参数设置
扫描中，L_1在1米到10米之间往返变化，可观察分配率DF如何变化的动画。
节点模型 — 构件长度与分配力矩
中心=刚接合节点，放射状3条线=各构件／线宽与相对刚度K_i=1/L_i成正比，节点端箭头表示分配力矩M_i
分配率 DF_i 柱状图
每个柱子的高度=分配率DF_i／3个柱子合计始终为1.000（节点力矩平衡）
理论与主要公式
当刚接合节点承受外部力矩M_0时，汇聚于该节点的各构件按自身刚度的比例承受力矩。若弯曲刚度EI相同，远端固定的构件相对刚度为K_i=1/L_i。
构件i的相对刚度（EI相同的情况）：
$$K_i = \frac{1}{L_i}$$
分配率（各构件刚度比）：
$$\mathrm{DF}_i = \frac{K_i}{\sum_j K_j}$$
分配到构件i的力矩：
$$M_i = \mathrm{DF}_i \cdot M_0$$
节点力矩平衡条件下，$\sum_i \mathrm{DF}_i = 1$且$\sum_i M_i = M_0$恒成立。较长（较软）的构件DF较小，较短（较硬）的构件承受较大的M_i。
节点力矩分配模拟器是什么
🙋
老师，当刚接合的节点从外部承受一个力矩时，它"是如何分配到各个构件"的呢？
🎓
很好的问题。简单来说就是"越硬的承受越多"。如果弯曲刚度EI相同，远端固定的构件越短，越难被节点转动——即相对刚度K_i = 1/L_i。将所有构件的K相加得到ΣK，然后除以这个和，就得到分配率DF_i = K_i/ΣK。在模拟器的默认值（4、6、5米）中，L_1最短，所以DF_1应该最大。
🙋
确实，DF_1是0.405，是最大的。那么如果给M_0 = 100 kN·m，构件1就会承受40.5 kN·m，对吗？
🎓
正确。用M_i = DF_i · M_0，构件1是40.5、构件2是27.0、构件3是32.4 kN·m。三个加起来正好是100 kN·m，节点上外力力矩和内力力矩达到平衡。你可以看柱状图上的"Σ DF = 1.000"和"Σ M_i = 100.0"来确认。
🎓
对，长梁越软，节点转动时"自己顶不住"，就把力矩让给别的构件。当L_1拉到10米时，DF_1会大幅下降，而DF_2和DF_3会增大。按一下"扫描"按钮，你就能看到L_1在1～10米之间往返时，三条柱子互相此消彼长的景象。
🙋
这个"Hardy Cross法"，我在课本里见过这个词，有什么关系吗？
🎓
很有关系。Hardy Cross的力矩分配法，就是在每个节点进行刚才那样的"分配"，然后把其中一半传到远端（传递），在隔壁节点又产生新的不平衡，再分配……反复迭代直到收敛。本工具只是提取了"一个节点单次分配"这一步，是在学Hardy Cross表格之前的预热练习，再合适不过了。
常见问题
对于远端固定的悬臂梁，在节点端给予单位转角时，所需力矩为4EI/L。如果所有构件的弯曲刚度EI相同，则各构件对节点转动的抵抗力与1/L成正比。这就是"相对刚度K=1/L"的含义。分配率DF_i = K_i / ΣK_j是将刚度比直接作为分配比使用。长构件越柔软，越容易转动，承担的力矩越小。
ΣDF=1从定义显而易见，每个K_i除以ΣK的比值之和必然等于1。ΣM_i=M_0是刚接合节点力矩平衡条件本身。当外部施加M_0时，为使节点保持不转动而平衡，各构件合计必须反向承受M_0。模拟器实时显示ΣDF和ΣM的值，在舍入误差范围内总是满足这两个条件。
本模拟器只提取了Hardy Cross法的第一步，即"不平衡力矩的分配"。在实际的刚架结构中，某节点分配的力矩的一半会传递到远端（传递），在相邻节点产生新的不平衡，然后再进行分配……通过反复迭代直到收敛。本工具是理解这个"节点处单次分配"的入门工具。
严格来说，应将相对刚度替换为K_i = E_i I_i / L_i。本模拟器为了简化，采用共同的EI，仅由长度差异决定分配。实际工程中，各构件可能断面和材料不同，需要计算每根构件的EI/L，然后除以ΣK求得DF。思路相同，刚度大的构件分配率大，承受更多的外力力矩。
实际应用
刚架结构的手工计算与检验：钢结构或钢筋混凝土刚架（刚接合骨架）中，需要将外力力矩分配到汇聚于各节点的梁柱。本工具处理的"单个节点单次分配"是Hardy Cross法、变角法、刚度矩阵法的共同出发点，可用于用有限元求解器结果进行概略检验时培养"直觉感"。
偏心荷载下的刚体楼板与螺栓群：当螺栓群中心周围承受力矩时，各螺栓承受的剪力按距中心的距离（相对刚度）按比例分配。虽然公式形式不同，但"用ΣK正规化整体刚度，按自身K比例承受"的思想是相通的，可以用与节点力矩分配相同的眼光理解。
并联弹簧系统与并联电路的类比：给并联弹簧施加位移δ时，各弹簧的分担载荷F_i = (k_i/Σk_j) F；并联电阻的电流分配等，"按ΣK正规化再按刚度比分配"的现象在工程各处都出现。本模拟器培养的感觉超越结构力学，有普遍的应用价值。
刚接合与铰接的设计选择：若节点刚化，力矩分配会让各构件应力峰值降低，但节点处产生大的弯矩。若为铰接，节点力矩为零，但构件中部挠度增加。通过模拟器看到分配的M_i的数量级，在选择刚接还是铰接时就能凭直觉判断。
常见误解与注意事项
最常见的误解是认为"长构件承受的力矩更大"。直观上感觉"长梁应该更能承受"，但实际相反，长构件越柔软，节点转动时受力越少。用模拟器把L_1拉到10米，可以清楚看到DF_1从0.4降到0.2左右，分给L_2和L_3。记住"刚度K=1/L才是分配的权重"。
其次是混淆"分配率"与"简单的长度倒数比"。三构件情况下，DF_i = K_i / ΣK，不能直接比较1/L_i之间的关系，必须用ΣK正规化。默认值（L=4、6、5米）中，K=(0.250、0.167、0.200)，ΣK=0.617，得DF=(0.405、0.270、0.324)。分母相同后，比例关系成立，如DF_1/DF_2 = K_1/K_2 = L_2/L_1 = 6/4 = 1.5。
最后要注意，本工具的结果不是刚架结构整体的最终解。Hardy Cross法中，某节点分配的力矩一半会传到远端，在那里产生新的不平衡；再分配、传递……反复迭代直到误差足够小。本模拟器只截取了"第一步"，是学习节点力矩分配感觉的入门工具，要将其视为Hardy Cross法的出发点。