参数设置
E* = 115400 MPa（钢/钢的等效弹性模数）固定。d越小按压越强，实接触面积率增加。
粗面与基准面（示意图）
上半：粗面尖峰与基准面距离d（红圆=接触的尖峰）／下半：F_0(d/σ)、A_r/A_0、P/A_0的d/σ依赖性
理论·主要公式
GW模型中，尖峰高度z遵循高斯分布φ(z)，每个尖峰都经历赫兹球接触压缩。只有高度z > d的尖峰才接触，沉入量为δ = z − d。
尖峰高度分布（标准差σ的高斯分布）：
$$\varphi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\!\left(-\frac{z^2}{2\sigma^2}\right)$$
单位面积实接触个数。η为尖峰密度：
$$n(d) = \eta \int_d^\infty \varphi(z)\,dz$$
实接触面积率（单个接触A_c = π β δ）：
$$\frac{A_r}{A_0} = \pi\beta\eta \int_d^\infty (z-d)\,\varphi(z)\,dz$$
名义接触压（单个接触赫兹荷载P_c = (4/3) E* β^{1/2} δ^{3/2}）：
$$\frac{P}{A_0} = \frac{4}{3}E^*\sqrt{\beta}\,\eta \int_d^\infty (z-d)^{3/2}\varphi(z)\,dz$$
关键结论是，减小d（增加按压）时，n(d)、A_r/A_0和P/A_0几乎以相同的比例增加。这是阿蒙顿-库仑摩擦定律的微观基础。
Greenwood-Williamson 粗面接触模拟器说明
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我听说把手掌平放在桌子上时，虽然看起来整个手掌都接触了，但实际接触的只是很小的一部分。这是真的吗？
🎓
完全正确。定量描述这种现象的代表模型就是Greenwood-Williamson，也就是GW模型。简单地说，表面是由大量"尖峰（凸起）"组成的，这些尖峰的高度遵循高斯分布。在默认参数下（σ=1μm、β=10μm、η=10×10⁹/m²、d=1μm，即d/σ=1），实接触面积率只有约2.6%。剩下的97%以上都是微小间隙，润滑油、空气等可以在这些间隙中流动。
🙋
才2.6%！如果我按得更用力，实接触面积会增加多少呢？
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这正是GW模型最有趣的地方。通过滑块减小"基准面距离d"，你会看到一个很好的现象：实接触面积率A_r/A_0和名义接触压P/A_0几乎以相同的比例增加。这就是阿蒙顿-库仑摩擦定律的微观原理：摩擦力与垂直荷载成正比，与表观面积无关。
🙋
我明白了！那如果我把表面打磨得更光滑，把σ减小，接触面积会进一步增加吗？
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完全正确。减小σ时，即使d保持不变，接触个数n(d)也会指数增加。这就是为什么要磨光机械零件表面来降低摩擦、防止泄漏和减少电接点接触电阻。同时，增大顶部曲率半径β会增大单个接触点的面积。试试把β增加到100，你会看到A_r/A_0大约增加10倍。
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下面的图表中，当d/σ增加时，F0和A_r似乎都在以指数方式减少。纵轴是log刻度，为什么看起来是直线？
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观察得很敏锐！在对数轴上呈直线意味着F0和A_r/A_0相对于d/σ呈指数衰减。这就是为什么工程师常用近似公式A_r/A_0 ≈ const × exp(-d/σ)。在本工具采用的高斯分布尾部，d/σ从1增加到2时，实接触面积约降为原来的十分之一。exp(-d/σ)只是直觉近似，显示值由F1积分决定。
常见问题
通过白光干涉仪、原子力显微镜(AFM)或共焦显微镜等表面粗度测量仪器获得的表面高度数据，计算单位面积内的顶点（局部极大值）个数。典型的机械加工面η约为10⁹～10¹¹ /m²，研磨面约为10¹¹～10¹² /m²。在GW模型中，σ、β、η三个参数是独立给定的，但实际上它们都依赖于测量尺度，因此在应用模型时必须根据实际工作尺度进行测量。
d < 0表示基准面已经沉入平均面以下，即按压非常强烈，平均面下方的尖峰也开始接触。当你把d滑块调到-2μm时，接触概率F_0会大幅超过0.5，A_r/A_0会增长到百分比量级。在实际应用中，这个区域会出现塑性变形和材料屈服，所以超出了GW模型的纯弹性假设范围。
通常使用塑性指数ψ = (E*/H)√(σ/β)来判断，其中H是材料硬度。当ψ < 0.6时主要是弹性，ψ > 1时塑性变形占主导。对于塑性区域，使用扩展的GW-CEB模型（Chang-Etsion-Bogy）或Kogut-Etsion弹塑性球接触模型，将每个尖峰的接触分为弹性、弹塑性和完全塑性三个阶段。本工具采用的是弹性GW模型，所以当塑性指数较大时，接触压力会被低估。
GW模型把尖峰看作独立的半球，用赫兹球接触理论处理每个接触点，这是一种"离散统计"方法。而Persson理论（2001年）把表面看作分形多尺度结构，在傅立叶空间中直接推导接触面积的概率分布，这是一种"连续尺度依赖"的方法。Persson理论在低荷载下能严格导出A_r/A_0 ∝ P/A_0的线性比例关系，但计算更复杂。在工程实践中，简便性用GW模型，精度和多尺度效应用Persson理论。
实际应用
轴承和齿轮的摩擦学设计：在球轴承和滑动轴承中，当油膜变薄进入边界润滑区时，尖峰之间会直接接触。使用GW模型估算实接触面积和接触压力，预测摩擦、磨损和烧结的极限荷载。与EHL（弹性流体润滑）分析相结合，通过油膜厚度与粗度的比值（Λ比）判断接触区域，这种设计方法广泛应用于汽车和航空发动机的驱动部件。
电气接触和连接器设计：继电器和连接器的电气接触点，其接触电阻直接由实接触个数和面积决定。使用GW模型可通过R_c ∝ 1/√(n × A_c)的形式预测接触电阻，进而设计所需的接触荷载和接触材料硬度。智能手机的USB-C连接器、计算机CPU插座等，微观接触的可靠性直接影响整个设备的寿命。
密封件和垫片的泄漏分析：金属垫圈和O形圈的泄漏由实接触面积率和尖峰间残留的"泄漏通路"的连通性决定。使用GW模型估算尖峰间的几何形状，结合Reynolds方程预测泄漏流量。在半导体制造设备和氢能相关设备的超高气密密封设计中，这是必不可少的方法。
热接触电阻和散热器设计：CPU与散热器界面的热传导只能通过实接触点进行。使用GW模型计算实接触面积，估算TCC（热接触导纳）。导热膏的作用是填补间隙，增大见面接触面积。数据中心服务器的冷却设计必须进行这种评估。
常见误区和注意事项
最常见的误区是混淆表观接触面积和实接触面积。比如把100 cm²的金属块放在另一个金属面上，看起来整个100 cm²都在接触，但GW模型告诉我们实接触面积率只有几%到几十%。摩擦力、接触电阻和导热都与实接触面积成正比，如果用表观面积计算，误差可能达到数个数量级。通过本工具的默认参数可以直观感受A_r/A_0 ≈ 2.6%的微小值。
第二个常见误区是认为表面越光滑接触面积就越大。减小σ会减小尖峰高度的分散，同一个d下接触个数会增加，但每个接触点的面积会变小。而且，研磨过度会导致冷焊（粘着），反而使摩擦系数大幅跳升（镜面粘附）。在本工具中把σ降到0.1μm，你会看到F_0接近零的范围发生变化。
最后要注意的是，GW模型不是适用于所有粗面接触的万能公式。GW模型忽略了尖峰之间的相互作用，假设顶部曲率半径恒定，且高度遵循高斯分布。实际表面具有多尺度（分形）结构，改变观测尺度σ和β都会变化。对于高荷载、塑性变形主导的情况，各向异性加工面，以及润滑油介入的边界润滑等情况，应该以GW为出发点，结合Persson理论、GW-CEB、EHL分析等进行补正。