总体拉格朗日法和更新拉格朗日法
总体拉格朗日法和更新拉格朗日法的理论基础
TL法和UL法
老师，请给我解释总体拉格朗日法（TL）和更新拉格朗日法（UL）的差异。
两者都是大变形的表述，但基准配置不同。
| 特性 | TL法 | UL法 |
|---|---|---|
| 基准配置 | 初始配置（$t=0$） | 前一个收敛配置 |
| 应变量纲 | Green-Lagrange应变 $E_{ij}$ | 对数应变（Euler-Almansi的变形版） |
| 应力量纲 | 第2Piola-Kirchhoff应力 $S_{ij}$ | Cauchy应力 $\sigma_{ij}$ |
| 刚度矩阵的组成 | 在初始配置下积分 | 在现配置下积分 |
即以「初始配置为基准」还是「现在配置为基准」的差异，是这样吧。
如果实现正确，两者给出相同的解。根据计算效率和实现的便利性来选择。Abaqus采用UL法，Nastran的SOL 106采用TL法。
总结
要点：
- TL法 — 初始配置基准。Green-Lagrange应变。Nastran的SOL 106
- UL法 — 现配置基准。Cauchy应力。Abaqus的默认
- 如果实现正确则给出相同结果 — 基准配置的选择是数值效率问题
- 用户只需设置「NLGEOM=YES」 — TL/UL的选择是求解器内部的
Lagrange·Euler的FEM二分法
有限变形FEM的表述分为Total Lagrangian（TL）和Updated Lagrangian（UL）两个系统。TL以初始（参考）配置为基准进行积分，使用变形梯度张量F，精确表示有限应变。UL以现在配置为基准，每个步骤进行更新。对于超弹性材料（橡胶）适用TL，对于金属大变形（含接触）适用UL。这种选择方式的确立是Malvern·Ogden·Simo（1980～90年代）的成果。
总体拉格朗日法和更新拉格朗日法的数值计算方法
表述的细节
TL法的虚功原理（弱形式）：
UL法：
TL法中所有都在初始体积$V_0$中积分，UL法在现体积$V$中积分，对吧。
积分区域的差异影响计算成本。TL法中Green-Lagrange应变的计算较为复杂，UL法需要每个时间步更新配置。
总结
第2 Piola-Kirchhoff应力的使用方法
在Total Lagrangian表述中，使用「第2 Piola-Kirchhoff应力S」和「Green-Lagrange应变ε」的共轭对。S与Cauchy应力不同，是一种「参考配置基准的名义应力」，对应变形后的面积与参考前的配置。由于以初始配置为基准，材料常数张量C（弹性张量）在变形中保持常数，这是超弹性Mooney-Rivlin模型的FEM实现的自然特性。
总体拉格朗日法和更新拉格朗日法的实务应用
实务中的选择
用户很少需要意识到TL/UL的选择。将其交给求解器的默认设置是最佳做法。
实务检查清单
轮胎滚动FEM分析中的TL应用
子午断面轮胎（径向轮胎）的接地变形是橡胶伸长超过100%的超弹性大变形，是必需的Total Lagrangian表述。普利司通从1980年代开始就用TL表述的FEM预测轮胎接地面形状、接触压力和滚动阻力，2000年代实现了90%的精度（与实测相比）。目前，TL表述加上Mullins效应（软化）和蠕变的多功能分析已成为标准。
总体拉格朗日法和更新拉格朗日法的软件比较
工具
选择指南
不需要根据TL/UL的选择来选择求解器。所有求解器都支持大变形。
Marc特殊超弹性单元和大变形
MSC Marc最初是专为橡胶的Total Lagrangian分析而开发的FEM代码，标准实现了Ogden、Mooney-Rivlin、Neo-Hookean、Yeoh等超弹性模型。Marc的「超弹性大变形单元」具有自动检测单元反演并自动细化荷载步骤的「自适应步进」功能。大陆集团始终在整个轮胎设计流程中使用Marc，拥有50多年的大变形FEM实绩。
总体拉格朗日法和更新拉格朗日法的先端研究
先端研究
Bio-FEM：软组织的Total Lagrangian表述
生物软组织（心肌、韧带、动脉壁）在25～80%的生理应变范围内工作，是超弹性体，是必需的Total Lagrangian表述。Holzapfel等人的Fiber-Reinforced超弹性模型（2000年）将考虑肌肉纤维方向的应变能量函数整合到TL表述中，大幅提高了心脏FEM收缩模拟的精度。也被心脏设备支架设计所采用。
总体拉格朗日法和更新拉格朗日法的故障处理
故障
TL分析中出现负雅可比的情况
在Total Lagrangian分析中，单元的雅可比矩阵行列式为负（Negative Jacobian）时，表示单元发生反演的大变形。对策是①将荷载增量步数细化（1/10以下）②使用自适应网格③从降阶积分改为完全积分④将单元类型从Hex改为Tet，按此顺序尝试。特别是在橡胶分析中，泊松比ν=0.499（几乎非压缩性）容易产生体积锁定，必需使用混合单元（Abaqus C3D8H）。
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错误