力的平衡与静力学 — 自由体图・力矩与FEM线性静力分析
1. 静力学：CAE线性分析的基础
FEM线性静力分析什么时候会失效？我的意思是，什么情况下用它得到的结果不可信？
有几种情况必须升级。第一，大变形：如果位移超过结构特征尺寸的10%（比如细长杆件的挠度超过杆长的10%），几何非线性就不能忽略。第二，材料进入塑性：应力超过屈服强度后，刚度矩阵[K]本身随变形变化，线性解失效。第三，接触问题：接触面积随载荷变化，属于边界条件非线性，必须用非线性分析。第四，屈曲前后：细长结构发生屈曲后的后屈曲行为完全是非线性的。
静力学（Statics）研究处于平衡状态的物体——合力为零、合力矩为零。FEM线性静力分析是最常用的CAE分析类型，理解其物理假设和适用边界是工程师的基本功。
2. 力的平衡条件
三维空间中的完整平衡条件（6个方程）：
二维平面问题简化为3个方程：
在FEM中，每个节点的平衡方程组成全局方程 $[K]\{u\} = \{F\}$，求解即得到满足所有节点平衡的位移场。
3. 力矩与力偶
力矩（力对点 $O$ 的矩）：
大小 $M = F \cdot d$，其中 $d$ 是力作用线到矩心 $O$ 的垂直距离（力臂）。
力偶（两个大小相等、方向相反、不共线的力）：
力偶是一种特殊的载荷类型，对任意点的力矩相同——这意味着结构中的弯矩是自平衡载荷，不需要整体支反力来平衡。扭矩是力偶在轴向的应用。
4. 自由体图：结构分析的"入场券"
自由体图（Free Body Diagram, FBD）是将研究对象从周围环境中"切割"出来，用力来替换约束和接触的工具。绘制FBD的步骤：
- 明确研究对象，用虚线框住
- 将所有约束（支承）替换为等效支反力和支反力矩
- 标出所有已知外力（重力、施加载荷、压力）
- 建立坐标系，写出平衡方程
- 求解未知支反力
在FEM建模中，FBD的思路同样重要：
- 每个约束（固定、铰接、滑动）对应一类边界条件
- FBD帮助工程师核查边界条件是否完整（防止刚体运动）
- 截面FBD可以快速估算内力，用于验证FEM结果的合理性
5. 支承类型与支反力
| 支承类型 | 约束自由度 | 支反力数 | 工程实例 |
|---|---|---|---|
| 滚动支承（2D） | 1（法向） | 1 | 桥梁伸缩支座 |
| 铰接支承（2D） | 2（x、y） | 2 | 桁架节点 |
| 固定端（2D） | 3（x、y、θ） | 3 | 悬臂梁根部 |
| 球铰（3D） | 3（x、y、z） | 3 | 钢结构球节点 |
| 固定端（3D） | 6（全约束） | 6 | 螺栓连接底座 |
在Abaqus/Nastran中的边界条件类型：
| 约束类型 | Abaqus关键字 | 约束的DOF |
|---|---|---|
| 固定端（全约束） | BC, ENCASTRE | U1=U2=U3=UR1=UR2=UR3=0 |
| 铰接（允许转动） | BC, PINNED | U1=U2=U3=0 |
| 对称面（Y=0平面） | BC, YSYMM | U2=UR1=UR3=0 |
| 规定位移 | BC, TYPE=DISPLACEMENT | 指定值 |
6. 静定与超静定结构
结构的静定次数（静不定度 = 超静定次数）：
其中 $c$ 是约束数（未知力数），$d$ 是平衡方程数。
- $I = 0$：静定结构（uniquely solvable）
- $I > 0$：超静定结构（多余约束，需要考虑变形协调）
- $I < 0$：几何可变机构（不稳定）
| 结构类型 | 特点 | 适用分析方法 |
|---|---|---|
| 静定结构（桁架、悬臂梁） | 仅用平衡方程可解 | 手工计算，截面法 |
| 超静定1次（两端固支梁） | 需1个变形协调方程 | 力法、位移法 |
| 高次超静定（连续梁） | 手工难以处理 | FEM矩阵方法 |
超静定结构有重要优点：单一支座失效不导致整体垮塌（冗余度），但内力分配与材料刚度有关（温度变化会产生约束应力）。
超静定结构里温度变化会产生应力，这是为什么？静定结构就不会吗？
对，区别很本质。静定结构各部件可以自由膨胀——支座允许位移，没有约束阻碍变形，所以不产生额外应力。但超静定结构里额外的约束限制了自由膨胀，就会产生约束热应力。最典型的是焊接在两端固定板之间的杆件升温，无法伸长只能承受压应力。铁路无缝钢轨就是通过预加应力来抵消夏天热膨胀产生的压应力，防止胀轨。
7. FEM线性静力分析
FEM线性静力分析求解方程：
假设条件：
- 小变形（线性几何）：变形远小于结构尺寸
- 线弹性材料：应力-应变线性关系
- 静态载荷：无惯性效应（加速度为零）
- 线性边界条件：约束条件不随变形改变
线性静力分析的优势：
- 计算效率高（一次矩阵求解）
- 可以叠加多种载荷工况（超位置叠加）
- 对工程师最直观，结果容易解读
8. 线性假设的局限性
需要使用非线性分析的情况：
| 非线性类型 | 触发条件 | 分析方法 | 代表软件功能 |
|---|---|---|---|
| 几何非线性（大变形） | 位移/尺寸 > 10% | Updated Lagrangian法 | ABAQUS/NLGEOM=YES |
| 材料非线性（弹塑性） | 应力超过屈服强度 | 增量迭代（N-R法） | ABAQUS/*PLASTIC |
| 接触非线性 | 有接触分离/滑动 | 接触算法（罚函数） | LS-DYNA/*CONTACT |
| 屈曲/失稳 | 压载荷下刚度下降 | 特征值屈曲 + 非线性后屈曲 | Nastran SOL105/106 |
9. 工程实例：桁架桥受力分析
以简支桁架桥为例，节点法（Method of Joints）求解各杆件内力：
跨度20 m，中点载荷100 kN的简支桁架，支反力各为50 kN（对称）。
对节点A（支座）建立FBD，求上弦、下弦杆内力：
在FEM中，桁架每个杆件对应一个轴力单元（TRUSS element），只有轴向刚度 $EA/L$。桁架桥的FEM建模要点：
- 桁架理论：节点为铰接，杆件只受轴力（不弯曲）
- FEM中用铰接节点（释放转动自由度）或二力杆单元
- 高强度桁架桥实际节点有刚性，用梁单元更精确
- 大跨钢桁架桥需考虑几何非线性（悬索效应）
总结
静力学是FEM线性静力分析的物理基础。自由体图是连接工程直觉与数学分析的桥梁，理解不同支承类型、静定与超静定的区别，对于正确建立FEM边界条件至关重要。当实际问题超出线性假设范围（大变形、材料非线性、接触），就需要升级到相应的非线性分析策略。