固有振動数解析
理论与物理
什么是固有频率
老师，什么是“固有频率”？
是结构物在没有外力作用下振动时的自然振动频率。所有结构物都有其固有的振动频率，当外力的振动频率与此一致时，就会发生共振。
共振会有什么问题？
共振时振幅会急剧增大。桥梁坍塌（塔科马海峡大桥，1940年）、建筑物损坏（地震时）、机械破损（旋转体的危险转速）… 全都是共振引起的。掌握固有频率是结构设计最基本的要求。
控制方程
无阻尼自由振动方程：
假设解为 $\{u\} = \{\phi\} e^{i\omega t}$，则得到特征值问题：
和屈曲分析的 $([K] + \lambda [K_\sigma])\{\phi\} = \{0\}$ 形式一样！
正是相同的数学结构。屈曲分析中 $[K_\sigma]$ 的位置在这里是 $[M]$。因此可以使用相同的特征值求解器（Lanczos法等）。
$\omega_i$ 是角频率（rad/s），$f_i = \omega_i / (2\pi)$ 是固有频率（Hz），$\{\phi_i\}$ 是模态振型。
单自由度系统的固有频率
在FEM之前，最基本的案例：
只由弹簧常数 $k$ 和质量 $m$ 决定。刚度越高、质量越小，频率越高。
这个简单的关系对于合理性检查FEM结果非常有用。估算结构的等效刚度和等效质量，预先估算 $f$ 的数量级。
梁的固有频率
基本梁的一阶固有频率：
| 条件 | $f_1$ | 备注 |
|---|---|---|
| 悬臂梁 | $\frac{3.516}{2\pi L^2}\sqrt{\frac{EI}{\rho A}}$ | 最低 |
| 简支梁 | $\frac{\pi^2}{2\pi L^2}\sqrt{\frac{EI}{\rho A}}$ | |
| 两端固定梁 | $\frac{22.37}{2\pi L^2}\sqrt{\frac{EI}{\rho A}}$ | 最高 |
边界条件对固有频率影响很大呢。
悬臂梁和两端固定梁之间有6倍以上的差距。如果FEM结果与理论值偏差很大，首先应该怀疑边界条件的设置。
FEM中的固有频率分析
用FEM求固有频率的步骤是？
2. 执行特征值分析 — 使用Lanczos法求取低阶 $n$ 个模态
3. 结果确认 — 固有频率和模态振型
4. 验证 — 与理论解或实验模态分析比较
材料常数中需要 $\rho$（密度），这和静力分析不同呢。
是的。静力分析只需要 $E$，但固有频率分析 $\rho$ 是必需的。如果忘记设置密度，固有频率会变成零或无穷大。这是一个非常常见的错误。
总结
我来整理一下固有频率分析的理论。
要点：
- $([K] - \omega^2 [M])\{\phi\} = \{0\}$ — 与屈曲分析相同的特征值问题
- $f = (1/2\pi)\sqrt{k/m}$ — 所有的基础。用于合理性检查
- 边界条件会大幅改变固有频率 — 悬臂梁 vs. 两端固定梁相差6倍
- 密度 $\rho$ 的设置是必需的 — 忘记设置会导致结果无意义
- 避免共振是设计目标 — 使外力频率与固有频率分离
固有频率分析是为了了解“结构在多少Hz下会振动”的最基本的动力分析呢。
正是如此。所有动力分析（响应分析、时程分析）的基础都是固有频率分析。没有它，动力设计就无法成立。
从胡克定律到振动理论
罗伯特·胡克于1678年发表了弹性力与位移的比例关系（胡克定律），但他本人并未发展到振动频率的理论。完成这一点的是克里斯蒂安·惠更斯，他从单摆的等时性出发，于1673年推导出固有周期T=2π√(L/g)。这个公式是现今单自由度振动频率公式fn=1/(2π)√(k/m)的特殊形式，是300多年来不变的基本公式。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即“质量×加速度”。您有过急刹车时身体被向前甩出去的经历吗？那种“被带走的感觉”正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动也越难停止。建筑物在地震中摇晃，也是因为地面突然移动，而建筑物的质量“被落下”。静力分析中此项设为零，那是假设“因为缓慢施力，所以加速度可以忽略”。对于冲击载荷或振动问题，此项绝对不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 或 $\nabla \cdot \sigma$。拉弹簧时会感觉到“想要恢复原状的力”吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——铁棒和橡皮筋，用相同的力拉，哪个伸得更长？当然是橡皮筋。这种“不易伸长性”就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解：“刚度高=强度高”是不对的。刚度是“不易变形的程度”，强度是“不易破坏的程度”，是不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（重力等）和表面力 $f_s$（压力、接触力等）。可以这样想——桥上卡车的重量是“作用在整个内部上的力”（体积力），轮胎压路面的力是“只作用在表面上的力”（表面力）。风压、水压、螺栓紧固力…全都是外力。这里容易犯的错误：弄错载荷方向。本想“拉伸”却变成了“压缩”——听起来像笑话，但在3D空间中坐标系发生旋转时，确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。弹一下吉他的弦试试。声音会一直持续吗？不，会逐渐变小。这是因为振动能量通过空气阻力和弦的内部摩擦转化成了热能。汽车的减震器也是同样的原理——故意吸收振动能量来提高乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃不停。实际上不会这样，所以设置适当的阻尼很重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 输入mm时，载荷·弹性模量也要统一为MPa/N系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢：约210 GPa，铝：约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系中是tonne/mm³（钢约为 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm系用N，m系也用N统一 |
数值解法与实现
特征值求解器
固有频率的特征值问题如何求解？
可以使用与屈曲分析相同的求解器。Lanczos法是实务标准。
| 方法 | 特点 | 用途 |
|---|---|---|
| Lanczos法 | 最适合大规模稀疏矩阵。高效提取低阶模态 | 实务标准 |
| 子空间迭代法 | 比Lanczos法稳定但较慢 | 密集特征值 |
| AMLS（Automated Multi-Level Substructuring） | 对应超大规模问题 | 数百万DOF |
AMLS是什么？
AMLS是Nastran的大规模特征值分析方法。自动将结构分割为子结构，分别求出各子结构的特征值后再组装成整体。可以高效求解数百万DOF的模型中的数百个模态。
Nastran
```
SOL 103
CEND
METHOD = 10
BEGIN BULK
EIGRL, 10, , , 20 $ 求取20个模态
```
Abaqus
```
*STEP
*FREQUENCY, EIGENSOLVER=LANCZOS
20, ,
*END STEP
```
Ansys
```
/SOLU
ANTYPE, MODAL
MODOPT, LANB, 20 ! 用Lanczos法求20个模态
SOLVE
```
所有求解器都默认使用Lanczos法呢。
在现代FEM求解器中，可以说特征值分析 = Lanczos法。设置时只需指定“要求解的模态数”。
质量矩阵的选择
使用一致质量矩阵还是集中质量矩阵？
固有频率的精度依赖于质量矩阵：
- 一致质量矩阵（consistent） — 精度高。默认推荐
- 集中质量矩阵（lumped） — 计算快但精度稍低。高阶模态会有差异
Nastran和Abaqus的默认设置是一致质量矩阵。
なった
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