蠕变屈曲
理论与物理
什么是蠕变屈曲
老师，“蠕变屈曲”和普通的屈曲有什么不同？
通常的屈曲是瞬间发生的——荷载超过临界值的瞬间屈曲变形开始。而蠕变屈曲是随时间缓慢进行的。即使荷载低于弹性屈曲荷载，长时间作用下蠕变变形会累积并最终导致屈曲。
低于弹性屈曲荷载也会屈曲！？那很可怕啊。
蠕变是高温环境下材料随时间变形的现象。即使在恒定应力下应变也会持续增加。这种蠕变应变的累积会逐渐改变结构的形状，使其失稳，这就是蠕变屈曲。
蠕变基础
请告诉我蠕变现象的基础。
恒定应力 $\sigma$ 和恒定温度 $T$ 下的蠕变应变分三个阶段进行：
1. 第一期蠕变（过渡蠕变） — 应变速率随时间减小
2. 第二期蠕变（稳态蠕变） — 应变速率恒定。最长的阶段
3. 第三期蠕变（加速蠕变） — 应变速率增大，最终断裂
稳态蠕变的应变速率常用Norton（幂律）法则表示：
其中 $A, n$ 是材料常数，$Q$ 是激活能，$R$ 是气体常数，$T$ 是绝对温度。
$\sigma^n$ 中 $n$ 对于钢大约是3~8，那么应力变为2倍时蠕变速率会变为8~256倍！对应力的敏感性非常高啊。
没错。所以在蠕变屈曲中应力的再分布很重要。初始的弹性应力分布会随时间因蠕变松弛而趋于均匀化。这个过程会改变结构的行为。
蠕变屈曲的机制
蠕变屈曲是怎么发生的？
有两种机制。
1. 分岔型蠕变屈曲 — 与弹性屈曲类似的分岔，但存在时间延迟。在压缩应力下，蠕变导致弯曲变形逐渐增大，在某个时刻急剧发生屈曲。
2. 拟屈曲（由挠度放大引起的蠕变屈曲） — 初始缺陷引起的弯曲变形随时间因蠕变而放大。没有明确的分岔点，当变形超过容许值时即定义为“屈曲”。
拟屈曲是以“变形变得过大”来定义屈曲的啊。
是的。蠕变屈曲的“临界时间”常定义为位移达到初始值多少倍的时间。例如，将“位移达到初始值5倍的时间”作为临界时间。
临界时间的概念
“临界时间”具体指什么？
是荷载水平 $P/P_{cr}$（相对于弹性屈曲荷载的比率）所对应的“屈曲前的时间”。
Hoff的经典结果（1958年）中，具有初始缺陷柱的蠕变屈曲时间：
荷载越接近弹性屈曲荷载，$t_{cr}$ 越短；荷载越低，$t_{cr}$ 越长。
$P/P_{cr} = 0.5$ 的情况下，只要时间足够长也有可能屈曲吗？
理论上是的。不过当 $P/P_{cr}$ 较低时，$t_{cr}$ 可能超过结构寿命（数十年）。这种情况下，在实际应用中蠕变屈曲不成问题。
蠕变屈曲成为问题的领域
在什么结构中蠕变屈曲会成为问题？
混凝土在常温下也会蠕变吗？
混凝土在常温下也会蠕变（干燥蠕变）。长期承受较大持续荷载的柱或墙，蠕变引起的附加偏心会降低屈曲承载力。设计规范（如欧洲规范2等）通过蠕变系数来考虑长期荷载的影响。
总结
我来整理一下蠕变屈曲的理论。
要点：
- 蠕变屈曲是时间依赖的屈曲 — 即使在弹性屈曲荷载以下，长时间作用也可能屈曲
- Norton法则 $\dot{\varepsilon}_{cr} = A\sigma^n$ — 蠕变速率与应力的 $n$ 次方成正比
- 临界时间 — 对应荷载水平的屈曲前时间
- 高温环境结构很重要 — 锅炉、反应堆、涡轮机、化工厂
- 混凝土在长期荷载下也会出现蠕变屈曲问题
增加了时间这个维度，屈曲问题一下子变得复杂了啊。
是的。弹性屈曲是“荷载是否超过临界值”的二选一问题，而蠕变屈曲是“何时屈曲”的连续性问题。需要结合设计寿命来判断。
蠕变屈曲与挑战者号的教训
蠕变屈曲是在高温下，即使应力恒定，变形也会随时间推进并最终导致屈曲的现象。1986年挑战者号航天飞机事故调查中，发射台低温导致的橡胶O形圈蠕变变形是直接原因，但后来的研究表明，固体燃料助推器的铝壳在设计极限方面对蠕变屈曲的裕度也很紧张。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即“质量×加速度”。您有过急刹车时身体被向前甩出去的经历吗？那种“被带走的感觉”正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动也越难停止。地震时建筑物摇晃，也是因为地面突然移动，而建筑物的质量“被落下”。静力分析中此项设为零，这是基于“缓慢施加力所以加速度可以忽略”的假设。冲击荷载或振动问题中绝对不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 或 $\nabla \cdot \sigma$。拉弹簧时会感觉到“想要恢复原状的力”吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——铁棒和橡皮筋，用相同的力拉，哪个伸得更长？当然是橡皮筋。这种“不易伸长性”就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解：“刚度高=强度高”是不对的。刚度是“不易变形的程度”，强度是“不易破坏的程度”，是不同的概念。
- 外力项（荷载项）：体积力 $f_b$（重力等）和表面力 $f_s$（压力、接触力等）。可以这样想——桥上卡车的重量是“作用在整个内容物上的力”（体积力），轮胎压路面的力是“只作用在表面的力”（表面力）。风压、水压、螺栓紧固力…全都是外力。这里容易犯的错误：弄错荷载方向。本想“拉伸”却成了“压缩”——听起来像笑话，但在3D空间中坐标系发生旋转时确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。弹一下吉他弦试试。声音会一直响吗？不，会逐渐变小对吧。因为振动能量通过空气阻力或弦的内部摩擦变成了热。汽车的减震器也是同样原理——故意吸收振动能量来改善乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃不停。实际上不会这样，所以设定适当的阻尼很重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 输入mm时，荷载·弹性模量也要统一为MPa/N系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢：约210 GPa，铝：约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系中为tonne/mm³（钢约为 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm系用N，m系也用N统一 |
数值解法与实现
蠕变屈曲的数值解法
蠕变屈曲用FEM怎么求解？不像特征值屈曲那样能一下子解出来吧？
没错。蠕变屈曲是需要时间积分的问题。不是像特征值屈曲那样的瞬时判定，而是追踪随时间发展的变形过程。
基本解法
步骤：
1. 初始状态 — 计算加载瞬间的弹性响应
2. 时间积分 — 在每个时间步计算蠕变应变增量，并更新应力
3. 平衡迭代 — 每个时间步用Newton-Raphson法满足平衡
4. 屈曲判定 — 检测位移的急剧增加，或切线刚度的丧失
蠕变应变的时间积分怎么做？
隐式欧拉法最稳定。时间步 $\Delta t$ 内的蠕变应变增量：
$\sigma_{n+1}$ 是未知的（下一时间步的应力），因此需要迭代。每个时间步都需要进行Newton-Raphson迭代。
时间步长的大小重要吗？
非常重要。特别是接近屈曲时变形速度会急剧增加，因此最好采用能自动缩小时间步长的自适应时间积分。Abaqus的 *VISCO 步骤会自动进行此操作。
Abaqus
在Abaqus中，使用 *VISCO 步骤进行包含蠕变的结构分析：
```
*MATERIAL, NAME=Steel_creep
*ELASTIC
200000., 0.3
*CREEP, LAW=NORTON
1.0e-20, 5.0, 0.0