固有振動数分析

构造物在没有外力作用下振动时的自然振动数。所有构造物都具有固有振动数，当外力的振动数与其一致时会发生共振。

共振时振幅急剧增大。桥梁崩塌（塔科马海峡大桥，1940年）、建筑物损坏（地震时）、机械破损（旋转体危险速度）……全部都是共振造成的。掌握固有振动数是结构设计最基本的要求。

非减衰自由振动的方程：

确实如此。在座屈分析中，$[K_\sigma]$ 的位置被 $[M]$ 替代。因此可以使用相同的特征值求解器（如Lanczos法）。

$\omega_i$ 是角振动数（rad/s），$f_i = \omega_i / (2\pi)$ 是固有振动数（Hz），$\{\phi_i\}$ 是模态形状。

在FEM之前，最基本的情况：

这个简单的关系对进行理智检查（sanity check）FEM结果非常有用。提前用等效刚度和等效质量估算 $f$ 的数量级。

基本梁的一阶固有振动数：

悬臂梁和两端固定梁之间相差6倍以上。如果FEM结果与理论值偏差很大，应该首先怀疑边界条件的设置。

1. 建模 — 网格、材料（$E, \rho$）、边界条件

对的。静力分析只需要 $E$，但固有振动数必须有 $\rho$。忘记设置密度会导致固有振动数为零或无限大。这是常见的错误。

要点：

完全同意。所有动力分析（应答分析、时程分析）的基础都是固有振动数分析。没有这个无法进行动力设计。

可以使用与座屈分析相同的求解器。Lanczos法是业界标准。

AMLS是Nastran的大规模特征值分析方法。自动将结构分割成子结构，分别求解各子结构的特征值，然后组装为全局。可以在数百万自由度的模型上有效求解数百个模态。

在现代FEM求解器中，特征值分析 = Lanczos法可以说是通用的。设置只需指定「求解的模态数」。

固有振动数的精度取决于质量矩阵：

按用途而定：

每个模态对外力（地震等）的响应程度的指标。有效质量大的模态是主导响应模态。详细说明见「模态有效质量」页面。

要点：

在几乎所有结构设计中都有使用。

将外力的振动数与固有振动数分开是基本方法：

低减衰的结构（钢结构：$\zeta \approx 1\%$）下±30%就够了。高减衰（橡胶垫圈：$\zeta \approx 10\%$）的情况可以用更小的间隔。

模态形状显示「在该振动数下结构如何变形」。

检查要点：

是正常的。自由浮动结构可以进行刚体运动，对应的固有振动数为零。出现6个刚体模态（3平移＋3旋转），第7个开始是弹性模态。

密度在静力分析中只影响自重，容易被忽视，但在固有振动数中 $\omega \propto 1/\sqrt{\rho}$ 直接有效。密度相差10倍会导致振动数相差 $\sqrt{10} \approx 3.2$ 倍。

所有通用FEM求解器都支持。差异在于大规模问题的性能和与动力分析的集成。

汽车的BIW（车身）模型有数百万自由度，需要数百个模态。Nastran的AMLS在这个规模上最有实绩。

固有振动数也可以通过实验（模态分析）测量：

对的。差异出现在「数百万自由度数百模态」的大规模问题和「与应答分析的集成」上。

为了使实验模态分析的结果（固有振动数＋形状）与FEM结果相匹配，通过优化调整FEM的材料特性或边界条件。使用MAC（模态保证准则）量化模态形状的匹配程度。

将材料特性和几何尺寸的偏差视为随机变量，求固有振动数的分布。用蒙特卡洛仿真或PCE（多项式混沌展开）进行高效计算。

将固有振动数作为约束条件的拓扑优化。「在保持一阶固有振动数不低于指定值的情况下，最小化质量」。固有值的灵敏度计算在数学上困难（特征值聚集、模态切换）。

用结构的数字孪生实时监控固有振动数。从固有振动数的变化检测损伤（结构健康监测）。振动数下降表示刚度降低=损伤迹象。

固有振动数故障大多由输入数据错误造成。

存在刚体模态。约束不足，结构在某个方向仍可运动。

存在机制。结构的某一部分未连接（连接遗漏）。看模态形状就能知道哪部分分离。

检查项目（优先顺序）：

$f \propto \sqrt{E/\rho}$。密度相差10倍会导致 $f$ 变为 $1/\sqrt{10} \approx 0.32$ 倍。杨氏模量相差1000倍（MPa→Pa）会导致 $f$ 变为 $\sqrt{1000} \approx 32$ 倍。都是数量级的偏差。

薄面板或轻型附件有时会以比整体模态更低的频率振动。FEM「按低到高顺序输出模态」，所以局部模态会先出现，整体模态后排。

FEM与实验5～10%的差异是正常的。相差10%以上的情况：

密度设置遗漏是固有振动数分析中最常见的错误。从静力分析转向动力分析时，养成检查密度输入的习惯。