RBE2剛体要素
理论与物理
RBE2是什么
老师，RBE2是FEM中最常用的刚性单元对吧。
是的。RBE2（刚性体单元，类型2）是Nastran的术语，但其概念存在于所有FEM求解器中。它将一个独立节点（主节点）与多个从属节点（从节点）进行刚性连接。
工作原理
对于独立节点的位移 $\{u_m\} = (u, v, w, \theta_x, \theta_y, \theta_z)$，从属节点 $i$ 的位移为：
其中 $\Delta x_i = x_i - x_m$ 等是相对于独立节点的距离。
这是刚体运动学公式呢。“主节点移动，从节点也随之刚性地移动”。
正是如此。RBE2强制施加刚体运动的约束。由于从节点的位移由独立节点的位移和旋转唯一确定，因此从节点的指定自由度会从整体方程中消去。
RBE2的效果
RBE2会给结构增加刚度。连接区域将不再变形。
| 效果 | 说明 |
|---|---|
| 增加刚度 | 连接部位变得无限坚硬 |
| 自由度消减 | 从节点的自由度被消去 |
| 力的传递 | 作用于主节点的力被刚性地分配到从节点 |
| 位移统一 | 从节点的位移从属于主节点 |
典型的使用场景
用RBE2施加“保持平面”的条件是什么意思？
例如，想在压力容器端面施加轴向均匀位移条件时，将端面所有节点用RBE2连接。如果主节点的轴向位移设为自由，则端面作为一个整体轴向移动，但位移不受约束。
RBE2的注意事项
最大的注意事项：RBE2会增加结构的刚度。
因为实际结构的连接部位并非完全刚性，所以用RBE2连接会导致结果过于刚硬吗？
没错。在RBE2的连接部位：
- 周围的变形单元会产生应力集中
- 整体刚度被高估
- 挠度偏小
“不要相信RBE2附近的应力”是FEM的铁则。
总结
我来整理一下RBE2的理论。
要点：
- 刚性连接 — 从节点刚性地跟随主节点运动
- 增加刚度 — 连接部位变得无限坚硬
- 消减自由度 — 从节点的自由度减少
- 连接部位的应力不准确 — 应在1~2个单元之外评估
- 注意不要过度使用 — 仅在必要的最小范围内使用
RBE2是“虽然方便，但用多了会扭曲结果”的单元呢。
正是如此。RBE2就像“锤子”一样的工具。不应什么都用RBE2去敲，只在真正需要刚性连接的场合使用。载荷分配应使用RBE3。
RBE2的多点约束方程
RBE2（刚性体单元2）是NASA开发的Nastran在1960年代末引入的多点约束（MPC）单元，通过刚体变换将独立节点（独立自由度）的位移传递到从属节点（从属自由度）。数学上通过拉格朗日乘子法或罚函数法将约束方程纳入全局刚度矩阵，强制所有自由度的位移协调。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即“质量×加速度”。您有过急刹车时身体被向前甩出的经历吗？那种“被带走的感觉”正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动也越难停止。地震时建筑物摇晃，也是因为地面突然移动，而建筑物的质量“被落下”。静力分析中此项设为零，这是“缓慢施加载荷，加速度可忽略”的假设。对于冲击载荷或振动问题，此项绝对不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 或 $\nabla \cdot \sigma$。拉弹簧时会感觉到“想要恢复的力”吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——铁棒和橡皮筋，用相同的力拉，哪个伸长更多？当然是橡皮筋。这种“难以伸长的程度”就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解：“刚度高=强度高”是不对的。刚度是“不易变形的程度”，强度是“不易破坏的程度”，是不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（如重力）和表面力 $f_s$（如压力、接触力）。可以这样想——桥上卡车的重量是“作用在整个内容物上的力”（体积力），轮胎压路面的力是“只作用在表面的力”（表面力）。风压、水压、螺栓紧固力…全都是外力。这里容易犯的错误：弄错载荷方向。本想“拉伸”却变成了“压缩”——听起来像笑话，但在3D空间中坐标系旋转时确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。试着弹一下吉他弦。声音会一直持续吗？不，会逐渐变小。这是因为振动能量通过空气阻力或弦的内部摩擦转化为热能。汽车的减震器也是同样原理——故意吸收振动能量以提高乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃下去。实际上不会这样，所以设置适当的阻尼很重要。
假设条件与适用极限
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 输入mm时，载荷·弹性模量也需统一为MPa/N系 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢：约210 GPa，铝：约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系中为tonne/mm³（钢约为 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm系用N，m系也用N统一 |
数值解法与实现
RBE2在各求解器中的实现
RBE2在各求解器中如何设置？
Nastran
```
RBE2, 100, 1000, 123456, 2001, 2002, 2003, 2004
```
- 100: 单元ID
- 1000: 主节点
- 123456: 约束的自由度
- 2001〜2004: 从节点
Abaqus
```
*RIGID BODY, REF NODE=1000, ELSET=slave_nodes
```
或
```
*COUPLING, CONSTRAINT NAME=rbe2_1, REF NODE=1000
*KINEMATIC
slave_surface, 1, 6
```
Ansys
```
CERIG, 1000, 2001, ALL
CERIG, 1000, 2002, ALL
```
Nastran的RBE2可以在一行中指定多个从节点，很简洁呢。
Nastran的卡片格式针对大量使用RBE2的航空航天工作流进行了优化。Abaqus的*COUPLING和Ansys的CERIG也能实现同等功能，但写法不同。
约束自由度的选择
除了“123456”，也可以只约束部分自由度吗？
可以。例如设为“123”（仅约束平动，旋转自由），则从节点可以相对于主节点旋转。
典型选择：
- 123456 — 约束全部自由度。完全的刚性连接
- 123 — 仅约束平动。旋转自由（类似铰接）
- 12 — 仅约束面内平动
自由度选择错误会导致过约束呢。
在不需要约束全部自由度的场合使用123456，会连旋转自由度也约束住。例如“只想让从节点的面内位移跟随主节点”，就只约束12。
总结
我来整理一下RBE2的实现细节。
要点：
- Nastran中一行可指定多个从节点 — 简洁的写法
- Abaqus中使用*COUPLING的KINEMATIC选项 — 同等功能
- 约束自由度的选择很重要 — 不必要的自由度不要约束
- 注意过约束 — 123456并非总是正确的
RBE2的刚体位移矩阵
RBE2的变换矩阵T由6列矩阵构成，用于从独立节点的3个平动分量和3个旋转分量计算从节点的平动位移。设臂长r=[rx,ry,rz]，则从节点平动位移为u_dep = u_ind + θ_ind × r。此线性变换在大变形问题中会产生误差，因此在非线性分析中，实务上的常规做法是用RBE3或接触条件替代RBE2。
线性单元（1次单元）
节点间线性插值。计算成本低，但应力精度低。注意剪切锁定（可通过减缩积分或B-bar法缓解）。
2次单元（带中间节点）
可表现曲线状变形。应力精度大幅提高，但自由度约增加2~3倍。建议：应力评估很重要时使用。
完全积分 vs 减缩积分
完全积分：有过约束（锁定）风险。减缩积分：有沙漏模式（零能量模式）风险。根据情况选择合适的方法。
自适应网格
基于误差指标（如ZZ估计量）的自动细化。高效提高应力集中部位的精度。有h法（单元细分）和p法（增加阶次）两种。
牛顿-拉弗森法
非线性分析的标准方法。每次迭代更新切线刚度矩阵。在收敛半径内具有二次收敛性，但计算成本高。
修正牛顿-拉弗森法
切线刚度矩阵使用初始值或每隔几次迭代更新。每次迭代成本低，但收敛速度为线性。
收敛判定标准
力残差范数: $||R|| / ||F_{ext}|| < \epsilon$（通常 $\epsilon = 10^{-3}$〜$10^{-6}$）。位移增量范数: $||\Delta u|| / ||u|| < \epsilon$。能量范数: $\Delta u \cdot R < \epsilon$
载荷增量法
不一次性施加全部载荷，而是分小步增加。弧长法（Riks法）可以超越载荷-位移关系的极值点进行追踪。
直接法 vs 迭代法的比喻
直接法是“用笔算正确
なった
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