支撑悬臂梁模拟器 — 一次超静定梁

支撑悬臂梁一端固定、另一端简支（支撑），为一次超静定（反力比平衡方程多一个）。仅靠平衡方程无法求解，需用变形协调条件。

力法：取支撑反力 $R_B$ 为多余未知力，先移除支撑得到悬臂梁。由载荷在支撑处产生的挠度 $\delta_0$ 与 $R_B$ 产生的向上挠度 $\delta_R$ 相互抵消（支撑处挠度为零，$\delta_0 = \delta_R$）求得 $R_B$，其余由平衡确定。

跨长 $L$，左端固定、右端支撑（简支）的代表值：

对相同均布载荷，固定端弯矩：简支梁为 $0$，悬臂梁为 $wL^2/2$，两端固定梁为 $wL^2/12$。支撑悬臂梁（$wL^2/8$）介于其间，可大幅降低悬臂梁的挠度与弯矩，这正是设置支撑的作用。

建筑雨棚与阳台的加固：悬挑雨棚和向外悬挑的阳台，随着使用年限增加或荷载条件变化，挠度会变得明显，常在端部加设辅助柱（支撑）进行翻新。从纯悬臂改造为一次超静定支撑悬臂梁，可在不增加固定端弯矩的前提下，将端部挠度缩小约 2.6 倍。本模拟器中 δ_max 的减小正反映了这种效果。

桥梁连续支承与施工临时墩：连续梁桥通过中间桥墩来抑制跨中应力，从而形成多跨连续梁。在悬臂施工过程中，有时先在悬挑端下方布置临时贝雷墩，使其处于支撑悬臂梁状态，一边控制应力一边推进伸出。固定端弯矩 $-wL^2/8$ 与正弯矩 $9wL^2/128$ 的分配比例，直接关系到施工应力的评估。

机械装置的机架与传感器臂：测量装置和机床上较长的传感器臂，悬臂根部的应力集中是个问题。在端部增设一个微小的滚轴支座变成支撑悬臂梁后，一阶固有频率会提高，加速时的挠度也会减小。把 EI 滑块调大，可以看到挠度 δ_max 与 EI 成反比地减小。

塔吊吊臂与塔架的拉索：塔吊的水平吊臂（jib）由副臂与吊索从根部到尖端施加拉力，从而把臂尖吊起支撑。其荷载与几何虽然不完全符合本模拟器的模型，但「固定端＋远端铰支」的一次超静定化思想是相通的，常被应用于合理化吊臂自重与吊重的支座条件。

最常见的误解是把固定端弯矩估得比简支梁还要大。支撑悬臂梁在均布荷载 w 作用下的固定端弯矩为 $-wL^2/8$，与同条件简支梁的最大弯矩 $wL^2/8$ 大小「相等」，这是关键。容易以为「一固定，弯矩就全集中到固定端」，但实际上正弯矩降到了 $9wL^2/128 \approx wL^2/14.2$，固定端只是承担同样大小的负弯矩，总量并未增加。看模拟器 BMD 中红线山头和谷底的比值就能直观感受到。

其次常见的错误是认为超静定梁不能用叠加。在线弹性、微小变形、支座条件不变的前提下，超静定梁同样严格满足叠加。试着分别移动模拟器的 w 滑块与 P 滑块，再与同时施加两种荷载时的结果对比，会发现各反力、弯矩、挠度的数值恰好等于单独解的简单相加。另一方面，一旦材料屈服或支座出现脱开（lift-off）就进入非线性，叠加会破坏，需要注意。

最后要提醒的是「既然右端是铰支，那么右端的挠度和转角都为零」这种误解。铰（滚轴）支座只约束竖向位移，转角（转动）是自由的。模拟器 BMD 中右端 x=L 处的弯矩刚好为零，是因为铰支座点的弯矩必然为零这一边界条件。但转角自由，所以右端挠曲线斜率 $dw/dx$ 取有限值。这与「两端完全固定梁」的行为不同，因此一开始就要明确区分各支座条件。