变形梯度张量 — CAE用语解说

直观来说就是"变形前的微小线段如何变成变形后的线段"的描述张量。当变形前位置X处的点移动到变形后的x(X)位置时，F = dx/dX（雅可比行列式）就是变形梯度张量。小变形时位移梯度就足够了，但对于橡胶或生物组织的50%以上大变形，必须仔细区分"原始位置"和"当前位置"，否则会计算出错误的应力。F可在Abaqus的SDVOUT/NE输出中看到。

用F可以求出各种力学量。①Green-Lagrange应变张量: E = (F^T*F - I)/2——变形前坐标系中的有限应变。②左Cauchy-Green张量: b = F*F^T——用于超弹性模型的不变量计算。③体积变化比: J = det(F)——J=1表示体积保存（不可压缩），J偏离1表示体积变化。④极分解: F = R*U = V*R——R是纯刚体旋转，U和V分别是右伸长和左伸长张量——通过这种方式可以将变形分解为"旋转量"和"伸长量"。

Mooney-Rivlin、Neo-Hookean、Ogden——这些超弹性模型用变形能量密度W(I1, I2, I3)的形式表示，其中I1, I2, I3是b张量的不变量（b = F*F^T）。也就是说，从F计算b，从b的不变量计算W，然后对b或E求导W得到应力。Abaqus的超弹性材料定义（HYPERELASTIC）在内部自动进行这种F相关的计算。橡胶密封件和O型圈的大变形分析、轮胎接地变形分析都通过这条路线求解。

必须用。心脏肌肉和血管非常柔软，收缩和膨胀时会产生50～100%的大变形。没有基于变形梯度张量的有限变形理论，就无法正确计算应力和变形。更重要的是，生物组织具有各向异性（沿着肌纤维方向刚度较高）和非均质性，所以必须用F = R*U的极分解来追踪局部纤维方向的伸长变化。Abaqus UMAXT和FEBio等生物力学专用FEM代码都实现了基于F张量的各向异性超弹性模型。