参数设置
默认值为软橡胶（E*≈10MPa）·典型表面能。F<0时可观察拉张荷重下的粘着保持。
实时计算结果（动画中持续更新）
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拉离力 F_pull-off = -3πRγ/2
接近→压入→拉离 脱粘动画
接近中…
左=球的接近、压入与拉离（红=JKR接触半径与粘着颈，蓝虚线=Hertz接触=忽略粘着）／右=接触半径 vs 荷重，F_po处竖虚线，黄圆=当前点。拉张达到 F_po 时接触骤然脱粘。
理论·主要公式
JKR理论考虑软弹性体球接触中表面能γ导致的粘着。相比Hertz，接触半径扩大，拉张荷重下仍可保持接触。
Hertz接触半径（忽略粘着的经典解）：
$$a_H^3 = \frac{3FR}{4E^*}$$
JKR接触半径（考虑粘着）：
$$a_J^3 = \frac{3R}{4E^*}\!\left[F + 3\pi R\gamma + \sqrt{6\pi R\gamma F + (3\pi R\gamma)^2}\right]$$
拉离力（pull-off，接触破裂的极限拉张荷重）：
$$F_\text{po} = -\frac{3}{2}\pi R\gamma$$
拉离时的接触半径：
$$a_\text{po} = \left(\frac{9\pi R^2 \gamma}{8 E^*}\right)^{1/3}$$
单位：γ [N/m] = [J/m²]。材料越软（E*小）、γ越大、R越大，粘着效果越明显。
JKR粘着接触模拟器是什么
🙋
壁虎真的能在光滑的墙上行走？没有吸盘也没有粘着剂，怎么能粘住呢？
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壁虎脚趾就是JKR粘着接触的典范。简单说，壁虎指尖有数百万根细毛（刚毛），每根毛靠分子级引力与墙面粘着。Hertz接触只考虑压缩，不计粘着；但软的、小的物体，表面能γ起决定作用，即使不压也会自动粘住。你试试把上面模拟器的γ改到200，会看到"JKR接触半径"大幅扩大。
🙋
也就是说，甚至"拉住"也能保持粘着？荷重F设成负数就是这个意思吗？
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完全正确。有粘着时，即使被拉住也不会马上脱落。拉断需要的最小拉力叫"pull-off力"，由公式 $F_\text{po}=-3\pi R\gamma/2$ 确定。你试着把F改成-300或-400微牛；"JKR接触半径"仍然存在。低于F_po就会物理上剥离，计算结果变成"—"。
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这就有趣了。JKR模型用于"软的大球"。E*太大（金属、陶瓷）的话，粘着力太弱，弹性能量压过去，结果还是和Hertz一样。判别用Tabor参数μ_T，简单记：橡胶、凝胶、PDMS用JKR，钢铁、蓝宝石用Hertz。本工具把E*限在0.1～1000MPa，就是这个原因。
🙋
右边的图，蓝色曲线和红色曲线，在F很大的地方好像会重合？这是粘着消失了吗？
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观察很敏锐。当F远大于πRγ时，JKR公式里粘着项相对变小，忽略不计，就和Hertz重合了。反过来F很小、是负数的时候，粘着占绝对地位，两条线距离最大。工程实务中，"弱荷重、小R、软材料"必用JKR；其他用Hertz就行。
常见问题
JKR用于软大球（软橡胶、凝胶等），假设粘着力集中在接触区域内；DMT（Derjaguin-Muller-Toporov）用于硬小球（刚性大、半径小），考虑接触区域外的表面力。两者是相对模型，通过Tabor参数μ_T=(R·γ²/(E*²·z₀³))^(1/3)判别，μ_T>5时用JKR，μ_T<0.1时用DMT，中间用Maugis-Dugdale过渡。本工具假设JKR领域。
原子力显微镜（AFM）力曲线测量可从拉离力F_po反演表面能，但探针半径仅10～100纳米，Tabor参数很小，通常DMT更合适。然而对软物质（PDMS、生物组织、水凝胶）样品，μ_T较大，JKR才恰当。本工具设R=0.01mm的极小半径可接近AFM条件。
是的，生物粘着机制是JKR的典型例子。壁虎足趾有数百万根细毛（刚毛），各毛靠范德华力（γ≈30～50mJ/m²）与墙粘着。按JKR式F_po=3πRγ/2，单根毛力微弱，但总数众多可支撑体重。本工具设R=1微米（即0.001mm）、γ=40可估算单根毛的拉离力。
通常不行。E*过大（>1GPa）时粘着影响极小，Hertz已足够。本工具E*范围0.1～1000MPa，针对软材料（橡胶、凝胶、PDMS≈数MPa）。金属接触用hertz-contact.html，结构胶粘性用adhesive-joint.html。粘着占主导的目安约R·γ/(E*·a²)≧0.01。
现实应用
生物粘着（壁虎、苍蝇、青蛙）：壁虎足的刚毛或昆虫的垫足通过JKR式粘着在墙上行走。单根力微小，但数百万根总力足以支撑体重，是"自清洁粘着"的典范。仿生粘着胶带（gecko tape）设计直接用JKR公式。
软机器人·微型夹爪：PDMS柔软夹爪用于微芯片、MEMS器件的操作，通过粘着力控制实现pick-and-place。用JKR式估算所需接触半径、拉张力，通过表面处理（改γ）和接触端半径设计（改R）优化。
轮胎与路面粘着（低速区）：轮胎橡胶与路面的微观接触，低荷重时JKR式粘着贡献摩擦力一部分。高荷重、高速时塑性变形和滞后主导，JKR成分变小，但湿地路面小凹凸区仍有粘着寄与。
AFM·纳米压痕：原子力显微镜从力曲线反演材料表面能E和杨氏模量时，JKR/DMT/Maugis-Dugdale选择至关重要。用Tabor参数判别，软物质用JKR拟合是标准做法。
常见误解和注意
最常见的误解是"粘着=强大的接着剂那样的力"。JKR处理的是分子级表面力（范德华、氢键），典型值γ=20～200mJ/m²，即"毫牛/米"量级，比环氧树脂结构胶（剥离强度数MPa以上）小3个数量级以上。本工具讲的粘着"改变形状"的效应，强力胶设计需要破坏力学和粘弹性模型。
次常见误解是拉离力F_pull-off依赖弹性系数E*。看JKR式 $F_\text{po}=-3\pi R\gamma/2$，根本不含E。这意味着"更硬或更软，同半径同表面能，拉离力一样"。软材料只是接触半径扩大，拉离力本身不变。这是JKR的奇妙特性。试在模拟器里E*从10改到100再到1000，F_po不变，只有a_J在变。
最后，别把本工具用在"硬接触"上。E*太大（数GPa以上）时，Tabor参数小，DMT或Hertz才合适。本工具E*=1000MPa（1GPa）时，a_J/a_H比已接近1，粘着效果消失。这不是"JKR破了"，而是"粘着在物理上不起作用了"。软橡胶、凝胶、PDMS、生物组织、水凝胶（E*约0.1～100MPa）才是正确用途。