的10倍以上。按理说如果混合慢，“混合应是限制步骤”，但在高温区域，反应速度也是有限的这一事实就会显现出来。现场工程师说“Burke-Schumann解对于概念理解是最棒的，但不能用于设计”，原因就在于此。
各项的物理意义
- 时间项 $\partial(\rho\phi)/\partial t$：想象一下拧开水龙头的瞬间。最初水会不稳定地哗啦哗啦流出，过一会儿就变成稳定的水流了吧？描述这个“正在变化的过程中”的就是时间项。心脏搏动导致血流脉动，发动机阀门每次开闭导致流动变化，这些都是非定常现象。那么定常分析是什么？就是只看“经过足够时间流动稳定之后”——也就是将此项设为零。计算成本大幅降低，因此先用定常求解是CFD的基本策略。
- 对流项 $\nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \phi)$：把落叶丢进河里会怎样？会被水流带着运往下游对吧。这就是“对流”——流体的运动搬运物体的效果。暖气的热风能到达房间的另一端，也是因为空气这个“搬运工”通过对流输送热量。这里有趣的是——这一项包含“速度×速度”，因此是非线性的。也就是说，流速变快，这一项会急剧增强，变得难以控制。这就是湍流的根本原因。常见的误解：“对流和传导差不多吧？”→ 完全不一样！对流是流动搬运，传导是分子传递。效率有天壤之别。
- 扩散项 $\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi)$：有过在咖啡里倒入牛奶然后放置的经历吗？即使不搅拌，过一会儿也会自然混合对吧。那就是分子扩散。那么下一个问题——蜂蜜和水，哪个更容易流动？当然是水对吧。蜂蜜因为粘度（$\mu$）高，所以不易流动。粘度越大，扩散项越强，流体的运动就变得“粘稠”。雷诺数小的流动（缓慢、粘稠）中扩散占主导。相反，Re数大的流动中对流占压倒性优势，扩散则成为配角。
- 压力项 $-\nabla p$：注射器的活塞一推，液体就会从针头有力地射出对吧？为什么呢？因为活塞侧压力高，针头侧压力低——这个压力差成为推动流体的力。大坝放水也是同样的原理。天气图上等压线密集的地方会怎样？没错，会刮强风。“有压力差的地方就会产生流动”——这就是纳维-斯托克斯方程压力项的物理意义。这里的误解点：CFD中的“压力”很多时候是表压而非绝对压力。切换到可压缩分析时结果突然变得奇怪，原因可能就是混淆了绝对压力/表压。
- 源项 $S_\phi$：被加热的空气会上升——为什么呢？因为比周围轻（密度低），被浮力推上去了。这个浮力作为源项添加到方程中。还有，燃气灶的火焰产生化学反应热，工厂的电磁泵对金属熔液施加洛伦兹力……这些都是“从外部向流体注入能量或力”的作用，用源项表示。忘记源项会怎样？自然对流分析中忘记加入浮力，流体就完全不动——变成冬天房间里开了暖气但热空气不往上走的、物理上不可能的结果。
假设条件与适用范围
- 连续介质假设：克努森数 Kn < 0.01（分子平均自由程 ≪ 特征长度）时成立
- 牛顿流体假设：剪切应力与应变率呈线性关系（非牛顿流体需要粘度模型）
- 不可压缩假设（Ma < 0.3 时）：将密度视为常数处理。马赫数0.3以上需考虑可压缩性效应
- Boussinesq近似（自然对流）：仅在浮力项中考虑密度变化，其他项中使用恒定密度
- 不适用的情形：稀薄气体（Kn > 0.1）、超音速/高超音速流动（需要捕捉激波）、自由表面流动（需要VOF/Level Set等方法）
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意点·换算备忘 |
|---|---|---|
| 速度 $u$ | m/s | 入口条件从体积流量换算时，注意截面积单位 |
| 压力 $p$ | Pa | 区分表压和绝对压力。可压缩分析中使用绝对压力 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | 空气: 约1.225 kg/m³@20°C，水: 约998 kg/m³@20°C |
| 粘性系数 $\mu$ | Pa·s | 注意与运动粘性系数 $\nu = \mu/\rho$ [m²/s] 混淆 |
| 雷诺数 $Re$ | 无量纲 | $Re = \rho u L / \mu$。层流/湍流转换的判断指标 |
| CFL数 | 无量纲 | $CFL = u \Delta t / \Delta x$。直接关系到时间步长的稳定性 |
数值解法与实现
数值方法的细节
基于混合分数的燃烧模型在CFD中如何实现？
在非预混燃烧模型中，在CFD中求解 $Z$ 和 $\widetilde{Z''^2}$（混合分数方差）的输运方程，化学反应信息则从查找表中获取。
输运方程
湍流场中Favre平均混合分数 $\widetilde{Z}$ 和方差 $\widetilde{Z''^2}$ 的方程如下。
方差方程的最后一项 $\widetilde{\chi}$ 是什么？
是标量耗散率（scalar dissipation rate）。定义为 $\chi = 2D|\nabla Z|^2$，表示混合分数的微细结构以多快的速度耗散。在湍流条件下通常建模为 $\widetilde{\chi} = C_\chi \frac{\varepsilon}{k}\widetilde{Z''^2}$（$C_\chi \approx 2.0$）。
PDF（概率密度函数）
请告诉我PDF的作用。
因为在湍流场中 $Z$ 在网格单元内是脉动的，仅靠平均值无法正确表示火焰结构。需要假设 $Z$ 的概率密度函数 $P(Z)$，通过积分来求平均温度和平均化学组分。
PDF的形状广泛使用 $\beta$ 函数分布。由 $\widetilde{Z}$ 和 $\widetilde{Z''^2}$ 这两个参数可以唯一确定 $\beta$ 分布的形态。
查找表的构建
表是怎么制作的？
预先求解火焰面方程或化学平衡，制作以 $Z$ 和 $\chi_{st}$（化学计量耗散率）为参数的温度·化学组分表。将此表用PDF积分后的表，在CFD运行时被参照。
| 表变量 | 维数 | 用途 |
|---|---|---|
| $\widetilde{Z}$, $\widetilde{Z''^2}$ | 2D | 平衡化学·薄火焰 |
| $\widetilde{Z}$, $\widetilde{Z''^2}$, $\widetilde{\chi_{st}}$ | 3D | 稳态火焰面 |
| $\widetilde{Z}$, $\widetilde{Z''^2}$, $\widetilde{C}$ | 3D | FGM（添加进程变量） |
在Fluent中如何设置？
在Fluent中选择 Models > Species > Non-Premixed Combustion，导入CHEMKIN格式的反应机理，自动生成PDF表。表分辨率（$Z$ 方向的分割数）推荐至少64点，最好128点。
混合分数 + PDF表的方法，巧妙之处在于将化学反应预先求解了呢。
是的。因为在3D CFD运行时不需要求解化学反应，所以即使是详细化学反应，计算成本也几乎不变，这是它最大的优势。
如何求解标量耗散率χ——扩散火焰模型实现中最具争议的变量
实现扩散火焰的火焰面模型时，最让实现者头疼的就是标量耗散率χ（chi）的计算。χ表示火焰面处混合的剧烈程度（湍流导致的燃料-氧化剂拉伸率），χ越高火焰越容易熄灭。然而在湍流CFD中直接计算χ的公式有多种，根据Favre平均和模型常数的选择，结果会不同。特别是在回流区（燃烧器尾流）中χ接近0的区域和剪切层中χ高的区域共存的情况下，空间分布的计算精度直接关系到NOx和碳烟预测。“如何计算χ”有时甚至成为厂商间秘而不宣的诀窍。
迎风格式（Upwind）
一阶迎风：数值扩散大但稳定。二阶迎风：精度提高但有振荡风险。高雷诺数流动中必须使用。
中心差分（Central Differencing）
二阶精度，但Pe数 > 2时会产生数值振荡。适用于低雷诺数的扩散主导流动。
TVD格式（MUSCL、QUICK等）
通过限制器函数抑制数值振荡，同时保持高精度。对捕捉激波或陡峭梯度有效。
有限体积法 vs 有限元法
FVM：自然地满足守恒定律。CFD的主流。FEM：对复杂形状和多物理场有利。SPH等无网格法也在发展中。
CFL条件（库朗数）
显式方法：CFL ≤ 1 是稳定条件。隐式方法：即使CFL > 1 也稳定，但影响精度和迭代次数。LES：推荐 CFL ≈ 1。物理意义：一个时间步内信息传播不超过一个网格。
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