参数设置
扫描时 L_1 在 1 m 与 10 m 之间往复变化，可观察分配系数 DF 随杆长改变的过程。
结点模型 — 杆长与分配弯矩
中央＝刚结点，三条放射线＝杆件。线宽与相对刚度 K_i=1/L_i 成正比；近端弧形箭头表示 M_i。
分配系数 DF_i 柱状图
每根柱长＝DF_i，三根之和恒等于 1.000（结点弯矩平衡）。
理论与主要公式
当外弯矩 M_0 作用于刚结点时，交于此处的各杆件按其刚度比例分担。当弯曲刚度 EI 相同时，远端固定杆件的相对刚度为 K_i=1/L_i。
杆件 i 的相对刚度（EI 相同）：
$$K_i = \frac{1}{L_i}$$
分配系数（刚度比）：
$$\mathrm{DF}_i = \frac{K_i}{\sum_j K_j}$$
杆件 i 分担的弯矩：
$$M_i = \mathrm{DF}_i \cdot M_0$$
结点弯矩平衡保证 $\sum_i \mathrm{DF}_i = 1$ 且 $\sum_i M_i = M_0$ 始终成立。杆件越长（越柔）DF 越小；越短（越刚）承担的 M_i 越大。
什么是刚结点弯矩分配模拟器
🙋
教授，外加弯矩作用在刚结点上时，它究竟按什么规律分到各根杆件？
🎓
简单说就是「越刚的杆件分得越多」。当弯曲刚度 EI 相同时，远端固定的杆件长度 L 越短，近端转动越费劲——也就是相对刚度 $K_i = 1/L_i$。把所有杆件的 K 加起来再相除，就得到分配系数 $\mathrm{DF}_i = K_i/\sum K$。在默认值（4、6、5 m）下，L_1 最短，所以 DF_1 最大。
🙋
DF_1 确实最大，是 0.405。那么 M_0 = 100 kN·m 时，杆件1分担 40.5 kN·m，这样理解对吗？
🎓
完全正确。$M_i = \mathrm{DF}_i \cdot M_0$，杆件1分到 40.5、杆件2分到 27.0、杆件3分到 32.4 kN·m。三者之和正好为 100 kN·m，意味着结点上外弯矩与内弯矩相互平衡。柱状图里的「Σ DF = 1.000」「Σ M_i = 100.0」就是这一事实的实时印证。
🙋
把 L_1 滑块往大里拖，DF_1 就一直在变小。
🎓
是的。杆件越长越柔，结点想转动时它会说「我撑不住了，让其他人多分点」。把 L_1 推到 10 m，DF_1 明显减小，DF_2 和 DF_3 则补上这部分份额。点击「扫描 L_1」可以看到三根柱子互相吞噬的过程。
🙋
我好像在课本里见过 Hardy Cross 法这个名字，它和这有关系吗？
🎓
关系密切。Hardy Cross 弯矩分配法就是「分配（你刚做的这一步）」与「传递（把分配弯矩的一半传到远端）」交替进行，并在整个刚架上反复迭代直至收敛。本工具只截取了最初一步——单一结点上做一次分配，非常适合在啃 Hardy Cross 表之前热身使用。
常见问题
对远端固定的杆件在近端施加单位转角，所需弯矩为 4EI/L。当各杆件的弯曲刚度 EI 相同时，杆件对结点转动的抵抗能力与 1/L 成正比。这正是相对刚度 K=1/L 的含义，分配系数 DF_i = K_i / ΣK_j 只是把这一刚度比直接当作分配比来使用。杆件越长越柔，转动所允许的角度越大，所承担的弯矩就越小。
ΣDF=1 由定义自然成立：每个 K_i 除以 ΣK 后求和必为 1。ΣM_i=M_0 是刚结点处的弯矩平衡条件。当外加 M_0 时，要使结点保持不转动，各杆件合计必须承担一个与 M_0 等值反向的内弯矩。模拟器实时显示 ΣDF 与 ΣM 两个值，可以确认在数值精度范围内这两个恒等式始终成立。
本模拟器只截取 Hardy Cross 法的最初一步——「不平衡弯矩在单一结点的分配」。在真实刚架中，每一次分配的弯矩有一半会传递（传递系数 1/2）到杆件的远端，从而在相邻结点引发新的不平衡，再次分配……如此交替直到修正量足够小才停止。本工具正是这一迭代过程的入门版：在一个结点上做一次清晰的分配。
严格来说应将相对刚度替换为 K_i = E_i I_i / L_i。本模拟器为简化讨论假设三根杆件的 EI 相同，使分配仅由长度决定。在工程实践中，由于截面与材料各异，应按 EI/L 逐根计算后再除以结点的 ΣK 得到 DF。原理一致：刚度大的杆件分配系数大，承担的外弯矩也多。
实际应用
刚架手算与有限元结果的复核：钢框架与钢筋混凝土刚架中，外力弯矩需要在每个结点上分配给与之相连的梁柱。本工具关注的「单结点单次分配」正是 Hardy Cross 法、转角位移法和矩阵位移法共同的出发点，也是用来对有限元解做量级复核时最实用的直觉。
受偏心荷载的刚性板螺栓群：当弯矩绕螺栓群形心作用时，每颗螺栓承担的剪力与其到形心的距离（即相对刚度）成正比。代数形式不同，但思想完全相同：用 ΣK 归一化后，每个元件按自己的 K 比例承担。这与结点弯矩分配是同一种眼光。
并联弹簧与并联电路的类比：并联弹簧的力分担 F_i = (k_i / Σk_j) F、并联电阻的电流分配，凡是「先用 Σ 归一化、再按刚度比分配」的现象在工程中无处不在。本模拟器培养的直觉远不止结构力学一隅。
刚结点与铰结点的设计选择：把结点做成刚性可以在杆件间分散弯矩、降低各杆件的应力峰值，但结点处会出现较大的弯矩；做成铰则结点弯矩为零，但杆件中段的挠度增大。结合本工具中 M_i 的量级感受「刚接需要承担多大的弯矩」，对结构形式的选型很有帮助。
常见误解与注意事项
最常见的误解是认为「越长的杆件分得越多」。直觉上「长梁看起来更结实」，但实际恰恰相反：杆件越长越柔，结点更容易朝它转动，所以分担的弯矩反而少。在模拟器中将 L_1 从 4 m 推到 10 m，可以看到 DF_1 从约 0.4 降到 0.2 左右，这部分份额会被 L_2 与 L_3 接走。请记住分配的权重是 K=1/L，而不是 L 本身。
第二个常见错误是直接比较 1/L_i 而忘了归一化。三根杆件时分配系数 DF_i = K_i / ΣK 永远要除以结点处的 ΣK。在默认值（L = 4、6、5 m）下，K = (0.250, 0.167, 0.200)，ΣK = 0.617，DF = (0.405, 0.270, 0.324)。比值 DF_1/DF_2 = K_1/K_2 = L_2/L_1 = 6/4 = 1.5 仍然成立，因为公共分母正好相消。
最后请注意本工具的结果并不是刚架的最终解。Hardy Cross 法中，每次在某个结点上分配出的弯矩有一半会传递到杆件远端，在相邻结点上形成新的不平衡，需要再次分配，如此反复直至修正量足够小。本模拟器只截取这一过程的第一步，更适合作为「结点弯矩分配」概念的入门可视化，而不是完整的刚架分析。