参数设置
E* = 115400 MPa（钢-钢等效弹性模量）固定。减小 d 即压紧增强，真实接触面积比相应增大。
粗糙表面与参考面（示意图）
上半：微凸体与参考面间距 d（红点＝接触中的微凸体）／下半：F_0(d/σ)、A_r/A_0、P/A_0 随 d/σ 的变化。
理论与主要公式
GW 模型中，微凸体高度 z 服从高斯分布 φ(z)，每个微凸体按赫兹球接触被压扁。只有 z > d 的微凸体发生接触，压入量为 δ = z − d。
微凸体高度分布（标准差为 σ 的高斯分布）：
$$\varphi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\!\left(-\frac{z^2}{2\sigma^2}\right)$$
单位面积上的真实接触个数。η 为微凸体密度：
$$n(d) = \eta \int_d^\infty \varphi(z)\,dz$$
真实接触面积比（每个接触 A_c = π β δ）：
$$\frac{A_r}{A_0} = \pi\beta\eta \int_d^\infty (z-d)\,\varphi(z)\,dz$$
名义接触压力（每个接触赫兹载荷 P_c = (4/3) E* β^{1/2} δ^{3/2}）：
$$\frac{P}{A_0} = \frac{4}{3}E^*\sqrt{\beta}\,\eta \int_d^\infty (z-d)^{3/2}\varphi(z)\,dz$$
值得注意的是：减小 d（即压紧）时，n(d)、A_r/A_0 与 P/A_0 几乎按相同比例增加。这正是阿蒙顿-库仑摩擦定律的微观依据。
什么是 Greenwood-Williamson 粗糙表面接触模拟器
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把手掌按在桌子上，看起来贴得很紧，但听说实际只有一小部分真正接触？是真的吗？
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是真的。把这件事定量化的代表模型就是 Greenwood-Williamson，简称 GW 模型。简单说，表面被视为大量随机高度的「微凸体（突起）」，并假定它们的高度服从高斯分布。按上面的默认值，相对于表观面积，真实接触面积仅约2.6%。其余则是微小间隙，是润滑油和空气存留的空间。
🙋
只有2.6%？那如果用力压一下，真实接触面积会增加多少？
🎓
这正是 GW 模型最有趣的地方。把「参考面间距 d」滑块往小调，你会看到真实接触面积比 A_r/A_0 与名义接触压力 P/A_0 以几乎相同的比例同步增加。这就是阿蒙顿-库仑摩擦定律「摩擦力 ∝ 法向载荷」的微观依据。
🙋
原来如此！那把表面打磨得更光滑、把 σ 调小，接触面积是不是会更大？
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对，减小 σ 时同样的 d 下接触个数 n(d) 会指数级增加。希望减少摩擦、泄漏或电接触电阻时，打磨表面降低 σ 是常规做法。反过来，加大顶点曲率半径 β 会使每个接触点的面积变大。在滑块里把 β 调到10倍，A_r/A_0 也几乎随之增大10倍。
🙋
下方的曲线图里，d/σ 越大，F0 和 A_r 都迅速减小，看起来几乎是直线下降。
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你注意到一个好点。纵轴是 log，看上去是直线下降，意味着 F0 与 A_r/A_0 随 d/σ 大致呈指数衰减。工程上常用的近似 A_r/A_0 ≈ const × exp(-d/σ) 正源于此。一个好记的经验是：d 每增加 1σ，真实接触面积大约缩小到原来的 1/e（约37%）。
常见问题
从粗糙度轮廓测量（白光干涉仪、AFM、共聚焦显微镜等）获得的表面高度数据，按单位面积上的顶点（极大值）个数计算。一般机加工面 η ≈ 10⁹～10¹¹ /m²，研磨面约 10¹¹～10¹² /m²。GW 模型把 σ、β、η 视为独立给定，但实际上它们都依赖于测量尺度，因此需要按应用尺度进行测量。
d < 0 表示参考面位于平均面之下，即压紧非常强，平均面以下高度的微凸体也参与接触。把滑块调到 d = -2 μm 时，接触概率 F_0 远大于0.5，A_r/A_0 也跃升至百分比量级。实际工程中，这已进入塑性变形区，纯粹的 GW 模型（完全弹性）假设不再严格成立。
通常用塑性指数 ψ = (E*/H)√(σ/β)（H 为材料硬度）判别，ψ < 0.6 时几乎为弹性，ψ > 1 时塑性变形占主导。塑性区域采用 GW-CEB 模型（Chang-Etsion-Bogy）或 Kogut-Etsion 弹塑性球接触，将每个微凸体接触按弹性、弹塑性、完全塑性三阶段分别积分。本工具仅实现弹性 GW 模型，ψ 较大时会低估接触压力，需要注意。
GW 模型把微凸体视为独立的半球，将每个接触按赫兹球接触处理，是「离散统计」方法。Persson 理论（2001）则把表面视为分形（多尺度），直接在傅里叶空间推导接触面积的概率分布，是「连续、尺度依赖」方法。Persson 理论在低载荷下严格给出 A_r/A_0 ∝ P/A_0 的线性比例关系，但计算更复杂。工程上常根据需要：注重简便选 GW，注重精度与多尺度性选 Persson。
实际应用
轴承与齿轮的摩擦学设计：球轴承和滑动轴承在油膜变薄的边界润滑区，会出现微凸体之间的直接接触。用 GW 模型估算真实接触面积与接触压力，可推算摩擦、磨损与抗胶合的极限载荷。结合 EHL（弹流润滑）分析，通过油膜厚度与粗糙度的比值（Λ 比）判定接触状态，是汽车与航空动力部件常用的设计手法。
电接触与连接器设计：继电器与连接器的电接触中，真实接触个数及其面积直接决定接触电阻。根据 GW 模型按 R_c ∝ 1/√(n × A_c) 形式预测接触电阻，从而设计所需的接触载荷与触点材料硬度。智能手机的 USB-C 连接器、计算机的 CPU 插槽等，微观接触可靠性直接关系到设备寿命，GW 模型在此扮演关键角色。
密封与垫片的泄漏分析：金属垫片或 O 形圈的泄漏，取决于真实接触面积比与间隙的连通性。用 GW 模型估算微凸体之间残留的「泄漏通道」几何，再与雷诺方程结合预测泄漏流量。在半导体制造装备和氢相关设备的超高气密密封设计中是重要方法。
热接触阻抗与散热设计：CPU 与散热片界面等固体间的热传导只能通过真实接触点进行。用 GW 模型求出真实接触面积，进而估算 TCC（Thermal Contact Conductance）。导热硅脂的作用是填补间隙、增大有效接触面积。这是数据中心服务器冷却设计中必不可少的评估。
常见误解与注意事项
最常见的误解是把表观接触面积与真实接触面积混为一谈。例如把 100 cm² 的金属块放在另一金属面上，看起来整个100 cm² 都在接触，但用 GW 模型估算，真实接触面积只占几个百分比到几十个百分比。摩擦力、接触电阻和热传导都与真实接触面积成比例，若用表观面积去除，就会低估数个数量级。试一下滑块默认值 d=1 μm，会直观体会到 A_r/A_0 ≈ 2.6% 的小数值。
其次常见的是认为「把表面打磨得更光」一定增加接触面积的想法。减小 σ 后，微凸体高度的离散变小，同样 d 下接触个数确实增加，但每个真实接触的面积也会随之变小。再者，过度抛光后会引起吸附与冷焊（cold welding），摩擦系数反而急剧上升（镜面之间互相粘附）。把模拟器的 σ 降到 0.1 μm，可以看到 F_0 接近零的范围会改变，从而体会到这种取舍。
最后要注意，不要把GW 模型当成「对所有粗糙接触都通用的万能公式」。GW 模型忽略了微凸体之间的相互作用，假定顶点曲率半径为常数、高度服从高斯分布，是「最简的统计模型」。实际表面具有多尺度（分形）结构，观测尺度变化时 σ 与 β 都会改变。在塑性占主导的高载荷区域、各向异性的加工表面、有润滑油介入的边界润滑等情形，应把 GW 作为出发点，再用 Persson 理论、GW-CEB、EHL 分析等补正——这种设计姿态非常重要。