简支梁（两端铰支座与滚动支座）
悬臂梁（左端固定）
均布荷载 UDL
集中荷载
移动荷载（集中）
简支梁·均布荷载
简支梁·集中荷载
悬臂梁·端部集中荷载
移动荷载
简支梁＋均布荷载：$\displaystyle M_{max}=\frac{wL^2}{8},\quad \delta_{max}=\frac{5wL^4}{384EI}$
简支梁＋跨中集中荷载：$\displaystyle M_{max}=\frac{PL}{4},\quad \delta_{max}=\frac{PL^3}{48EI}$
支座反力由静力平衡条件（$\sum F=0,\ \sum M=0$）求得，剪力 $V(x)=-\int w\,dx$，弯矩 $M(x)=\int V\,dx$，挠度通过对 $EI\,y''=M$ 二次积分求得。
什么是梁截面特性
🙋
老师，这个模拟器里说的“截面惯性矩”到底是什么呀？听起来好抽象。
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简单来说，它就是衡量一个梁截面有多“抗弯”的指标。你可以把它想象成截面的“筋骨强度”。比如一根扁平的尺子，你很容易把它掰弯，但如果把它立起来，就很难掰弯了，这就是因为立起来时惯性矩变大了。在实际工程中，桥梁的大梁、厂房的钢梁，都需要很大的惯性矩来抵抗弯曲。你试着在模拟器里把矩形截面的高度调高，看看惯性矩 $I_x$ 的值是不是会急剧增大？
🙋
诶，真的吗？我试试……哇，真的变大了好多！那为什么工字钢看起来那么常用呢？它中间不是空了一块吗，材料少了不应该更弱吗？
🎓
问得好！这正是工字钢巧妙的地方。它把宝贵的材料从用处不大的中心区域（靠近中性轴）挪到了远离中性轴的上下“翼缘”处。根据公式 $I_x = \int y^2 dA$，材料离中性轴越远（y越大），对惯性矩的贡献就成平方倍增加！所以它用更少的材料，实现了更大的抗弯能力。你可以在模拟器里对比一下，把矩形截面和工字钢截面调到大致相同的面积，看看谁的惯性矩更大？
🙋
原来是这样！我对比了，工字钢的惯性矩真的比矩形大好几倍！那旁边的“弯曲应力分布图”又是怎么回事？那些蓝色和红色代表什么？
🎓
那个图非常直观！它显示了梁在承受你设定的弯矩 $M$ 时，截面上每一点的实际应力。红色代表拉应力，蓝色代表压应力。你可以看到，应力大小和到中性轴的距离 $y$ 成正比，这就是公式 $\sigma = M \cdot y / I_x$ 的视觉体现。最神奇的是，你改变上面“弯矩M”的滑块，会发现应力图整体按比例变化；而你改变截面尺寸，应力分布的形状会完全改变。试着把工字钢的翼缘加宽，你会发现最大应力（最红和最蓝的地方）显著下降了，这就是优化的效果！
物理模型与关键公式
截面惯性矩是衡量截面抵抗弯曲变形能力的核心几何参数。它的定义是：截面上每个微面积 $dA$ 到中性轴距离 $y$ 的平方，在整个面积上的积分。
$$I_x = \int_A y^2 \, dA$$
其中，$I_x$ 是对x轴（通常是水平中性轴）的惯性矩，单位是 $\text{mm}^4$ 或 $\text{m}^4$。$y$ 是微面积到中性轴的垂直距离。这个公式告诉我们，材料离中性轴越远，对“抗弯”的贡献越大。
基于惯性矩，我们可以推导出计算最大弯曲应力的实用公式。截面模量 $Z$ 是一个将弯矩 $M$ 直接转换为最大应力 $\sigma_{\max}$ 的便捷参数。
$$Z_x = \frac{I_x}{c}, \quad \sigma_{\max}= \frac{M}{Z_x}= \frac{M \cdot c}{I_x}$$
其中，$Z_x$ 是截面模量，单位是 $\text{mm}^3$；$c$ 是中性轴到截面最外边缘的距离；$M$ 是施加的弯矩；$\sigma_{\max}$ 是截面上的最大弯曲应力（拉或压）。设计时，只需确保 $\sigma_{\max} \le [\sigma]$（材料许用应力）即可。
现实世界中的应用
钢结构建筑与桥梁： 这是工字钢（H型钢）的主战场。在大跨度厂房、高层建筑的框架和铁路公路桥梁中，工程师利用本工具揭示的原理，选择惯性矩大、用料省的工字钢作为主梁，在保证安全的前提下大幅节约钢材和成本。
机械设计中的轴类零件： 传动轴、机床主轴等零件承受弯矩和扭矩。设计师使用截面模量 $Z$ 来快速校核轴在危险截面处的弯曲应力是否超标。通过对比实心圆轴和空心圆轴的截面效率，可以在强度和重量之间取得最佳平衡。
土木工程中的楼板与基础梁： 钢筋混凝土梁的截面通常设计为矩形或T形。T形截面模仿了工字钢的原理，利用楼板作为受压翼缘，有效提高了截面的惯性矩和抗弯承载力，这是基于同样物理原理的巧妙应用。
航空航天与汽车轻量化： 在飞机机翼大梁、赛车车架等对重量极端敏感的领域，工程师会使用本工具反复对比不同复杂截面（如工字、C形、盒形）的 $I/A$（惯性矩与面积之比，即截面效率），以寻找用最轻结构获得最大刚度的最优解。
常见误解与注意事项
使用本工具时，有几个容易陷入的误区需要注意。首先是“只要截面二次矩大，就什么都强”这一误解 。虽然弯曲刚度确实会提高，但必须注意屈曲问题。例如，你可以尝试在工具中将工字钢的腹板（中间直立部分）做得极端细高。I值确实会增大，但实际上在弯曲载荷下腹板会发生皱曲的“局部屈曲”，导致无法发挥计算出的强度。在实际工程中，存在“宽厚比”限制，相关规范（如JIS等）正是为确保遵守此限制而制定的。
其次是忽视中性轴位置的重要性 。用T形截面试验就很容易理解：中性轴通过形心（截面形状的重心）。对于上下不对称的T形截面，中性轴到上下边缘的距离（c1, c2）是不同的。此时，由于截面模量Z是用较小距离（c）来除的，所以拉伸侧和压缩侧的强度可能不同。例如在设计铸造零件时，就需要考虑这一点来确定形状。
最后是单位混用导致的计算错误 。工具可能基于毫米显示，但实际工作中如果弯矩M用[N·m]，而I用[mm⁴]，应力计算结果可能会差1000倍。务必统一量纲。在公式 $ \sigma = M y / I $ 中，若M=1000 N·m、y=0.05 m、I=10000 mm⁴，则必须先将I换算为m⁴（$10^{ -8} m^4$）。