参数设置
梁为两端简支。集中荷载 P 作用在位置 a 处向下，均布荷载 w 在全跨范围向下，外力矩 M_0 在本模拟器中固定为 0（仅在公式栏中保留以便讲解）。位置 a 会自动被夹紧到跨度 L 之内。
梁模型、SFD 与 BMD
上=梁与荷载（黄色箭头=集中荷载、青色箭头群=均布荷载、三角形=支座）／中=SFD V(x)／下=BMD M(x)，红色标记=M_max 位置
理论与主要公式
长度为 L 的两端简支梁，在位置 a 处作用集中荷载 P、全跨作用均布荷载 w、位置 b 处作用外力矩 M_0 时，由平衡关系求得支反力，再按区段写出 V(x) 与 M(x)。
由力与力矩平衡得右支反力 R_B 与左支反力 R_A：
$$R_B = \frac{P\,a + w\,L^2/2 + M_0}{L},\qquad R_A = P + w\,L - R_B$$
剪力 V(x)。H(·) 为单位阶跃函数：
$$V(x) = R_A - w\,x - P\,H(x-a)$$
弯矩 M(x)：
$$M(x) = R_A\,x - \frac{w\,x^2}{2} - P\,(x-a)\,H(x-a) + M_0\,H(x-b)$$
M(x) 的极值出现在 dM/dx = V(x) = 0 的位置，该截面在设计上承受最大弯曲应力。
剪力图与弯矩图模拟器是什么
🙋
老师，SFD 和 BMD 在结构课上必然要讲，但总是不太明白「到底有什么用」。
🎓
简单说，SFD 是「把梁纵向剪开的力」的地图，BMD 是「把梁拗弯的力」的地图。设计者看 BMD 的最大值，判断「这里弯曲应力最大，要按这个值选截面，保证不会折断」。在模拟器中改变 P 或 w，可以观察 BMD 的山峰怎样移动。
🙋
SFD 和 BMD 的关系是什么来着？看起来相似但不是一回事。
🎓
关系很简单：dM/dx = V(x)，BMD 的斜率就是 SFD 的值。所以 SFD 过零的位置，正是 BMD 的峰或谷。用默认值（L=6, P=30, a=2.5, w=10）观察 SFD：在 x=a=2.5 处，V 从 +22.5 跳到 −7.5。这个变号点恰好是 BMD 达到山顶 M_max=87.5 kN·m 的位置。教科书的标准结果。
🙋
原来如此！那如果把集中荷载置零，只留均布荷载，峰值会出现在哪里？
🎓
试试看。P=0，w=10，L=6 时，由对称性 R_A=R_B=30 kN，SFD 从左端 +30 线性下降到中点为 0、右端 −30。BMD 在 x=3 处取得最大，值为 wL²/8 = 10·36/8 = 45 kN·m，正是教科书「简支梁均布荷载下最大弯矩 wL²/8」的公式。先在干净的算例里把模拟器和手算对上，再叠加复杂荷载，是最稳妥的做法。
🙋
明白了！那如果把 a 移到跨中，三角形 BMD 的峰应该出现在中间吧？
🎓
没错。a=L/2 时，集中荷载单独贡献的最大弯矩是 PL/4。组合荷载下，集中分量的三角形峰（x=a）与均布分量的抛物线峰（x=L/2）叠加在一起。当 a 推向端部时，BMD 的山顶向集中荷载侧滑动；当 a 推回跨中，山顶回到中央附近。观察这个过程，是培养「最大应力位置在哪」直觉的最佳练习。
常见问题
规定向下作用的荷载为正、向上支反力为正。剪力 V(x) 取截面左侧合力向上为正，弯矩 M(x) 取使梁下凸（即「下沉」型）为正。BMD 偏向正侧时，梁下侧纤维受拉、上侧纤维受压。教材与规范的符号规定有所不同，因此在与其他资料对照计算结果时，请注意保持规定一致。
集中荷载 P 是作用在「点」上的力，所以在该位置 SFD 瞬时跳 P 的台阶。BMD 是 SFD 的积分，SFD 出现台阶时 BMD 连续但斜率突变，因此形成折点。反之，外力矩 M_0 作用的点处，BMD 跳 M_0 而 SFD 连续。在实际结构中，「点荷载」是一种理想化，实际荷载总是分布在一个微小区域上。
完全可以，是教科书层面的手算。由平衡：R_B = (30·2.5 + 10·6²/2)/6 = (75 + 180)/6 = 42.5 kN，R_A = 30 + 60 − 42.5 = 47.5 kN。剪力 V(0+) = 47.5、V(2.5−) = 47.5 − 25 = 22.5、V(2.5+) = 22.5 − 30 = −7.5、V(6−) = −7.5 − 35 = −42.5，最后加 R_B 得到 V(6) = 0 闭合。最大弯矩位置是 V 变号的 x = a = 2.5，M = 47.5·2.5 − 10·2.5²/2 = 118.75 − 31.25 = 87.5 kN·m。模拟器应当显示 R_A=47.5、R_B=42.5、M_max=87.5、x=2.50，完全一致。
得到最大弯矩 M_max 后，弯曲应力 σ = M_max·c / I，其中 I 是截面惯性矩，c 是从中性轴到截面最外纤维的距离。对矩形截面（宽 b、高 h），I = bh³/12、c = h/2，截面模量 Z = I/c = bh²/6，于是 σ = M_max/Z。把默认 M_max = 87.5 kN·m 套到 H 型钢 H-300×150（Z ≈ 4.81×10⁻⁴ m³）上，σ ≈ 182 MPa，超过 SS400 钢的许用应力 160 MPa，需要加大截面或更换构件。
剪力图与弯矩图的五个关键性质
掌握以下五个性质，可快速准确地绘制剪力图（SFD）与弯矩图（BMD）并校验。
- 微分关系：剪力等于弯矩的斜率，$V = dM/dx$。对 BMD 求导即得 SFD。
- 极值条件：弯矩在剪力为零处取极值（最大）。求 $M_{max}$ 时关注 $V=0$ 之点。
- 集中载荷处突变：集中载荷作用点处 SFD 突变（跳跃）等于载荷大小，BMD 出现折点（尖角）。
- 载荷阶次与图形：无载荷段 SFD 为常数、BMD 为直线；均布载荷段 SFD 为直线（一次）、BMD 为抛物线（二次）。
- 边界值：简支支座与自由端弯矩为零，悬臂梁固定端弯矩最大（hogging）。切换上方支承条件可见差异。
剪力图与弯矩图的画法（5步）
- 求反力：由竖向与力矩平衡（$\sum V = 0$, $\sum M = 0$）求支反力 $R_A, R_B$（悬臂梁求固定端反力与弯矩）。
- 分段：以集中载荷位置、分布载荷端点与支座为界将梁分段。
- 剪力：各段从左端在任意 $x$ 处截断，由左侧竖向平衡求 $V(x)$ 并绘 SFD。
- 弯矩：对截面取矩，由力矩平衡求 $M(x)$ 并绘 BMD（$M(x)=\int V\,dx$）。
- 校验：$V=0$ 处 $M$ 取极值，简支支座与自由端 $M=0$。
本工具将上述步骤自动化，便于核对手算并观察图形随载荷与跨度的变化。
反力、剪力与弯矩公式
常见梁与载荷的反力、最大剪力与最大弯矩（$P$＝集中载荷，$w$＝均布载荷，$L$＝跨度）。
| 梁与载荷 | 反力 | 最大剪力 $V_{max}$ | 最大弯矩 $M_{max}$ |
|---|
| 简支梁·跨中集中载荷 | $R_A=R_B=P/2$ | $P/2$ | $PL/4$（跨中） |
| 简支梁·均布载荷 | $R_A=R_B=wL/2$ | $wL/2$（支座） | $wL^2/8$（跨中） |
| 悬臂梁·端部集中载荷 | $R=P,\ M_A=PL$ | $P$ | $PL$（固定端） |
| 悬臂梁·均布载荷 | $R=wL,\ M_A=wL^2/2$ | $wL$（固定端） | $wL^2/2$（固定端） |
简支梁弯矩在跨内最大，悬臂梁则在固定端最大。相同载荷下悬臂梁最大弯矩更大，更为不利。
实际应用
梁构件的截面选型：在设计钢框架梁或木地板格栅时，先由 SFD/BMD 读出最大剪力 V_max 与最大弯矩 M_max，再反算满足弯曲与剪切许用应力的最小截面。从钢材表中选取截面模量 Z 和截面惯性矩 I 满足 σ = M_max/Z ≤ σ_allow 及 τ = V_max/A_w ≤ τ_allow（A_w 为腹板面积）的 H 型钢截面即可。
起重机大梁与桥梁的核算：对起重机主梁，将移动集中荷载（小车与吊重）放在不同位置画 BMD，然后取各位置 M_max 的包络线（影响线）。设计值不是单一位置的 M_max，而是移动荷载经过所有可能位置时的最大值。在本模拟器中拖动 a 滑块，正相当于影响线分析的第一步。
机械设计中的合理性校核：在对类梁复杂结构做有限元分析的前后，把其中一部分简化为简支梁模型，与理论解对比。如果 FEM 的最大弯曲应力与理论解差了一个数量级，就要怀疑网格质量或边界条件设置。本工具可作为现场快速核算的解析计算器。
教学与课程作业：「剪力 → 弯矩」的积分关系和 dM/dx = V，仅靠纸质教科书很难感受到。在本工具里逐步加上荷载（先只有 w，再加 P，再移动 a），可连续观察 SFD 与 BMD 的变化，作为结构力学的入门教材十分有效。
常见误解与注意事项
最常见的误解是断定「最大弯矩出现在荷载正下方」。这只在「简支梁＋中央单一集中荷载」这种教科书例题中成立。组合荷载下，最大位置会偏移：当偏一端的集中荷载与全跨均布荷载同时作用时，M_max 可能出现在集中荷载位置、跨中，或两者之间的任何地方。本模拟器在 401 个点上数值搜索 V(x)=0 的位置，并额外评估集中荷载点，准确锁定峰值。拖动 a 滑块观察 M_max 位置如何变化，是最可靠的学习方法。
其次常见的错误是把 SFD 与 BMD 当作两件互不相关的事。它们由 dM/dx = V(x) 紧密耦合：SFD 下方有符号的面积等于 BMD 的差分，SFD 的变号点等于 BMD 的极值点。手算时也是先由支反力画 SFD，再分段积分得到 BMD。在模拟器中把 SFD 与 BMD 上下并排观察，确认 SFD 过零的位置正好对应 BMD 切线水平的位置——这就是理论自洽的检验。
最后，不要把「两端简支」与「两端固定」混为一谈。本模拟器假设两端简支（左端铰支、右端滚动支座）。两端固定梁会在端部产生固端弯矩，最大弯矩转移到固定端附近。同样的荷载下，两端固定时跨中弯矩降到简支的约 1/3，但端部出现更大值。边界条件是结构设计中最基本也最关键的假定，因此判断实际支承是「接近简支」还是「接近固支」时务必慎重。
依据标准与假设
依据/参考： 梁的静力学（欧拉–伯努利梁）。简支梁由静力平衡 \(\sum F = 0,\ \sum M = 0\) 得支反力 \(R_B = (P\,a + wL^2/2 + M_0)/L\)、\(R_A = P + wL - R_B\)。剪力 \(V(x)=R_A - wx - P\,H(x-a)\)，弯矩 \(M(x)=\int V\,dx\)。
模型假设： 线弹性、小变形、简支（铰支+滚动支座），考虑集中荷载P与均布荷载w。符号约定：下凹弯矩为正，向下荷载为正。忽略剪切变形与自重。
适用范围与局限： 支反力、剪力图与弯矩图为精确值（例：\(L{=}6\,\text{m}, P{=}30\,\text{kN}\,@\,a{=}2.5\,\text{m}, w{=}10\,\text{kN/m} \Rightarrow R_A{=}47.5, R_B{=}42.5\,\text{kN}\)，\(M_\text{max}{=}87.50\,\text{kN·m}\,@\,x{=}2.5\,\text{m}\)；\(R_A{+}R_B{=}\) 总荷载90 kN）。与截面相关的应力、挠度需另行提供截面参数。