应力与应变入门 — σ=F/A・ε=ΔL/L到FEM结构分析
目录
1. von Mises应力：FEM后处理的核心量
FEM结果里总有一个"von Mises应力"的云图，这是什么意思？它和正应力σ有什么关系？
实际结构受力是三轴的——某一点同时有σx、σy、σz还有三个剪应力，一共6个分量。但材料的屈服试验通常是单轴拉伸，只有一个屈服强度σy。von Mises应力就是把这6个分量合成为一个"等效单轴应力"，这样就能直接和材料手册里的屈服强度比较。如果von Mises > 屈服强度，那个点就会发生塑性变形。
应力与应变是固体力学和FEM结构分析的核心变量。理解它们的物理意义和数学表达，是正确解读CAE计算结果的基本前提。
2. 正应力：拉伸与压缩
正应力（Normal Stress）是垂直于截面的力强度：
符号约定：拉应力为正（+），压应力为负（-）。
工程材料允许应力（许用应力）：
| 材料 | 屈服强度 σ_y (MPa) | 拉伸强度 σ_u (MPa) | 疲劳极限 σ_e (MPa) |
|---|---|---|---|
| Q235 结构钢 | 235 | 370-500 | ~180 |
| Q355 高强钢 | 355 | 470-630 | ~250 |
| 6061-T6 铝合金 | 276 | 310 | ~100 |
| Ti-6Al-4V | 880 | 950 | ~550 |
| CFRP（轴向） | — | 1500（拉）/ 1200（压） | ~700 |
| 混凝土 C30 | — | 30（压）/ 2.0（拉） | — |
3. 剪应力：切割与扭转
剪应力（Shear Stress）是平行于截面的力强度：
扭转产生的剪应力（圆截面轴）：
其中 $T$ 是扭矩，$r$ 是截面半径，$J = \pi r^4/2$ 是极惯性矩（实心圆截面）。
梁弯曲产生的剪应力（矩形截面，距中性轴 $y$ 处）：
其中 $Q(y)$ 是截面上 $y$ 以上部分对中性轴的静矩，$b$ 是截面宽度，$I$ 是截面惯性矩。
4. 应变：变形的度量
线应变（纵向应变）：
剪应变（角变形）：
应变的量级参考（工程意义）：
| 应变量级 | 物理含义 | 工程场景 |
|---|---|---|
| $\varepsilon < 0.001$ (0.1%) | 弹性范围 | 正常使用状态 |
| $\varepsilon \approx 0.002$ (0.2%) | 屈服起始（典型金属） | 强度设计边界 |
| $\varepsilon = 0.01~0.1$ (1%~10%) | 塑性变形 | 碰撞吸能、成形加工 |
| $\varepsilon > 0.5$ (50%) | 大变形 | 橡胶、超弹材料 |
应变片（Strain Gauge）是测量实际结构应变的标准仪器，测量精度可达 $1 \mu\varepsilon$（$10^{-6}$ m/m）。CAE仿真结果通常与应变片数据对标来验证模型。
5. 应力张量：三维应力状态
三维空间中某点的应力状态由9个分量（实际上对称的6个独立分量）描述：
对称性：$\tau_{xy} = \tau_{yx}$（力矩平衡条件），因此独立分量为6个：$\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \sigma_{zz}, \tau_{xy}, \tau_{yz}, \tau_{zx}$。
FEM里每个积分点都有这6个应力分量，软件是怎么把它们可视化成一个云图的？
软件先在积分点计算出这6个分量，然后外推（extrapolation）到节点，再平均相邻单元的节点值。最后用von Mises公式把6个分量合成为1个标量，就可以用颜色云图显示了。所以你看到的von Mises云图，其实是经过了积分点→节点→平均→标量化这几步处理的。如果网格太粗，外推误差很大，应力集中区域会严重低估——这就是为什么网格收敛性检查很重要。
6. 主应力与主方向
对于任意应力状态，总能找到一个特殊的坐标系，使得剪应力为零——此时的正应力称为主应力（Principal Stresses）：
三个特征根 $\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \sigma_3$ 即为三个主应力。
主应力的工程意义：
- 最大主应力 $\sigma_1$ 决定脆性材料（混凝土、陶瓷）的破裂方向
- 最大剪应力 $\tau_{\max} = (\sigma_1 - \sigma_3)/2$ 决定韧性金属（低碳钢）的屈服
- 焊接残余应力分析中，主应力方向帮助判断裂纹萌生方向
7. 冯米塞斯准则：屈服判据
冯米塞斯（von Mises）屈服准则：当等效应力 $\sigma_e$ 达到单轴屈服强度 $\sigma_y$ 时，材料发生屈服：
用应力分量表达：
这就是FEM云图中"等效应力"（Equivalent Stress / von Mises Stress）的计算公式。
与Tresca（最大剪应力）准则的比较：
| 准则 | 公式 | 适用材料 | 保守程度 |
|---|---|---|---|
| 冯米塞斯（von Mises） | $\sigma_e \geq \sigma_y$ | 大多数韧性金属 | 略偏激进 |
| 特雷斯卡（Tresca） | $\tau_{\max} \geq \sigma_y/2$ | 韧性金属 | 偏保守（约15%） |
| 莫尔-库仑（Mohr-Coulomb） | $\tau + \mu_f \sigma_n = S_0$ | 岩石、混凝土 | 考虑压力相关 |
8. 应力集中：缺口与孔洞的危险
应力集中系数 $K_t$（Stress Concentration Factor）定义：
其中 $\sigma_{\text{nom}}$ 是名义应力（不考虑几何不连续时的理论应力）。
常见几何形状的 $K_t$：
| 几何形状 | 参数 | $K_t$ 范围 |
|---|---|---|
| 无限大板中圆孔 | 无限板 | 3.0（理论值） |
| 有限宽板圆孔 | $d/W = 0.1$ | 2.73 |
| 台阶轴（圆角过渡） | $r/d = 0.1$ | 1.7 ~ 2.5 |
| V形缺口（锐角） | $r \to 0$ | → ∞（应力奇异） |
| 螺纹牙底 | 标准螺纹 | 2 ~ 4 |
应力集中是疲劳破坏的主要起始位置。疲劳设计中，使用疲劳应力集中系数 $K_f$（考虑材料缺口敏感度 $q$）：
9. 工程应用：压力容器设计
压力容器（如储气罐、化工反应釜）的应力计算是应力分析的经典工程问题：
薄壁圆柱容器（$R/t > 10$）的环向应力（Hoop Stress）和轴向应力：
其中 $p$ 是内压，$R$ 是内半径，$t$ 是壁厚。注意 $\sigma_\theta = 2\sigma_z$——环向应力是轴向的2倍，这就是为什么压力容器的焊缝沿轴向比周向更危险（轴向焊缝承受最大的环向应力）。
von Mises等效应力：
ASME BPVC（锅炉压力容器规范）中，设计许用应力通常取 $\sigma_{\text{allow}} = \min(\sigma_y/1.5, \sigma_u/3)$，安全系数根据工况类别（低周疲劳、蠕变等）进一步调整。
总结
应力与应变是材料受力状态的两个基本描述量。从简单的拉伸公式 $\sigma = F/A$，到三维应力张量和冯米塞斯屈服准则，这些概念直接对应FEM后处理中的计算量。正确理解von Mises应力的物理含义——它是三维应力状态的等效单轴应力——是判断结构是否进入屈服的关键工具。