RBE3加重平均要素
理论与物理
RBE3是什么
老师，RBE3和RBE2有什么区别？
RBE3是不增加刚度的载荷分配单元。与RBE2的“刚性连接”相对，RBE3是“加权平均”。这个区别是FEM建模中最重要的区别之一。
工作原理
RBE3的工作原理：
- 参考点（reference point）的位移 = 周围独立节点位移的加权平均
- 作用在参考点上的力 = 按权重分配到周围的独立节点
数学上：
主节点和从节点的关系与RBE2相反吗？
在RBE3中，独立节点是周围的节点（承受载荷的一侧），从属节点是参考点（施加载荷的点）。这与RBE2的独立/从属关系相反。
重要区别：
| 特性 | RBE2 | RBE3 |
|---|---|---|
| 刚度的增加 | 有（无限大） | 无 |
| 独立节点 | 主节点（1点） | 周围节点（多点） |
| 从属节点 | 从节点（多点） | 参考点（1点） |
| 物理图像 | 焊接连接 | 吊挂载荷的分配 |
“吊挂载荷的分配”这个比喻很形象。从一点吊起的货物重量通过绳索分配到多个支撑点。
完美的比喻。RBE3就像是“用柔软的绳索吊挂”。力被分配了，但支撑结构的刚度不变。
为什么RBE3重要
为什么RBE3比RBE2更常被推荐使用？
因为实际结构的连接处并非完全刚性。螺栓连接或销连接具有有限的刚度。如果用RBE2连接，连接处会变得无限刚硬，导致结果不切实际。RBE3只传递力而不改变刚度，因此更接近实际结构。
示例：将起重机载荷传递到法兰的情况
- RBE2 → 法兰被刚化。无法体现法兰的变形。周围产生应力集中
- RBE3 → 法兰的变形保持不变。仅载荷被分配。更现实
权重系数
RBE3的“权重”如何设置？
权重 $w_i$ 决定了力的分配比例。如果所有权重相同（$w_i = 1$）则为均匀分配。如果对不同节点设置不同的权重，也可以实现非均匀分配。
在实际工作中，全部设为 $w_i = 1$（均匀分配）是最常见的。如果载荷分布不均匀，可以设置与节点支配面积成比例的权重。
总结
我来整理一下RBE3的理论。
要点：
- 载荷分配单元 — 不增加刚度。与RBE2的根本区别
- 参考点的位移 = 周围的加权平均 — 力按权重分配
- 独立/从属关系与RBE2相反 — 周围节点是独立的，参考点是从属的
- 载荷分配应使用RBE3 — RBE2是导致刚度过大的原因
- 权重 $w_i = 1$（均匀分配）是标准 — 必要时也可非均匀
“载荷分配用RBE3”。这是FEM建模的铁则吧。
是的。RBE2与RBE3的选择是FEM中最容易出错、影响最大的设置之一。不理解这个区别的工程师，其FEM结果不可信。
RBE3的加权平均公式
RBE3（Rigid Body Element 3）是1970年代添加到Nastran中的载荷分配单元，它设定了一个约束，使独立节点群的位移加权平均值等于参考节点的位移。与RBE2不同，它不增加刚度，因此也被称为“零刚度单元”。权重系数Wi可以用面积、长度或常数值等指定，在模拟非均匀载荷分布时非常有效。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即“质量×加速度”。您有过急刹车时身体被向前甩出去的经历吗？那种“被带走的感觉”正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动也越难停止。建筑物在地震中摇晃，也是因为地面突然移动，而建筑物的质量“被落下”。在静力分析中，我们将此项设为零，这是基于“缓慢施加力，因此加速度可以忽略”的假设。对于冲击载荷或振动问题，此项绝对不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 和 $\nabla \cdot \sigma$。拉弹簧时能感觉到“想要恢复原状的力”吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——铁棒和橡皮筋，用相同的力拉，哪个伸得更长？当然是橡皮筋。这种“难以拉伸的程度”就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解：“刚度高 = 强度高”是不对的。刚度是“不易变形的程度”，强度是“不易破坏的程度”，是不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（重力等）和表面力 $f_s$（压力、接触力等）。可以这样想——桥上卡车的重量是“作用在整个内部上的力”（体积力），轮胎压路面的力是“只作用在表面上的力”（表面力）。风压、水压、螺栓的紧固力……这些都是外力。这里常见的错误：弄错载荷的方向。本想“拉伸”却变成了“压缩”——听起来像笑话，但在3D空间中坐标系发生旋转时，确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。试着弹一下吉他的弦。声音会一直持续吗？不，会逐渐变小。这是因为振动能量通过空气阻力和弦的内部摩擦变成了热。汽车的减震器也是同样的原理——故意吸收振动能量来提高乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃下去。实际上不会这样，所以设置适当的阻尼很重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 输入mm时，载荷·弹性模量也要统一为MPa/N系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢：约210 GPa，铝：约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系中是tonne/mm³（钢为 = 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm系用N，m系也用N统一 |
数值解法与实现
RBE3在各求解器中的实现
RBE3在各求解器中如何设置？
Nastran
```
RBE3, 200, , 5000, 123456, 1.0, 123, 2001, 2002,+
+, 2003, 2004
```
- 200: 单元ID
- 5000: 参考点（从属节点）
- 123456: 参考点的约束DOF
- 1.0: 权重
- 123: 独立节点的DOF
- 2001〜2004: 独立节点
Abaqus
```
*COUPLING, CONSTRAINT NAME=rbe3_1, REF NODE=5000
*DISTRIBUTING
slave_surface, 1, 6
```
Ansys
```
RBE3, 5000, , 2001, 1.0, UX, UY, UZ
```
在Abaqus中，*COUPLING的DISTRIBUTING选项就相当于RBE3啊。
是的。记住Abaqus的写法：“KINEMATIC = RBE2、DISTRIBUTING = RBE3”就好。
RBE3的注意事项
使用RBE3时有什么注意事项？
RBE3的参考点（从属节点）除非另行约束，否则可以自由移动。仅靠RBE3无法支撑结构。
例如，在RBE3的参考点上施加载荷，而周围的所有独立节点都自由（无SPC），那么整个结构会发生刚体位移。RBE3只分配力，不保证结构的稳定性。
支撑用RBE2（或直接SPC），载荷分配用RBE3，是这样区分使用吧。
正是如此。支撑 = RBE2/SPC，载荷 = RBE3。这种组合是实际工作的基本模式。
RBE3的DOF设置
独立节点的DOF应该指定什么？
通常指定123（平移3方向）。旋转DOF（456）在独立节点是壳或梁单元并具有旋转DOF时指定。实体单元的节点没有旋转DOF，所以只指定123。
如果对实体单元指定了456会怎样？
根据求解器的不同，可能会被无警告地忽略，或者报错。对于实体单元的节点，请只指定123。
总结
我来整理一下RBE3的实现细节。
要点：
- Nastran: RBE3卡片，Abaqus: *COUPLING DISTRIBUTING — 写法不同但功能相同
- 参考点需要另行约束 — 仅RBE3结构不稳定
- 独立节点的DOF — 实体单元只指定123，壳/梁单元指定123456
- 权重 $w = 1$（均匀）是标准 — 也可非均匀分配
RBE3的载荷分配算法
在RBE3的参考节点上施加集中载荷F时，分配到从属节点i的载荷按 Fi = (Wi × Ai / ΣWj×Aj) × F 计算。Ai是各节点的贡献面积，在均匀权重Wi=1的情况下，就是简单的节点数分割。根据Siemens NX Nastran 2021的发布说明，使用六核方程求解器时，RBE3的处理时间比传统基于LAPACK的方法缩短了约1/3。
线性单元（1次单元）
节点间进行线性插值。计算成本低，但应力精度低。注意剪切自锁（可通过减缩积分或B-bar法缓解）。
2次单元（带中间节点）
可以表现曲线变形。应力精度大幅提高，但自由度约增加2〜3倍。推荐：应力评估很重要的情况。
完全积分 vs 减缩积分
なった
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