Reynolds应力模型（RSM）
Reynolds应力模型（RSM）的理论基础
概要
老师，Reynolds应力模型（RSM）与其他RANS模型有什么区别呢？
最大的区别是不使用涡粘度假设（Boussinesq假设）。k-epsilon或k-omega模型通过涡粘性 $\mu_t$ 将Reynolds应力 $\overline{u_i'u_j'}$ 与平均变形速率成正比。RSM不采用这一假设，直接解Reynolds应力张量的6个分量的输运方程。
6个分量是指要增加6个方程吗？
Reynolds应力张量是对称的，所以独立分量有6个。加上 $\varepsilon$（散逸率）的方程，共计7个附加方程需要求解。与2方程模型（k-omega等）相比，计算成本增加2〜3倍。
支配方程
能说一下具体的方程吗？
Reynolds应力 $R_{ij} = \overline{u_i'u_j'}$ 的输运方程如下。
总结每一项的含义如下。
| 项 | 公式 | 物理意义 |
|---|---|---|
| 生成 $P_{ij}$ | $-R_{ik}\frac{\partial U_j}{\partial x_k} - R_{jk}\frac{\partial U_i}{\partial x_k}$ | 由平均速度梯度产生（可精确计算） |
| 压力变形 $\Pi_{ij}$ | $\overline{p'\left(\frac{\partial u_i'}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j'}{\partial x_i}\right)}$ | 能量在分量间的重新分配（需要建模） |
| 乱流扩散 $D_{ij}^T$ | $-\frac{\partial}{\partial x_k}\overline{u_i'u_j'u_k'}$ | 乱流输运（需要建模） |
| 粘性扩散 $D_{ij}^\nu$ | $\nu\nabla^2 R_{ij}$ | 分子粘性扩散（精确） |
| 散逸 $\varepsilon_{ij}$ | $2\nu\overline{\frac{\partial u_i'}{\partial x_k}\frac{\partial u_j'}{\partial x_k}}$ | 粘性散逸（需要建模） |
并非所有项都能精确计算呢。
确实如此。生成项 $P_{ij}$ 和粘性扩散可以以闭合形式计算，但压力变形项、乱流扩散项和散逸张量都需要建模。RSM的精度在很大程度上取决于这些模型的质量。
压力变形项的建模
压力变形项有哪些建模方法呢？
列举代表性的模型。
| 模型 | 提出者 | 特点 |
|---|---|---|
| LRR (Linear Return to Isotropy) | Launder, Reece, Rodi (1975) | 线性模型。工业应用的标准 |
| SSG (Speziale-Sarkar-Gatski) | Speziale et al. (1991) | 二次非线性模型。精度提高 |
| GL (Gibson-Launder) | Gibson, Launder (1978) | 考虑壁面反射效果 |
在LRR模型中，$\Pi_{ij}$ 如下分解。
$\Pi_{ij,1}$ 是低速返回项（将异向性恢复为等向的效果），$\Pi_{ij,2}$ 是快速项（由平均变形产生的重新分配），$\Pi_{ij,w}$ 是壁面反射项。
解7个方程的奢侈——RSM为何是"理论的顶峰"
Reynolds应力模型（RSM）解6个应力分量 $\overline{u_i u_j}$ 和散逸率ε的独立输运方程，是RANS中最严格的模型。不使用涡粘性假设，能自然地表达由旋转流、曲率、浮力引起的乱流异向性。代价是计算成本：需要2〜3倍的2方程模型的内存和计算时间，而且收敛困难。涡轮机械的二次流、旋风分离器的设计中确实存在"必须用RSM"的场景，但"精度高的模型=应该用的模型"并非总是成立，这是一个好例子。
Reynolds应力模型（RSM）的数值计算手法
FVM离散化与求解
RSM的7个方程怎么求解呢？
分离型求解器（Segregated Solver）会逐次迭代解6个Reynolds应力方程和1个 $\varepsilon$ 方程。在运动量方程与压力方程之间插入RSM更新步骤。
1. 求解运动量方程（从 $R_{ij}$ 直接使用应力张量，而非用涡粘性）
2. 求解压力修正方程（SIMPLE/PISO）
3. 求解6个Reynolds应力方程
4. 求解 $\varepsilon$ 方程
5. 收敛判定、反复迭代
运动量方程直接使用Reynolds应力是什么意思？
k-epsilon模型使用涡粘性假设 $-\overline{u_i'u_j'} = \mu_t(\partial U_i/\partial x_j + \partial U_j/\partial x_i) - (2/3)k\delta_{ij}$，按扩散项方式处理。RSM直接将 $\overline{u_i'u_j'}$ 作为源项代入运动量方程。这样异向性效果得到精确反映。
数值稳定性问题
听说RSM收敛困难。
解7个强耦合的非线性方程，所以与k-epsilon相比收敛明显困难。主要问题与对策如下。
| 问题 | 原因 | 对策 |
|---|---|---|
| Reynolds应力可实现性违反 | $R_{ij}$ 不再是正定对称 | 应用Realizability constraint |
| $\varepsilon$ 的过大估计 | 壁面附近散逸过大 | 使用ω基础的RSM（BSL-RSM） |
| 收敛缓慢 | 方程间强耦合 | Under-relaxation设为0.3〜0.5 |
| 对初值敏感 | 初始 $R_{ij}$ 不合理 | 用k-epsilon的结果初始化 |
实务技巧是，开始RSM计算时先用k-epsilon或SST k-omega获得收敛解，然后将该结果作为RSM初值，这是铁律。
omega基础的RSM
有用 $\omega$ 替代 $\varepsilon$ 的RSM吗？
有。Menter提出的BSL-RSM（Baseline RSM）用SST k-omega的 $\omega$ 方程替代 $\varepsilon$ 方程。壁面附近的表现改善，与壁面函数的相容性也好。
| RSM变种 | 散逸方程 | 壁面处理 | 求解器支持 |
|---|---|---|---|
| LRR-RSM | $\varepsilon$ | Low-Re或壁面函数 | Fluent, CFX, OpenFOAM |
| SSG-RSM | $\varepsilon$ | Low-Re | Fluent, CFX, STAR-CCM+ |
| BSL-RSM (ω基础) | $\omega$ | 自动WT | CFX, Fluent |
| LRR-RSM-w | $\omega$ | 壁面函数相容 | OpenFOAM |
CFX推荐用BSL-RSM吗？
是的。CFX的默认RSM就是BSL-RSM。能使用与SST k-omega相同的壁面处理（Automatic Wall Treatment），对网格y+有较强的鲁棒性。
旋风分离器设计中RSM逆转胜利的场景
旋风分离器（通过离心力分离粉体或液滴的设备）的分析中，标准k-ε和SST会大幅偏离分离效率，这是众所周知的。强旋转流中乱流应力高度异向，涡粘性假设破裂。应用RSM时，旋流速度分布和压力降与实验值接近，这样的案例被广泛报告。化学厂旋风分离器设计中有采用RSM作为标准的企业，正是基于此原因。"特定流动只有RSM才行"这一现实，为高成本正名。
Reynolds应力模型（RSM）的实务应用
RSM的应用范围
RSM在什么场景用？成本高，不能到处用RSM吧。
RSM真正显威的是涡粘性假设破裂的流动。
| 适用场景 | 原因 |
|---|---|
| 强旋转流（旋风、涡室） | 涡粘模型无法捕捉旋转流的异向性 |
| 弯曲管内流 | 二次流发展依赖异向性 |
| 喷流冲击（冲击喷流） | 回避滞点异常 |
| 非圆形管道内二次流 | 正方形管道的拐角漩涡非RSM无法重现 |
| 混合容器（搅拌槽） | 3D旋转的异向性是支配性的 |
入口边界条件
RSM的入口条件比k-epsilon麻烦吗？
要指定6分量Reynolds应力。假设等向乱流的话，
大多数情况下这个等向假设没问题。只要入口后有足够的助走区间，流动发展时异向性会自然形成。
实务分析流程
用RSM做分析的步骤教一下。
推荐步骤如下。
1. 用k-epsilon Realizable获得收敛解（同时验证网格合理性）
2. 将收敛解作为初值切换到RSM
3. Under-relaxation设为低值 -- Reynolds应力: 0.3〜0.5、$\varepsilon$: 0.3〜0.5
4. 确认残差和监测点收敛 -- RSM残差可在 $10^{-4}$ 量级收敛
5. 将结果与k-epsilon对比 -- 确认异向性效果的贡献
切换到RSM后结果和k-epsilon基本一样怎么办？
说明该流动涡粘性假设成立。成本不值，应该回到k-epsilon族。RSM始终是"异向性重要的流动"专用工具。
船舶推进的二次流——RSM在实务中使用的现场
螺旋桨尾流或球形舰首周围的流动分析中，乱流二次流动图式（轴向垂直的小涡）影响船体阻力。这一二次流由Reynolds应力的异向性产生，涡粘模型的2方程模型原理上无法重现。日本造船公司的设计部门有"用k-ε设计，用RSM最终确认"的工作流程，正是这一物理原因的反映。"k-ε用于设计，RSM用于确认"的两阶段方法在造船CFD现场已定着。
Reynolds应力模型（RSM）的软件对比
求解器别RSM实现
各求解器的RSM实现有什么差异？
| 功能 | Ansys Fluent | Ansys CFX | STAR-CCM+ | OpenFOAM |
|---|---|---|---|---|
| LRR-IP模型 | 支持 | 支持 | -- | 支持（LRR） |
| SSG模型 | 支持 | 支持 | 支持 | 社区实现 |
| BSL-RSM（ω基础） | 支持 | 支持（推荐） | -- | 支持 |
| 壁面反射项 | 可选 | 自动 | 可选 | 可选 |
| 二次压力变形 | 支持 | -- | 支持 | 社区实现 |
Fluent中RSM怎样设置？
1. Models > Viscous > Reynolds Stress > Linear Pressure-Strain (LRR)或Quadratic Pressure-Strain (SSG)
2. 选择Near-Wall Treatment: Enhanced Wall Treatment（$y^+ \approx 1$）或Scalable Wall Functions（$y^+ > 30$）
3. 入口边界条件：Turbulence Specification为k and Epsilon，Reynolds Stresses用等向假设自动计算
4. Under-Relaxation: 初期将Reynolds Stresses设为0.3，Epsilon设为0.3
CFX中的设置
CFX呢？
CFX推荐使用BSL-RSM，设置如下。
1. Domain > Fluid Models > Turbulence > Reynolds Stress > BSL Reynolds Stress
2. Wall Treatment为自动（Automatic Wall Treatment）
3. Initialization从k-epsilon结果开始（可通过Expert Parameter设置）
CFX的BSL-RSM采用与SST k-omega相同的 $\omega$ 方程，应用Automatic Wall Treatment壁面处理。对网格y+的依赖性小，工业应用更方便。
OpenFOAM中的设置
OpenFOAM如何使用RSM？
在 constant/turbulenceProperties 中指定 LRR。
```
RAS {
model LRR;
turbulence on;
printCoeffs on;
}
```
初始条件需要 R（Reynolds应力张量）和 epsilon 两个文件。R 为symmTensor类型，指定 (Rxx Rxy Rxz Ryy Ryz Rzz) 的6个分量。
RSM最大的障碍是收敛困难。k-epsilon初始化和低Under-relaxation是成功的关键，这点明白了。
再加一点，RSM发散时从SSG（二次模型）改为LRR（线性模型）往往能稳定。SSG精度高但稳定性差。
STAR-CCM+的RSM初始化战略——收敛的秘诀
RSM从零开始计算时收敛困难，最坏会发散。STAR-CCM+重度用户中流行"先用SST跑100～200迭代，再用该结果作为RSM初值"的初始化战略。这一方法对Fluent和OpenFOAM也同样有效，特别在高Swirl数流动（旋流燃烧器、旋风）中效果明显。在放弃收敛回到k-ε之前，请务必试试这一初始化战略。
Reynolds应力模型（RSM）的先端研究
椭圆混合RSM
改进RSM壁面附近精度的研究有吗？
Manceau-Hanjalic (2002)的椭圆混合RSM(EB-RSM)很有前景。不用Gibson-Launder型壁面反射项，解一个椭圆型弛豫方程来描述壁面效果。
用一个标量场 $\alpha$ 在壁面处为0、远场处为1，对压力变形项在壁面附近与远场进行混合。消除了壁面反射项对"壁距"和"壁面法向"的依赖，在复杂形状上精度提高。
哪些求解器能用？
Code_Saturne（EDF开发的开源CFD）标配EB-RSM。OpenFOAM有社区实现。商用求解器支持有限。
显式代数Reynolds应力模型（EARSM）
维持RSM精度又降低成本的方法有吗？
显式代数Reynolds应力模型(EARSM)就是这样。Wallin-Johansson (2000)的模型是代表。通过忽略RSM的Reynolds应力输运方程的对流项和扩散项，简化为代数方程，将 $R_{ij}$ 表为平均速度梯度的显函数。
总结EARSM优缺点。
| 特性 | RSM | EARSM | 线性涡粘性模型 |
|---|---|---|---|
| 异向性重现 | 高 | 中等 | 无 |
| 追加方程数 | 7本 | 0本（仅代数式） | 0本 |
| 收敛稳定性 | 困难 | 良好 | 良好 |
| 二次流预测 | 精确 | 相对精确 | 不可能 |
EARSM是在涡粘模型框架内加入异向性的东西，是这样理解吗？
理解大体正确。也可以理解为涡粘性张量的非线性扩张。计算成本与k-epsilon相当，却能部分表现异向性效果，是成本效益高的手法。
数据驱动型RSM
有将RSM与机器学习结合的研究吗？
有。Xiao-Duraisamy (2016)和Wu et al. (2018)的研究中，用DNS数据通过神经网络学习压力变形项建模。比传统LRR和SSG模型精度更高，但泛化性（对学习未见流动的适用性）是课题。
RSM是理论上最严格的RANS模型，但收敛困难和成本是障碍。EARSM或ML-RSM等方向在精度和成本间求平衡，演化在进行。
EARSM作为"RSM的妥协"——耗时10年的工程解答
显式代数Reynolds应力模型（EARSM）通过弱均衡假设将RSM方程代数化，用2方程模型成本求RSM级别的应力张量。1990年代开始研究，Wallin & Johansson（2000）发表了泛用性高的EARSM。精度比完全RSM低，但相比标准k-ε更高，实现了中等精度成本的平衡。"理想上想用RSM但计算时间…"的现场困局，经过研究10年，得到这一工程解答。
Reynolds应力模型（RSM）的故障排除
常见问题及对策
RSM计算不顺利时，要检查什么？
1. 计算发散
现象: 残差发散、出现NaN/Inf
原因: RSM初值不当（零初始化等）、Under-relaxation过高、网格质量差
对策:
- 用k-epsilon Realizable先获得收敛解再切到RSM（最重要）
- 降低Under-relaxation: Reynolds Stresses = 0.3、Turbulent Dissipation Rate = 0.3
- Fluent中Stabilization Method改为"Implicit Body Force"
- 网格斜度控制在0.85以下
2. Reynolds应力可实现性违反
可实现性违反是什么？
物理上，Reynolds应力张量的特征值应非负（$k \geq 0$，各分量方差非负）。数值误差破坏这一条件就会产生非物理解。
对策:
- Fluent中启用Realizability Enforcement
- SSG模型比LRR更容易保持可实现性
- 检查源项隐式线性化是否合理
3. 结果与k-epsilon无差别
切到RSM后结果和k-epsilon基本一样。
原因: 流动异向性弱（单纯管路、完全发达流等）。RSM优势只在旋转流、弯管这样异向性强的流动才显现。
对策:
- 用后处理确认异向性指标 $A = 1 - \frac{27}{2}\det(a_{ij}^*)$。接近0说明等向，RSM无优势
- 单纯流动应回到k-epsilon系统节省成本
4. 壁面附近不稳定
现象: 壁面附近Reynolds应力振荡，无法收敛
对策:
- 从ε基础RSM改为ω基础的BSL-RSM
- 壁面处理改为Enhanced Wall Treatment（$y^+ \approx 1$）
- 壁面反射项(Gibson-Launder)不当时尝试禁用
RSM是否必要的判定方法
事先判断是否真正需要RSM的方法有吗？
可以这样判定。
1. 用k-epsilon Realizable做计算
2. 检查涡粘比 $\mu_t/\mu$ 分布
3. 计算应变率与旋转率的比 $S/\Omega$。在 $S/\Omega$ 偏离1的区域，RSM有检讨价值
4. 有实验数据时，检查k-epsilon能否重现二次流图式
盲目用RSM不行，要先确认涡粘性假设的合理性，这是对方法的尊重。
壁面反射项引发的神秘发散——RSM故障排查的深潭
RSM故障排查中最棘手的是压力变形关联的壁面反射项 $\Pi_{ij,w}$ 导致的发散。该项在靠近壁面的网格中取值很大，粗网格或复杂几何上数值震荡。应对办法是临时切换到不含反射项的简化LRR模型，或将壁面反射系数从0.3降至0.1，但这降低精度。"RSM发散就怀疑壁面反射项"是CFD支持工程师间代代相传的诊断第一步。
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