8節点六面体要素(HEX8)
理论与物理
HEX8元素的特点
老师，HEX8和TET10相比怎么样？
HEX8（8节点六面体单元）是结构化网格的基本单元。如果说TET10是自动网格的主角，那么HEX8就是手动网格（映射网格）的主角。
形函数
HEX8的形函数用自然坐标 $(\xi, \eta, \zeta)$ 表示为三线性（trilinear）函数：
$$ N_i = \frac{1}{8}(1 + \xi_i \xi)(1 + \eta_i \eta)(1 + \zeta_i \zeta) $$
HEX8的形函数用自然坐标 $(\xi, \eta, \zeta)$ 表示为三线性（trilinear）函数：
其中 $(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)$ 是节点 $i$ 的自然坐标（$\pm 1$ 的组合）。
三线性意味着每个方向都是一次多项式吧。和TET4一样是1次单元吗？
这里就是重要的区别。TET4是完全一次多项式（$1, x, y, z$ 这4项），但HEX8是三线性（$1, \xi, \eta, \zeta, \xi\eta, \eta\zeta, \zeta\xi, \xi\eta\zeta$ 这8项）。也就是说包含交叉项。
有交叉项会有什么不同呢？
TET4是常应变单元，但HEX8可以部分地表现线性应变。特别是得益于交叉项 $\xi\eta$，能够（虽然不完全）表现弯曲变形。这是TET4做不到的。
HEX8的优点与缺点
| 特性 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|
| DOF效率 | 比TET10用更少的DOF达到同等精度 | — |
| 网格生成 | — | 需要手动（映射）网格 |
| 弯曲精度 | 比TET4好得多 | 完全积分时存在剪切自锁 |
| 不可压缩材料 | 可通过减缩积分应对 | 完全积分时存在体积自锁 |
| 接触面 | 稳定 | — |
剪切自锁是和Q4（2D四边形）一样的问题吗？
正是如此。HEX8使用完全积分（2×2×2 = 8点高斯）时，弯曲变形会产生寄生剪切应变，低估位移。标准做法是使用减缩积分（1×1×1 = 1点）来避免剪切自锁。
减缩积分与沙漏模式
1点积分的话会出现沙漏模式吧。
是的。HEX8的减缩积分存在12个沙漏模式（零能模式）。即使单元像沙漏一样发生锯齿状变形，应力仍保持为零。
对策是沙漏控制：
- 粘性型沙漏控制 — 适用于动态分析。通过人工粘性抑制
- 刚度型沙漏控制 — 适用于静态分析。通过人工刚度抑制
- 增强假定应变 (EAS) — Abaqus的 C3D8I。通过添加内部自由度来消除沙漏
C3D8I的“I”是指“非协调模式”吗？
是的。C3D8I是非协调模式单元，增加了13个内部自由度。这是一个优秀的单元，能同时解决剪切自锁和沙漏问题。比减缩积分单元（C3D8R）更稳定，比完全积分单元（C3D8）精度更高。
何时使用HEX8
既然有TET10，为什么还要用HEX8呢？
有三个理由：
1. DOF效率 — 达到相同精度所需的DOF数是TET10的1/2〜1/5
2. 接触稳定性 — 接触面比TET10更稳定
3. 大变形分析 — HEX单元在大变形中不易扭曲（TET单元容易压溃）
大变形时TET10容易压溃？
四面体由于形状自由度较低，在大变形时单元容易退化（雅可比矩阵负）。六面体在形状上更有余裕。像锻造或金属成形这样的大变形问题，更倾向于使用HEX8。
总结
我来整理一下HEX8的理论。
要点：
- 三线性形函数 — 比TET4精度更高（有交叉项）
- 完全积分存在剪切自锁 — 使用减缩积分（C3D8R）或EAS（C3D8I）应对
- 减缩积分存在沙漏模式 — 需要沙漏控制
- C3D8I（非协调模式）是最平衡的 — 既无自锁也无沙漏
- 需要手动网格 — 自动网格难以生成HEX8
- 大变形、接触问题中比TET10更有优势 — DOF效率也更高
TET10和HEX8是“自动网格的便利性”vs.“精度效率与稳定性”的权衡啊。
是的。根据项目需求（形状复杂度、精度要求、计算预算）来区分使用。能同时运用两者的工程师是最强的。
一次六面体单元的公式化
8节点六面体单元是特纳、克拉夫、马丁、托普等人于1956年在《航空科学杂志》上发表的“复杂结构的刚度与挠度分析”一文中，与四面体单元一同提出的历史性单元。因其线性插值的简洁性，至今仍是CAE实务的主角，在汽车碰撞分析中，HEX8占全部单元的80%以上。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即“质量×加速度”。您是否有过急刹车时身体被向前甩出的经历？那种“被带走的感觉”正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动也越难停止。建筑物在地震中摇晃，也是因为地面突然移动，而建筑物的质量“被落下”。静力分析中此项设为零，这是“因为缓慢施力所以加速度可以忽略”的假设。在冲击载荷或振动问题中绝对不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 或 $\nabla \cdot \sigma$。拉弹簧时会感觉到“想要恢复原状的力”吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——铁棒和橡皮筋，用相同的力拉，哪个伸得更长？当然是橡皮筋。这种“不易伸长性”就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解：“刚度高=强度高”是不对的。刚度是“不易变形性”，强度是“不易破坏性”，是不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（重力等）和表面力 $f_s$（压力、接触力等）。可以这样想——桥上卡车的重量是“作用在整个内部上的力”（体积力），轮胎压路面的力是“只作用在表面上的力”（表面力）。风压、水压、螺栓紧固力…全都是外力。这里容易犯的错误：弄错载荷方向。本想“拉伸”却变成了“压缩”——听起来像笑话，但在3D空间中坐标系旋转时确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。试着弹一下吉他的弦。声音会一直持续吗？不，会逐渐变小对吧。因为振动能量通过空气阻力或弦的内部摩擦变成了热。汽车的减震器也是同样原理——特意吸收振动能量来改善乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃下去。实际上不会这样，所以设置适当的阻尼很重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 输入mm时，载荷、弹性模量也需统一为MPa/N系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢：约210 GPa，铝：约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系中为tonne/mm³（钢为 = 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm系用N，m系也用N统一 |
数值解法与实现
HEX8积分方案比较
请再详细讲一下HEX8积分方案的区别。
选择性减缩积分是什么？
体积（膨胀）分量用减缩积分（1点）评估，偏量（剪切、弯曲）分量用完全积分（8点）评估。也称为B-bar法。在避免体积自锁的同时，防止沙漏。
Abaqus没有显式的B-bar HEX8，但C3D8RH混合单元具有同等效果。LS-DYNA的ELFORM=2（选择性减缩积分）是金属成形分析的标准。
各求解器对应的单元名称
| 变体 | Abaqus | Nastran | Ansys | LS-DYNA |
|---|---|---|---|---|
| 完全积分 | C3D8 | CHEXA(8) | SOLID185(full) | ELFORM=2(sel.) |
| 减缩积分 | C3D8R | — | SOLID185(red.) | ELFORM=1 |
| 非协调模式 | C3D8I | — | SOLID185(EAS) | — |
| 混合 | C3D8H, C3D8RH | — | u-P对应 | — |
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