Mortar法接触
理论与物理
Mortar法是什么
老师，Mortar法是最新的接触算法吗？
Mortar法是一种以弱形式（积分形式）施加接触条件的方法。相比传统的节点对面（Node-to-Surface, NTS）接触，它对网格不匹配的鲁棒性更强。
传统的NTS法：从节点投影到主控面。接触条件在每个节点处作为“点”进行评估。
Mortar法：接触条件在整个接触面上通过积分进行评估。在整个面上平均地满足约束。
是“点”评估和“面”评估的区别呢。
Mortar法的优点：
- 对网格不匹配鲁棒性强 — 主控面和从属面的网格无需一致
- 无接触压力振荡 — 消除了NTS法中出现的棋盘格现象
- 路径无关性 — 不易受主控/从属选择的影响
Abaqus中的实现
Abaqus的SURFACE TO SURFACE接触基于Mortar法。NODE TO SURFACE是传统的NTS法。
```
*CONTACT PAIR, INTERACTION=prop, TYPE=SURFACE TO SURFACE
```
Abaqus的默认设置是SURFACE TO SURFACE（Mortar法）。
总结
要点：
- 在整个面上积分接触条件 — 比点评估更稳健
- 对不匹配网格鲁棒性强 — 主控/从属网格可以不同
- Abaqus的SURFACE TO SURFACE基于Mortar法 — 默认设置
- 无接触压力振荡 — 克服了NTS法的弱点
Bernardi-Maday-Patera 1993年
Mortar法是1993年由C. Bernardi、Y. Maday、A.T. Patera为谱元法的区域分割而构思的方法。它通过L²投影在不同网格的子区域之间保证弱意义上的连续性。Ben Belgacem（1999年）将其应用于接触问题并进行了公式化，证明了即使在不匹配网格之间也能保持接触压力的积分精度。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即“质量×加速度”。您是否有过急刹车时身体被向前甩出的经历？那种“被带走的感觉”正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动也越难停止。地震时建筑物摇晃，也是因为地面突然移动而建筑物的质量“被落下”。静力分析中此项设为零，但这是基于“缓慢施力因此加速度可忽略”的假设。对于冲击载荷或振动问题，此项绝对不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 或 $\nabla \cdot \sigma$。拉伸弹簧时能感觉到“想要恢复原状的力”吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——用相同的力拉伸铁棒和橡皮筋，哪个伸得更长？当然是橡皮筋。这种“难以拉伸的程度”就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解：“刚度高=强度高”是不对的。刚度是“抵抗变形的能力”，强度是“抵抗破坏的能力”，是不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（如重力）和表面力 $f_s$（如压力、接触力）。可以这样想——桥上卡车的重量是“作用在整个物体上的力”（体积力），轮胎压路面的力是“仅作用在表面的力”（表面力）。风压、水压、螺栓预紧力……这些都是外力。这里容易犯的错误：弄错载荷方向。本想施加“拉力”却成了“压力”——听起来像笑话，但在3D空间中坐标系发生旋转时确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。试着弹一下吉他弦。声音会一直持续吗？不，会逐渐变小。这是因为振动能量通过空气阻力或弦的内部摩擦转化为热能。汽车的减震器也是同样原理——故意吸收振动能量以提高乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃不停。实际上不会这样，因此设置适当的阻尼很重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 以mm输入时，载荷·弹性模量也需统一为MPa/N系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢：约210 GPa，铝：约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系中为tonne/mm³（钢为 = 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm系用N，m系也用N统一 |
数值解法与实现
Mortar法的计算
Mortar法构建接触面之间的积分段，进行面对面约束评估。
所有求解器都能使用Mortar法呢。
最新的商用求解器正逐渐转向基于Mortar法的接触。NTS法作为遗留功能保留，但新分析推荐使用Mortar法。
总结
段积分的实现
Mortar接触计算的核心是求取主控面与从属面的相交段，并在各段上进行高斯积分。Fischer & Wriggers（2005年）的算法中，使用Sutherland-Hodgman算法实现三维相交多边形裁剪，保证即使是复杂曲面间的接触，积分点也不会重叠。此处理是代码中几何计算最重的部分之一。
线性单元（1阶单元）
节点间线性插值。计算成本低，但应力精度低。注意剪切锁定（可通过减缩积分或B-bar法缓解）。
2阶单元（带中间节点）
可表现曲线变形。应力精度大幅提高，但自由度约增加2~3倍。推荐：应力评估重要时使用。
完全积分 vs 减缩积分
完全积分：有过约束（锁定）风险。减缩积分：有沙漏模式（零能量模式）风险。需根据情况选择。
自适应网格
基于误差指标（如ZZ估计量）的自动细化。高效提高应力集中区域的精度。有h法（单元细分）和p法（阶次增加）。
牛顿-拉弗森法
非线性分析的标准方法。每次迭代更新切线刚度矩阵。在收敛半径内具有二次收敛性，但计算成本高。
修正牛顿-拉弗森法
切线刚度矩阵使用初始值或每隔数次迭代更新。每次迭代成本低，但收敛速度为线性。
收敛判定准则
力残差范数: $||R|| / ||F_{ext}|| < \epsilon$（通常 $\epsilon = 10^{-3}$〜$10^{-6}$）。位移增量范数: $||\Delta u|| / ||u|| < \epsilon$。能量范数: $\Delta u \cdot R < \epsilon$
载荷增量法
不一次性施加全部载荷，而是分小步增加。弧长法（Riks法）可超越载荷-位移关系的极值点进行追踪。
直接法 vs 迭代法的比喻
直接法是“用笔算精确解联立方程”的方法——可靠但大规模问题耗时过长。迭代法是“反复猜测逼近正确答案”的方法——最初答案粗糙，但每次迭代精度提高。就像查字典时，从第一页开始顺序查找（直接法）不如先估计位置翻开，再前后调整（迭代法）来得高效，原理相同。
网格阶次与精度的关系
1阶单元如同“用直尺近似曲线”——用直线折线表现，精度有限。2阶单元如同“柔性曲线”——能表现曲线变化，即使相同网格密度，精度也显著提高。不过，每个单元的计算成本增加，需根据总体的成本效益来判断。
实践指南
Mortar法的实务
Mortar法“默认使用”是最佳选择。明确选择NTS法的理由很少。
实务检查清单
风力发电机主轴接触分析
Vestas公司从2015年左右开始在风力发电机主轴-壳体间的不匹配网格接触中采用Mortar法。轴侧网格密度在轴承沟槽周边局部较细，壳体侧较粗，但通过Mortar投影，界面处的载荷传递确保了理论值的99.5%以上。传统的绑定接触（node-to-node）在不匹配部位会产生人为的应力集中，导致疲劳寿命被低估。
分析流程的比喻
分析流程其实和烹饪非常相似。首先采购食材（准备CAD模型），进行预处理（网格生成），开火烹饪（求解器执行），最后装盘（后处理可视化）。这里有个重要的问题——烹饪中最容易失败的工序是哪里？其实是“预处理”。网格质量差的话，无论使用多优秀的求解器，结果都会一团糟。
初学者容易陷入的陷阱
您确认过网格收敛性吗？是否认为“计算能运行=结果正确”？这其实是CAE初学者最容易掉入的陷阱。求解器一定会对给定的网格返回“一个像样的答案”。但如果网格太粗，这个答案就会与现实相差甚远。至少用3个级别的网格密度确认结果是否稳定——如果忽略这一点，就会陷入“因为是计算机给出的答案所以应该正确”的危险误区。
边界条件的思考方式
边界条件的设置，与考试的“出题”是相同的。如果题目出错了呢？无论计算多么精确，答案都是错的。“这个面真的完全固定吗？”“这个载荷真的是均匀分布吗？”——正确建模现实的约束条件，其实是整个分析中最重要的步骤。
软件比较
Mortar法的工具
选型指南
Sierra/Solid与Mortar实现
美国Sandia国家实验室在Sierra/Solid代码的V4.0版本（2008年）中实现了mortar接触，并将其用于核爆炸模拟的部件接触分析。在商用软件中，ABAQUS 6.14（2014年）增加了mortar formulation选项，向具有不匹配网格的大型装配体分析开放。ANSYS Mechanical则在2019年的2019R1版本中，将mortar接触从预览功能提升为正式功能。
选型时最重要的三个问题
- “要解决什么问题”：所需的物理模型·单元类型是否支持Mortar法接触。例如，流体方面是否有LES支持，结构方面接触·大变形的支持能力会有差异。
- “谁使用”
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