变分原理 — CAE术语解说

这是一个非常本质的问题。变分原理是"物理系统的平衡状态可以表示为能量泛函取得停留值的状态"这一原理。FEM以这个变分原理为出发点，将连续体问题转化为离散方程。

比如考虑一根弹簧上悬挂一个重物的情况。弹簧的应变能减去重力的势能得到的"总势能"在最小值处重物静止。这就是最小势能原理。结构分析的FEM就是用有限个单元来近似这一原理。

FVM是直接离散化守恒律的积分形式，所以严格来说不使用变分原理。变分原理特别重要是作为FEM的数学基础。不过，FEM也可以从弱形式（Galerkin方法）来定义，这样可以处理没有变分原理的问题，这是一个优点。

Rayleigh-Ritz法是使用变分原理的近似解法，可以说是FEM的直接前身。Rayleigh-Ritz法用一个函数近似整体，而FEM通过扩展这个方法，对每个单元使用局部近似函数。所以理解变分原理就能看清FEM的本质。

完全同意。比如遇到收敛困难的问题时，如果能从"能量可能找不到最小值"的角度思考，就能发现边界条件不足或材料模型有问题。理论是实际工作的武器。