S-N曲线与高周疲劳
理论与物理
什么是S-N曲线
老师，S-N曲线是疲劳的基础对吧。
或对数形式：$\log N = \log C - m \log S$
疲劳极限
钢存在疲劳极限（fatigue limit）$S_e$。若 $S < S_e$，则即使无限次循环也不会破坏（$N > 10^7$）。铝合金没有明确的疲劳极限。
$S_e$ 大约是抗拉强度的百分之多少？
对于钢，$S_e \approx 0.4 \sim 0.5 \sigma_u$。但会因表面光洁度、尺寸效应、平均应力而降低。实际设计中需乘以修正因子。
平均应力的影响
当平均应力 $\sigma_m \neq 0$ 时，Goodman图：
$$ \frac{S_a}{S_e} + \frac{\sigma_m}{\sigma_u} = 1 $$
钢存在疲劳极限（fatigue limit）$S_e$。若 $S < S_e$，则即使无限次循环也不会破坏（$N > 10^7$）。铝合金没有明确的疲劳极限。
$S_e$ 大约是抗拉强度的百分之多少？
对于钢，$S_e \approx 0.4 \sim 0.5 \sigma_u$。但会因表面光洁度、尺寸效应、平均应力而降低。实际设计中需乘以修正因子。
当平均应力 $\sigma_m \neq 0$ 时，Goodman图：
$S_a$ 是应力幅，$\sigma_m$ 是平均应力。拉伸平均应力会降低疲劳寿命。
总结
要点：
- $S = AN^{-1/m}$ — 应力幅 vs. 寿命
- 疲劳极限 $S_e$ — 钢约 $\approx 0.4\sigma_u$。铝不存在
- Goodman图 — 平均应力的影响。拉伸降低寿命
- 高周疲劳（$N > 10^4$） — S-N曲线的领域
- FEM应力→S-N曲线预测寿命 — 疲劳分析的基本流程
韦勒的十年实验
确立S-N曲线的奥古斯特·韦勒在1860至1870年代进行了铁路车轴的疲劳试验，收集了世界上首个系统性的疲劳数据。他的试验机是对直径30mm的铁制试样施加载荷，同时以60rpm（当时的蒸汽动力）旋转。将达到10^7次循环仍未断裂的应力称为“疲劳极限”也是韦勒首创。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即“质量×加速度”。您有过急刹车时身体向前冲的经验吗？那种“被带走的感觉”正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动也越难停止。地震时建筑物摇晃，也是因为地面突然移动，而建筑物的质量“被落下”。静力分析中此项设为零，这是“缓慢施力所以加速度可忽略”的假设。对于冲击载荷或振动问题则绝对不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 和 $\nabla \cdot \sigma$。拉伸弹簧时能感觉到“想要恢复的力”吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——铁棒和橡皮筋，用相同的力拉伸，哪个伸得更长？当然是橡皮筋。这种“不易伸长性”就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解：“刚度高=强度高”是不对的。刚度是“不易变形性”，强度是“不易破坏性”，是不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（重力等）和表面力 $f_s$（压力、接触力等）。可以这样想——桥上卡车的重量是“作用在整个内部上的力”（体积力），轮胎压路面的力是“只作用在表面上的力”（表面力）。风压、水压、螺栓紧固力…全都是外力。这里容易犯的错误：弄错载荷方向。本想“拉伸”却成了“压缩”——听起来像笑话，但在3D空间坐标系旋转时确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。试着弹一下吉他的弦。声音会一直持续吗？不，会逐渐变小。这是因为振动能量通过空气阻力或弦的内部摩擦变成了热。汽车的减震器也是同样原理——特意吸收振动能量来改善乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃不停。实际上不会这样，所以设置适当的阻尼很重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 输入mm时，载荷·弹性模量也需统一为MPa/N系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢：约210 GPa，铝：约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系中为tonne/mm³（钢 = 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm系用N，m系也用N统一 |
数值解法与实现
S-N疲劳的FEM
FEM应力→疲劳软件进行S-N评估的流程：
1. 用FEM计算应力分布（静力分析 or 频率响应）
2. 将应力结果输入疲劳软件（nCode, fe-safe, FEMFAT）
3. 指定S-N曲线（材料数据库 or 试验数据）
4. 定义载荷历程（恒定幅值 or 变幅值）
5. 平均应力修正（Goodman, Gerber, Soderberg）
6. 输出疲劳寿命 $N$（云图显示）
求解器/工具
总结
S-N曲线的对数回归与置信区间
S-N曲线在半对数或双对数坐标中近似为直线，用幂律σ^m × N = C（m为材料常数）表示。统计置信区间可分别设置为50%·95%·99%，设计时通常使用97.7%（2σ）。数据点少于10点时置信区间较宽，不确定性较大，因此建议至少用15~20个数据点来确定曲线。
线性单元（1次单元）
节点间线性插值。计算成本低，但应力精度低。注意剪切锁定（可通过减缩积分或B-bar法缓解）。
二次单元（带中间节点）
可表现曲线变形。应力精度大幅提高，但自由度约增加2~3倍。推荐：应力评估重要时使用。
完全积分 vs 减缩积分
完全积分：有过约束（锁定）风险。减缩积分：有沙漏模式（零能量模式）风险。根据情况选择。
自适应网格
基于误差指标（ZZ估计量等）的自动细化。高效提高应力集中部位的精度。有h法（单元细分）和p法（增加阶次）。
牛顿·拉弗森法
非线性分析的标准方法。每次迭代更新切线刚度矩阵。在收敛半径内具有二次收敛性，但计算成本高。
修正牛顿·拉弗森法
切线刚度矩阵使用初始值或每隔数次迭代更新。每次迭代成本低，但收敛速度为线性。
收敛判定标准
力残差范数: $||R|| / ||F_{ext}|| < \epsilon$（通常 $\epsilon = 10^{-3}$〜$10^{-6}$）。位移增量范数: $||\Delta u|| / ||u|| < \epsilon$。能量范数: $\Delta u \cdot R < \epsilon$
载荷增量法
不一次性施加全部载荷，而是分小步增加。弧长法（Riks法）可超越载荷-位移关系的极值点进行追踪。
直接法 vs 迭代法的比喻
直接法是“用笔算精确解联立方程”的方法——可靠但大规模问题耗时过长。迭代法是“反复猜测逼近正确答案”的方法——最初答案粗糙，但每次迭代精度提高。就像查字典时，从第一页开始顺序查找（直接法）不如先估计位置翻开，再前后调整（迭代法）来得高效，原理相同。
网格阶次与精度的关系
1次单元是“用直尺近似曲线”——用直线折线表现，精度有限。2次单元是“柔性曲线尺”——能表现曲线变化，即使网格密度相同，精度也显著提高。但每个单元的计算成本增加，需根据总体的成本效益来判断。
实践指南
S-N疲劳实务
用于汽车悬架、飞机结构、压力容器、焊接结构、机械零件的疲劳评估。
应力集中系数 $K_t$
FEM应力包含应力集中，因此S-N曲线基于缺口应力进行评估。或用 $K_f$（疲劳缺口系数）进行修正。
实务检查清单
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