什么是伯努利定理与管道流动
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老师，伯努利定理说“流速快压力小”，这听起来有点反直觉啊？比如水管，水流急的地方不是应该冲击力更大、压力更大吗？
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简单来说，你混淆了“冲击力”和“流体内部的静压力”。伯努利定理说的是流体内部的静压力。在实际工程中，比如你捏住花园水管的出口让它变细，水流会喷得更远（流速v变大），但如果你在旁边开个小孔，你会发现那里不但不会喷水，反而可能会把空气吸进去（静压力P变小）。你可以在这个模拟器里试试，把出口直径D₂调得比入口D₁小，看看管道变细那段的速度和压力颜色怎么变化。
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诶，真的吗？我试了一下，管子变细的地方速度条（箭头）真的变长了，压力颜色也变蓝了（表示压力低）。那如果我把入口压力P₁调高，出口速度会一直跟着变大吗？
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会变大，但可不是简单的等比例增加哦。因为根据公式，压力能、动能和势能之间会互相转化。比如，你把入口压力P₁调高，相当于给了流体更多的“压力能”。这部分能量会根据管道形状，转化成速度（动能）或者用来爬坡（克服高度差Δz的势能）。你可以固定其他参数，只拖动P₁的滑块，观察出口流速v₂和压力P₂的计算值是怎么联动的。
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原来能量还能这么转换！那“流体类型”这个参数有什么用？我把水换成空气，结果好像差很多？
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问得好！这直接关系到公式里的密度ρ。水的密度大约是空气的800倍。在同样的速度下，动压½ρv²会相差巨大。比如在汽车引擎的化油器里，就是利用空气流经狭窄喉道时压力降低，把汽油（燃料）吸进去雾化。你可以在模拟器里对比一下，同样的管道尺寸和入口条件，分别选“水”和“空气”，看看出口压力P₂的差值能有多大，就能明白为什么设计空气系统和液体系统时考虑完全不同了。
物理模型与关键公式
最核心的伯努利方程，描述了沿一条流线，流体的机械能守恒（忽略粘性摩擦和热交换）。
$$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g z_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g z_2$$
P 是静压（单位面积上的力），ρ 是流体密度，v 是流速，g 是重力加速度，z 是高度。等式左边是截面1的总机械能，右边是截面2的总机械能，三者之和在理想条件下保持不变。
连续性方程，由质量守恒定律推导而来，确保流体不会凭空产生或消失。
$$A_1 v_1 = A_2 v_2 = Q$$
A 是管道横截面积（$A=\pi D^2/4$），v 是该截面的平均流速，Q 是体积流量（单位时间流过的体积）。这个公式直接告诉我们：管道变细（A变小），流速（v）就必须增大，这样才能保证流量Q不变。
伯努利方程（压力形式与水头形式）
伯努利定理表明沿流线能量守恒：压力能、动能与位置能之和为常数。
$P + \dfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{常数}$
两边除以 $\rho g$ 即可用长度（水头）表示。
$\underbrace{\dfrac{P}{\rho g}}_{\text{压力水头}} + \underbrace{\dfrac{v^2}{2g}}_{\text{速度水头}} + \underbrace{z}_{\text{位置水头}} = H\ (\text{总水头})$
$P$ 为静压，$v$ 为流速，$z$ 为高度，$\rho$ 为密度，$g$ 为重力加速度。它定量解释了流速增大处压力反而下降这一反直觉现象。本模拟器实时显示管路沿程三种水头的分配。
连续方程、文丘里效应与静压/动压/总压
连续方程（质量守恒）：不可压缩流动中，截面积 $A$ 与流速 $v$ 之积（流量 $Q$）守恒。
$Q = A_1 v_1 = A_2 v_2, \qquad A=\dfrac{\pi D^2}{4} \;\Rightarrow\; v_2 = v_1\left(\dfrac{D_1}{D_2}\right)^2$
管道变窄时流速增大，由伯努利方程压力随之下降，即文丘里效应，用于流量计、喷雾器与化油器。压力各分量为：
| 名称 | 公式 | 含义 |
|---|
| 静压 $P$ | $P$ | 随流体运动测得的压力 |
| 动压 $q$ | $\tfrac{1}{2}\rho v^2$ | 对应动能 |
| 总压（驻点压）$P_0$ | $P + \tfrac{1}{2}\rho v^2$ | 使流体停滞时的压力 |
皮托管由总压与静压之差（动压）测得流速 $v=\sqrt{2(P_0-P)/\rho}$。
适用条件与含损失的扩展形式
伯努利定理为理想化公式，成立需满足下列假设：
- 不可压缩：密度恒定（气体在马赫数低于约 0.3 时也近似成立）。
- 无黏性：忽略摩擦损失。
- 定常流：不随时间变化。
- 沿同一流线（或无旋流动）。
实际管道存在黏性引起的水头损失 $h_L$（沿程与局部损失），故能量方程扩展为：
$\dfrac{P_1}{\rho g}+\dfrac{v_1^2}{2g}+z_1 = \dfrac{P_2}{\rho g}+\dfrac{v_2^2}{2g}+z_2 + h_L$
$h_L$ 为管道摩擦（达西–魏斯巴赫公式）与弯头、阀门等局部损失之和。长管或高黏流体中 $h_L$ 占主导，故损失评估与伯努利方程同样重要。
现实世界中的应用
文丘里流量计： 这是伯努利定理最直接的应用。在管道中制造一个先收缩后扩张的喉部，通过测量收缩前后两点的压力差（P₁-P₂），就能根据伯努利方程和连续性方程精确计算出管道内的流量Q，广泛应用于水、油、气的计量。
飞机机翼与升力： 机翼上表面弯曲，流道窄，空气流速快压力低；下表面相对平直，流速慢压力高。上下表面的压力差就产生了升力。虽然真实情况更复杂（粘性、三维效应），但伯努利原理是解释升力来源最经典的模型之一。
喷雾器与化油器： 当高速气流（如从你嘴吹出或引擎吸气）通过一个细管时，该处静压降低。这个低压会将旁边容器里的液体（香水或汽油）吸上来，并被高速气流吹散成雾状，实现雾化或混合。
建筑通风与烟囱效应： 热空气密度小，在烟囱或建筑竖井中上升（相当于产生了高度差Δz带来的势能变化）。根据伯努利定理，这会在底部形成低压区，从而抽吸新的空气进入，形成自然通风。在设计高层建筑和工业烟囱时必须考虑这个原理。
常见误解与注意事项
使用本模拟器时，容易误将伯努利定理当作“魔法定律”。首先要明确的是，其前提基于“无粘性、不可压缩、定常流”这三项重要假设。例如，水几乎不可压缩，但高速流动的空气其压缩性影响便不可忽略。在实际管道设计工作中，应养成习惯，始终质疑当前条件是否满足这些假设的适用范围。
其次，切勿混淆入口流速v₁与流量Q的关系。模拟器中可直接调整v₁，但现场由泵或风机决定的通常是“流量”。例如，同样以10 m³/h的流量输水，仅将入口管径从50mm改为100mm，入口流速v₁便会从约1.41m/s骤降至约0.35m/s。若不将“流量恒定”牢记于心而调整参数，便会产生与现实的脱节。
最后，压力测量位置的重要性。模拟器中“截面1、2”的压力是明确的，但实际文丘里流量计中，节流前后“静压取压口”的位置有严格规定。否则，湍流影响会导致测量值波动。切勿因工具显示ΔP（P₁-P₂）较大就轻易换算流量，否则会吃苦头。请始终将其用于理解理想工况下的“基本原理”。