Green函数 — CAE术语解说
Green函数
老师，我在阅读边界元法（BEM）的论文时，频繁看到「Green函数」，它与FEM的形函数完全不同吗？
定义
Green函数大概是什么？
在某点放置单位点源（力或热源）时，表示空间任意一点的响应的函数。说白了就是「点载荷对控制方程的基本解」。比如三维拉普拉斯方程中，Green函数为G=1/(4πr)；对于弹性体，Kelvin解就对应Green函数。
既然点载荷已知响应，那任意载荷就能表示为点载荷的叠加，所以只要知道Green函数，任何载荷的响应都能求出来？
完全正确！这正是Green函数的威力所在。对于分布载荷f，解可以通过Green函数G与f的卷积积分得到。这成为了边界积分方程法的数学基础，这就是为什么BEM只需对边界面进行离散化——因为Green函数具有这样的性质。
CAE中的位置
在BEM中使用Green函数的具体优势是什么？
声学分析是最好的例子。计算扬声器的辐射声时，用FEM的话需要把从扬声器到无穷远的空气区域都用网格填充，但用BEM的话，Green函数会自动满足无穷远处的条件，只需对扬声器表面进行网格划分就可以了。这样单元数能少好几个数量级。
听起来很强大。没有缺点吗？
有的。Green函数的奇点（r→0时G→∞）的数值处理很困难，而且系数矩阵是稠密矩阵，大规模问题的计算成本会很高。这就是为什么要用快速多极展开法（FMM）来压缩矩阵，从而降低大规模问题的内存和计算时间。
相关术语
请告诉我与Green函数相关的重点术语。
这些是要掌握的关键术语。
声学分析的例子非常容易理解。我会注意FEM和BEM的应用场景差异。
很好。如果用拉普拉斯方程的Green函数手工计算一下卷积积分，就能从深层理解BEM的工作原理。
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