参数设置
默认值面向软橡胶（E*≈10 MPa）和典型表面能。设F<0可观察拉伸载荷下的粘附保持。
计算结果
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脱离力 F_pull-off = -3πRγ/2
接触示意图 + 接触半径-载荷曲线
左=球与平面的粘附接触（红线=JKR接触半径）；右=Hertz（蓝）与JKR（红）对比，F_po为虚线，黄点=当前工况。
理论与主要公式
JKR理论在Hertz接触基础上引入表面能γ，使接触面比Hertz更宽，且拉伸载荷下仍能保持接触。
Hertz接触半径（忽略粘附的经典解）：
$$a_H^3 = \frac{3FR}{4E^*}$$
JKR接触半径（考虑粘附）：
$$a_J^3 = \frac{3R}{4E^*}\!\left[F + 3\pi R\gamma + \sqrt{6\pi R\gamma F + (3\pi R\gamma)^2}\right]$$
脱离力（拉伸到此值接触断开）：
$$F_\text{po} = -\frac{3}{2}\pi R\gamma$$
脱离时的接触半径：
$$a_\text{po} = \left(\frac{9\pi R^2 \gamma}{8 E^*}\right)^{1/3}$$
单位：γ [N/m] = [J/m²]。E*越小（材料越软）、γ越大、R越大，粘附效应越显著。
JKR粘附接触模拟器是什么
🙋
壁虎真的能在光滑墙面上爬，既没有吸盘也没有胶水。它到底靠什么粘上去的？
🎓
这正是JKR粘附接触的范例。简单说，壁虎脚趾上有数百万根超细的刚毛（setae），每根靠分子级的引力粘在壁面上。Hertz接触假设无粘附、只看压缩，但对于柔软且尺寸小的物体，表面能γ变得重要，不用按压也能自发粘附。你在上面把γ调到200看看，"JKR接触半径"会明显变大。
🙋
咦，那么载荷F还能设负值？意思是被拉着还能粘住？
🎓
没错。有粘附的时候，拉伸下接触不会马上断开。把球拽下来所需的最小拉力，就是"脱离力" $F_\text{po}=-3\pi R\gamma/2$。在模拟器里试试F=-300或-400 μN，"JKR接触半径"还在；继续往下到F_po以下就物理脱离，数值显示为"—"。
🎓
关键问题。JKR适用于"软而大"的球。当E*很大（金属、陶瓷）时，少量粘附力扛不过弹性能，结果就退化回Hertz。判别用Tabor参数μ_T，但记一个口诀也够用："橡胶、凝胶、PDMS用JKR；钢、蓝宝石用Hertz"。本工具把E*上限限制在1000 MPa，就是这个原因。
🙋
右图上蓝（Hertz）和红（JKR）曲线在F大时好像会重合？是粘附被淹没了吗？
🎓
观察得好。当F远大于πRγ时，JKR公式里的粘附项相对可忽略，结果与Hertz几乎一致。F较小或为负时差异最大，正是粘附主导的区间。工程经验：弱载荷、小R、软材料三者凑齐时，JKR不可省略。
常见问题
JKR适用于柔软、半径较大的球（如橡胶、凝胶），粘附力集中在接触区域内；DMT（Derjaguin-Muller-Toporov）适用于刚性高、半径小的球，并考虑接触区外的表面力。两者通过Tabor参数判别：μ_T=(R·γ²/(E*²·z₀³))^(1/3)，μ_T>5偏向JKR，μ_T<0.1偏向DMT，中间区间由Maugis-Dugdale桥接。本工具假设JKR适用域。
原子力显微镜（AFM）的力曲线可由脱离力F_po反推表面能。但典型探针半径10-100 nm导致Tabor参数较小，多数情况DMT模型更合适。软物质样品（PDMS、生物组织、水凝胶）μ_T较大，JKR适用。本工具设置R=0.01 mm即接近AFM条件。硬质样品请使用hertz-contact.html。
可以。生物粘附是JKR的典型应用。壁虎脚趾上有数百万根刚毛（setae），每根通过范德华力（γ≈30-50 mJ/m²）粘附壁面。由JKR公式F_po=3πRγ/2，单根力虽小，但巨量接触可承载体重。本工具中设置R≈1 μm（即0.001 mm）、γ=40，可估算单接触脱离力。结构胶的粘弹性行为请参见adhesive-joint.html。
通常不适用。当E*>1 GPa时粘附影响极小，Hertz接触足以描述。本工具E*范围限制在0.1-1000 MPa，针对软材料（橡胶、凝胶、PDMS约几MPa）。金属球接触请用hertz-contact.html，结构胶粘弹性请用adhesive-joint.html。粘附主导的近似判据为R·γ/(E*·a²)≥0.01。
实际应用
生物粘附（壁虎、苍蝇、青蛙）：壁虎脚刚毛、昆虫足垫属于JKR粘附的经典案例。单接触力极小，但靠百万级数量累积支撑全身。仿生粘附胶带（gecko tape）设计就直接基于JKR公式。
软体机器人与微夹具：PDMS材质的软夹具搬运MEMS零件或微芯片时，通过控制粘附力实现拾取与释放。JKR公式可预测所需接触半径和拉力，再优化γ（表面处理）和R（夹具端半径）。
轮胎与路面的低速粘附：橡胶轮胎与沥青在低载荷时具有JKR型粘附成分。高速高载时塑性变形与滞回支配，但在湿润或光滑路面上粘附贡献不可忽略。
AFM与纳米压痕：从力曲线反推γ或E时，需在JKR/DMT/Maugis-Dugdale模型中选择。软物质用JKR拟合，硬质小探针属DMT区间。
常见误区与注意点
最常见的误解是将JKR粘附等同于工业胶水。JKR处理的是分子级表面力（范德华、氢键），γ典型值在20-200 mJ/m²。环氧结构胶的剥离强度达到MPa量级，差三个数量级以上。本工具预测的是粘附如何改变接触形状，而不是胶水的粘接强度——后者需要断裂力学或粘弹性模型。
第二个误区是认为脱离力 F_pull-off 依赖于E*（弹性模量）。实际上 $F_\text{po}=-3\pi R\gamma/2$ 公式里完全没有E。同样的R和γ下，无论材料更硬还是更软，剥离力都一样。软材料只是接触面变宽，剥离力本身不变。在模拟器里把E*从10扫到1000 MPa试试，F_po不动，只有a_J在变。
第三，不要将本工具应用于硬接触。E*达几个GPa时Tabor参数变小，应采用DMT或Hertz。本工具设E*=1000 MPa时a_J/a_H比接近1，说明粘附在物理上已消失，并非公式失效。JKR真正发挥作用的场景是橡胶、凝胶、PDMS、生物组织、水凝胶等E*≈0.1-100 MPa的软物质。