粘性散逸
理论与物理
什么是粘性耗散
老师，粘性耗散大概就是“因粘性而产生热量”的印象，但准确来说是什么现象呢？
是流体的动能通过粘性力的作用不可逆地转化为内能（热）的现象。从分子层面来说，是伴随流体层间剪切而产生的分子摩擦导致动能耗散。
举一些日常的例子：
- 轮胎橡胶在行驶中发热（粘弹性体的变形耗散）
- 航天飞机再入大气层时的高温（激波内的粘性耗散）
- 高分子注塑成型时浇口部局部加热
- 大坝泄水道水温略微上升
大坝泄水温度也会升高吗！
理论上是的。假设从高度 $h = 100\,\text{m}$ 落下的水的势能全部转化为热：
这与Joule在19世纪实测的值基本一致。
粘性耗散函数的推导
能量方程中粘性耗散项的准确写法是：
对于不可压缩牛顿流体，这等于：
张量表示法为：
这里重要的是，$\Phi \geq 0$ 总是成立。这是热力学第二定律的要求，粘性耗散是将动能转化为热的单向过程。
是“不可逆过程”对吧。
Brinkman数 — 粘性耗散的重要性指标
判断粘性耗散是否可以忽略的无量纲数是Brinkman数。
$\mu$ 是粘度，$U$ 是特征速度，$k$ 是热导率，$\Delta T$ 是特征温差。
| Br 的值 | 解释 | 例子 |
|---|---|---|
| $\text{Br} \ll 1$ | 粘性耗散可忽略 | 普通水管内流 |
| $\text{Br} \sim O(1)$ | 应考虑粘性耗散 | 高分子加工、润滑油膜 |
| $\text{Br} \gg 1$ | 粘性耗散占主导 | 超高速流、航天器再入体 |
也就是说，只有在Br数大的时候才需要在能量方程中加入耗散项对吧。
是的。不必要地加入耗散项会增加计算成本，恶化收敛性，所以根据Br数进行事前判断很重要。
粘性耗散的发现史——从焦耳加热到流体摩擦热（斯托克斯的贡献）
从流体力学角度公式化流体粘性耗散（流动能量转化为热的现象）的是乔治·加布里埃尔·斯托克斯（G.G. Stokes）。他在1845年的论文《On the Theories of the Internal Friction of Fluids in Motion》中数学地描述了粘性应力张量与能量耗散的关系，明确了N-S方程粘性项的物理意义。在此之前，焦耳（1843年）展示了固体电阻中的电-热转换（焦耳加热），流体的摩擦热可视为其流体力学版本。高速飞行体（弹道导弹、宇宙飞船再入）的气动加热即源于此粘性耗散，斯托克斯150年前的理论直接关联到阿波罗返回舱的热防护罩设计。
各项的物理意义
- 时间项 $\partial(\rho\phi)/\partial t$：想象一下打开水龙头的瞬间。最初水会不稳定地喷溅，过一会儿才变成稳定水流对吧？描述这个“变化过程中”的就是时间项。心脏搏动导致血流脉动，发动机阀门每次开闭引起流动变化，这些都是非定常现象。那么定常分析是什么？就是“只观察经过足够长时间流动稳定之后”——也就是令此项为零。计算成本大幅降低，因此先用定常求解是CFD的基本策略。
- 对流项 $\nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \phi)$：把落叶丢进河里会怎样？会被水流带着往下游漂对吧。这就是“对流”——流体运动搬运物质的效果。暖风的暖气能送到房间角落，也是因为空气这个“搬运工”通过对流输送热量。这里有趣的是——此项包含“速度×速度”，因此是非线性的。也就是说，流速变快此项会急剧增强，变得难以控制。这就是湍流的根本原因。常见的误解：“对流和传导差不多”→ 完全不一样！对流是流动搬运，传导是分子传递。效率有天壤之别。
- 扩散项 $\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi)$：有过在咖啡里倒入牛奶后放置的经历吗？即使不搅拌，过一会儿也会自然混合对吧。那就是分子扩散。那么下一个问题——蜂蜜和水，哪个更容易流动？当然是水对吧。因为蜂蜜粘度（$\mu$）高所以难流动。粘度大则扩散项强，流体呈现“粘稠”的运动。雷诺数小的流动（缓慢、粘稠）中扩散占主导。反之，Re数大的流动中对流占压倒性优势，扩散成为配角。
- 压力项 $-\nabla p$：推注射器的活塞，液体就会从针尖有力地射出对吧？为什么呢？因为活塞侧高压，针尖低压——这个压力差成为推动流体的力。大坝泄水也是同样原理。天气图上等压线密集的地方会怎样？没错，会刮强风。“有压力差的地方产生流动”——这就是纳维-斯托克斯方程压力项的物理意义。这里的误解点：CFD的“压力”多为表压而非绝对压力。切换到可压缩分析时结果突然出错，原因可能就是混淆了绝对压力/表压。
- 源项 $S_\phi$：受热的空气会上升——为什么呢？因为比周围轻（密度低），被浮力推上去了。这个浮力作为源项添加到方程中。其他还有，燃气灶火焰产生化学反应热、工厂电磁泵对金属熔液施加洛伦兹力…这些都是“从外部向流体注入能量或力”的作用，用源项表示。忘记源项会怎样？自然对流分析中忘记加入浮力，流体就完全不动——冬天房间里开了暖气但暖空气不上升，这种物理上不可能的结果就会出现。
假设条件与适用范围
- 连续介质假设：克努森数 Kn < 0.01（分子平均自由程 ≪ 特征长度）时成立
- 牛顿流体假设：剪切应力与应变速率呈线性关系（非牛顿流体需要粘度模型）
- 不可压缩假设（Ma < 0.3时）：将密度视为常数。马赫数0.3以上需考虑可压缩性效应
- Boussinesq近似（自然对流）：仅在浮力项中考虑密度变化，其他项使用恒定密度
- 不适用的情形：稀薄气体（Kn > 0.1）、超音速/高超音速流动（需要捕捉激波）、自由表面流动（需要VOF/Level Set等）
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意点·换算备忘 |
|---|---|---|
| 速度 $u$ | m/s | 入口条件从体积流量换算时，注意截面积单位 |
| 压力 $p$ | Pa | 区分表压与绝对压力。可压缩分析使用绝对压力 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | 空气: 约1.225 kg/m³@20°C、水: 约998 kg/m³@20°C |
| 粘性系数 $\mu$ | Pa·s | 注意与运动粘性系数 $\nu = \mu/\rho$ [m²/s] 混淆 |
| 雷诺数 $Re$ | 无量纲 | $Re = \rho u L / \mu$。层流/湍流转捩的判断指标 |
| CFL数 | 无量纲 | $CFL = u \Delta t / \Delta x$。直接关系到时间步长的稳定性 |
数值解法与实现
能量方程中粘性耗散的嵌入
用CFD计算粘性耗散时，要修改哪个方程？怎么改？
在能量方程中添加粘性耗散函数 $\Phi$ 作为源项。
在有限体积法的离散化中，$\Phi$ 作为对单元体积的积分来评估：
在每个单元中心根据速度梯度计算剪切速率，评估 $\Phi = \mu |\dot{\gamma}|^2$ 并加到能量方程的源项中。
运动方程不需要修改吗？
基本上是的。但是，当粘性耗散引起的温升影响粘度时（温度依赖粘度），也会反馈到运动方程。这种情况下，需要耦合求解能量方程和运动方程。
湍流场中的粘性耗散
湍流场中，粘性耗散的处理与层流不同。在RANS（Reynolds平均）框架下：
$\overline{\Phi}_{\text{mean}}$ 是平均速度场引起的耗散，$\varepsilon$ 是湍流动能耗散率（正是 $k$-$\varepsilon$ 模型中的 $\varepsilon$）。
实际上，$\varepsilon$ 在大多数湍流问题中已自动作为能量方程的源项被考虑。湍流动能方程的耗散项正是这个：
$P_k$ 是湍流动能生成项，$\varepsilon$ 是耗散率。这个 $\varepsilon$ 最终会转化为热。
原来 $k$-$\varepsilon$ 模型中的 $\varepsilon$ 直接关联着粘性耗散啊！
正是如此。湍流总动能级串的最终阶段就是粘性耗散（$\varepsilon$）。根据Kolmogorov尺度律，发生耗散的最小尺度是：
数值精度的注意点
总结一下粘性耗散数值计算中需要注意的点。
| 项目 | 注意点 | 对策 | ||
|---|---|---|---|---|
| 速度梯度精度 | $\Phi$ 与速度梯度的平方成正比，因此梯度精度直接影响结果 | 使用二阶及以上精度的格式 | ||
| 网格分辨率 | 壁面附近剪切最大的区域 | 壁面网格足够细化 | ||
| 与数值耗散的区分 | 迎风格式的数值粘性也会产生非物理耗散 | 使用高阶精度格式减少数值耗散 | ||
| 非牛顿流体 | $\Phi = \eta(\dot{\gamma}) | \dot{\gamma} | ^2$ 依赖模型 | 确认与粘度模型一致的Φ实现 |
需要注意不要混淆数值耗散和物理的粘性耗散呢。
特别是在LES（大涡模拟）中，SGS（亚格子尺度）模型会引入额外的耗散。物理耗散与模型耗散的区分直接关系到精度。
粘性耗散的数值处理——确保高速流体中的能量守恒精度
在高马赫数流动或高粘性流体分析中，准确求解能量方程中由速度梯度产生热的“粘性耗散项Φ=τ:∇u”非常重要。此项与速度的平方成正比，因此在流速高的区域会急剧增大。数值上的问题是，在网格粗的区域速度梯度被低估，耗散也会被低估，导致能量守恒被破坏。实务中，用“Brinkman数Br=μU²/(kΔT)”事前评估耗散的重要性，若Br>0.1则必须启用耗散。另外，包含耗散项的计算中温度残差与速度残差会相互影响，因此需要设定更严格的收敛标准（残差1e-6以下）。
迎风格式（Upwind）
一阶迎风：数值扩散大但稳定。二阶迎风：精度提高但有振荡风险。高雷诺数流动中必须使用。
中心差分（Central Differencing）
二阶精度，但Pe数 > 2时会产生数值振荡。适用于低雷诺数的扩散主导流动。
TVD格式（MUSCL、QUICK等）
通过限制器函数抑制数值振荡同时保持高精度。对捕捉激波或陡峭梯度有效。
有限体积法 vs 有限元法
FVM：自然满足守恒定律。CFD的主流。FEM：对复杂形状、多物理场有利。SPH等无网格法也在发展中。
CFL条件（库朗数）
显式方法：CFL ≤ 1为稳定条件。隐式方法：即使CFL > 1也稳定，但影响精度和迭代次数。LES：推荐CFL ≈ 1。物理意义：一个时间步内信息传播不超过一个网格。