力的平衡与静力学 — 自由体图、力矩到FEM线性静解析
1. 静力学是什么 — CAE的出发点
静力学（Statics）是"加速度为零＝力处于平衡"状态下的物体所属的力学分支。不动的物体或匀速直线运动的物体——即 $\sum \vec{F} = 0$ 成立的系统——是其研究对象。
建筑物的柱子、桥梁的主梁、工厂起重机的吊杆、飞机的机身框架都是从静力学问题开始设计的。"在这种荷载下反力是多少？内部应力在哪里最大？"——静解析就是用来回答这些问题的。
2. 力的矢量合成与分解
力是矢量量，既有大小又有方向。当多个力作用时，合力（合成力）通过矢量和求得。
$$\vec{F}_{合} = \sum_{i} \vec{F}_i$$二维情况下的分量分解：
$$F_x = F\cos\theta, \quad F_y = F\sin\theta$$三维情况下使用方向余弦 $(l, m, n)$：$\vec{F} = F(l\hat{x} + m\hat{y} + n\hat{z})$
常见的分量分解示例
倾斜角为 $\theta = 30°$ 的斜面上的物体（重量 $W = 1\,\text{kN}$）：
- 沿斜面方向分量（滑动力）：$W\sin 30° = 0.5\,\text{kN}$
- 垂直于斜面分量（法向反力）：$W\cos 30° = 0.866\,\text{kN}$
在FEM中，荷载矢量的分量输入是必需的，三维中进行精确分解是设定边界条件的第一步。
3. 力的平衡条件（静态平衡）
物体处于静止状态（静态平衡）时，同时满足以下两个条件。
$$\sum \vec{F} = 0 \quad \text{（平移平衡：力的和 = 0）}$$ $$\sum \vec{M} = 0 \quad \text{（旋转平衡：力矩的和 = 0）}$$二维问题时：
$$\sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0, \quad \sum M_O = 0$$这三个独立方程可以用来求解最多三个未知量（反力·内力）。
为什么力矩平衡条件也是必需的
即使力的和为零，如果物体不在同一条线上，物体仍可能旋转。例如，两个大小相等但方向相反的力，如果不在同一作用线上，虽然力的和为零，但会产生偶力（Couple）矩而使物体旋转。在实际的结构物设计中，力矩常常是控制设计的关键变量（梁的弯曲矩、大坝的倾覆矩等）。
4. 力矩（旋转效应）
当力 $F$ 作用在距支点的垂直距离（力矩臂）为 $d$ 的位置时，力矩 $M$ 为：
$$M = F \times d \quad \text{[N·m]}$$通常以逆时针为正（右手法则）。三维的力矩矢量为：
$$\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$$偶力（Couple）的重要性
偶力是大小相等方向相反且不在同一作用线上的两个力的组合。合力为零，但产生纯粹的旋转效应（矩）。偶力矩与作用点无关，是"自由矢量"。FEM边界条件中的力矩荷载输入就相当于偶力。
5. 自由体图（FBD）的绘制方法
自由体图（Free Body Diagram: FBD）是求解静力学和动力学问题的最重要工具。将物体从周围环境中"隔离"出来，画出该物体受到的所有外力、反力和矩。
绘制FBD的步骤
- 选定对象：将要分析的物体（或结构的一部分）定义为系统。
- 隔离物体：将物体从支撑体和相邻物体中隔离出来。
- 画出外力：将重力、荷载、惯性力用箭头准确标出作用点和方向。
- 画出反力：在支持点（铰支座、滚动支座、固定端）处画出反力作为未知量。
- 建立平衡方程：用 $\sum F_x=0$、$\sum F_y=0$、$\sum M=0$ 求解未知的反力。
FBD与FEM边界条件的对应
FEM模型的边界条件设置实际上是将FBD翻译成数值模型的过程。
| 支持类型 | FBD（反力） | FEM边界条件 |
|---|---|---|
| 铰支座（2D） | $F_x$、$F_y$（2分量） | $u_x=0$、$u_y=0$（位移约束） |
| 滚动支座（2D） | $F_n$（法向1分量） | 仅法向 $u_n=0$ |
| 固定端（2D） | $F_x$、$F_y$、$M_z$（3分量） | $u_x=u_y=\theta_z=0$ |
| 固定端（3D） | 6分量（3力+3矩） | 全6自由度约束 |
6. 静定结构与超静定结构
静定（Statically Determinate）：仅用平衡方程就能确定全部反力和内力的结构。未知量数 = 方程数。
超静定（Statically Indeterminate）：仅用平衡方程无法求解的结构。未知量多于方程数，必须追加变形的适应条件（位移的协调性）才能求解。
7. 桁架结构的节点法·截面法
桁架（Truss）：由直线杆件用铰链在节点处连接而成的结构，每个杆件只承受轴力（拉力或压力），不产生弯曲矩。桥梁、电塔、大型起重机吊杆、太空站骨架结构都是典型的桁架。
节点法
在每个节点处列出力的平衡方程（2D：$\sum F_x=0$、$\sum F_y=0$），逐次求解杆件力。若节点数为 $j$、杆件数为 $m$、支座反力数为 $r$，静定条件为 $m + r = 2j$（2D）。
截面法（Ritter法）
只需快速求出某些杆件力时，可虚拟截断桁架，将截面处的杆件力作为未知量列平衡方程。最多切开3根杆件，巧妙选择矩的支点，不用联立方程就能求出杆件力。
实例：铁路桥和梯形桁架
| 类型 | 特征 | 主要用途 |
|---|---|---|
| Pratt型 | 斜杆受拉，竖杆受压 | 铁路桥·公路桥 |
| Howe型 | 斜杆受压，竖杆受拉 | 木桥（木抗压强） |
| Warren型 | 斜杆交替受拉·受压 | 轻型桥·输电塔 |
| K型桁架 | 竖向面内有K形斜撑 | 大跨径桥梁 |
8. 重心与压力中心
重心（Center of Gravity, CoG）：物体整个重力看作集中作用的一点。
$$\bar{x} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}, \quad \bar{y} = \frac{\sum m_i y_i}{\sum m_i}, \quad \bar{z} = \frac{\sum m_i z_i}{\sum m_i}$$对于均匀密度的物体，重心与几何重心（Centroid）相同。CAE中通过质量属性分析（FEM的质量属性输出）自动计算。
重心与稳定性
只要物体的重心在支撑基面（底面）内侧，物体就稳定。重心移出基面外就会倾覆。起重机倾翻、叉车侧翻都是由于重心转移。塔式起重机在对面配置沉重的"配重"，保持重心始终在底座内。
压力中心
翼面、闸门等受分布压力的面上，合力作用的等效单点称为压力中心（Center of Pressure）。在飞机静稳定设计中，压力中心位于重心后方（称为中立点）是重要指标，需通过CFD分析在各攻角下求出压力中心位置。
9. 到FEM线性静解析的完整架桥
高中静力学的"$\sum F = 0$"对应于FEM的基本方程 $[K]\{u\} = \{F\}$ 的特殊情况。
刚度方程的组装
对每个单元（弹簧、杆、梁、连续体单元）求单元刚度矩阵 $[k]^e$，汇总成全局刚度矩阵 $[K]$。
$$[K]\{u\} = \{F\}$$$[K]$：全局刚度矩阵（$N \times N$，$N$ = 总自由度数）
$\{u\}$：节点位移向量（未知量）
$\{F\}$：外力向量（已知）
施加边界条件（固定点位移为零），对应行列进行约减（或施加大值）后求解连立方程。得到节点位移后，可计算各单元的应力和应变。
反力的计算
求得位移 $\{u\}$ 后，支座反力为：
$$\{R\} = [K]\{u\} - \{F\}$$与手工计算的反力相符是FEM验证的基本要求。
线性静解析的假设和局限
- 变形很小（微小变形假设）——大变形（如悬垂变形）需要几何非线性分析
- 材料为线性弹性——塑性变形需要材料非线性分析
- 荷载不随时间变化——振动·冲击需要动力学分析
10. 实践：建筑机械吊杆结构的设计
履带式起重机主吊杆（长30米、最大吊重100吨）的强度评估流程。
荷载条件的设定
最严重情况（吊杆完全水平、静荷载+动态系数1.3）：
$$F_{设计} = 100 \times 1000 \times 9.81 \times 1.3 \approx 1,275\,\text{kN}$$根部弯曲矩：$M = 1275 \times 10^3 \times 30 = 38.25\,\text{MN·m}$
初期断面设计
箱形断面（外形800×800毫米，板厚20毫米）的截面系数 $W_Z \approx 0.019\,\text{m}^3$：
$$\sigma_{max} = \frac{M}{W_Z} = \frac{38.25 \times 10^6}{0.019} \approx 2,013\,\text{MPa}$$这远超过钢材屈服应力（355 MPa），需要更大的截面或更高强度钢（屈服应力$\sigma_Y = 690\,\text{MPa}$以上的高强钢）。现实中的大型起重机吊杆采用渐变箱形钢加反向拉杆组合方案来分散荷载。
通过FEM分析进行最终验证
- 用三维壳单元（S4R）模型化吊杆箱形截面
- 输入吊荷、自重、绳索张力作为边界条件
- 用von Mises应力云图识别最大应力位置
- 验证安全系数 $S = \sigma_Y / \sigma_{max} \geq 1.5$
- 用线性座屈分析验证压缩杆件的座屈裕度