参数设置
移动的点表示电流，其速度与密度与电流大小成正比。混联默认值下全电流 54.5 mA，I_2 = 32.7 mA，I_3 = 21.8 mA，V_par = 6.55 V。
电路动画（电流流动）
I_total / I_1
I_2
I_3
节点电压（颜色=高低）
移动的点表示电流，点越快越密表示电流越大。电流在节点分流与汇合（KCL），回路中各电压降之和等于 EMF（KVL）。
电流 / 电压分布（KCL / KVL）
串联=电压降（KVL：ΣΔV=V）；并联与混联=分支电流（KCL：分支之和=I_total）。黄色虚线为总和基准。
理论与主要公式
电压源 V 与 R_1 直联，其后 R_2 和 R_3 并联的电路。首先计算并联部的等效电阻：
$$R_{par} = \frac{R_2\,R_3}{R_2 + R_3}$$
由基尔霍夫电压法则（KVL）和全电阻得出全电流：
$$R_{total} = R_1 + R_{par},\qquad I_{total} = \frac{V}{R_{total}}$$
并联部两端电压及各支路电流：
$$V_{par} = V - I_{total}\,R_1,\qquad I_2 = \frac{V_{par}}{R_2},\quad I_3 = \frac{V_{par}}{R_3}$$
基尔霍夫电流法则（KCL）验证：
$$I_{total} = I_2 + I_3$$
电流与电阻成反比分配，因此当 R_2 < R_3 时 I_2 > I_3。串联预设（R = 10Ω×3, V = 12）下 R_total = 30Ω, I = 0.4 A，每段降压 4 V（KVL：4+4+4 = 12）。并联预设（10Ω×3）下 R_total = 3.33Ω, I_total = 3.6 A，每支 1.2 A（KCL：1.2×3 = 3.6）。
基尔霍夫定律模拟器说明
🙋
电池接一个电阻时可以用欧姆定律V=IR算电流，但如果电阻有直联的又有并联的，怎么解这种电路呢？
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那就需要基尔霍夫定律了。这个法则有两条：KVL（电压法则）说"绕一个闭回路一周，电压总和为零"；KCL（电流法则）说"某个节点流入的电流等于流出的电流"。对于直并联电路，我们先把并联部分合成一个等效电阻，这样整个电路就变成了简单的直联，用V=IR就能求出全电流。再拿并联部的电压分别除以两个电阻，就得到各支路的电流。
🙋
默认值V=12V, R_1=100Ω, R_2=200Ω, R_3=300Ω时，全电流显示54.5 mA。这是怎样算出来的？
🎓
我给你算一遍。并联部的等效电阻R_par = R_2·R_3/(R_2+R_3) = 200·300/500 = 120Ω。加上直联的R_1，全电阻R_total = 220Ω。根据KVL，全电流I_total = V/R_total = 12/220 ≈ 0.0545 A = 54.5 mA。这和模拟器上面的数值完全一致。然后R_1上的电压降是I_total·R_1 = 5.45V，所以并联部的电压V_par = 12 − 5.45 = 6.55V。这个电压分别除以R_2和R_3，就得到两个分支电流。
🙋
那I_2和I_3哪个更大呢？从电路图看起来差不多啊。
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并联支路的电流分配规律是：电压相同，电流与电阻成反比。V_par = 6.55V同时加在R_2 = 200Ω和R_3 = 300Ω上，所以I_2 = 6.55/200 ≈ 32.7 mA，I_3 = 6.55/300 ≈ 21.8 mA。电流比是3:2。换句话说，"电阻小的地方电流多"。看条形图，I_2和I_3加起来正好等于I_total的54.5 mA，这就是KCL的证明。你试试拖动R_3的滑块，把它调小，电流会怎么样？
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好问题。R_3 = 1Ω时，R_par ≈ 1Ω，R_total ≈ 101Ω，I_total ≈ 12/101 ≈ 119 mA，大幅增加。V_par会降到约0.12V。这样I_2 = 0.12/200 ≈ 0.6 mA，I_3 = 0.12/1 = 120 mA。几乎所有电流都走R_3那条路了，这就是"低电阻分流"现象。点击"R_3扫描"按钮，可以看到电流随着R_3变化怎样从集中到分散再回到集中，非常有意思。这个原理在芯片保护、保险丝设计等场景里用处很大。
物理模型与主要公式
基尔霍夫定律是由抵抗、电压源和电流源组成的任意线性电路的两个基本约束条件。电压法则（KVL）和电流法则（KCL）组成了求解复杂电路的理论基础。本模拟器采用电压源V与直联电阻R_1，然后是并联电阻R_2和R_3的拓扑结构。
并联部的等效电阻为 $R_{par}=R_2 R_3/(R_2+R_3)$，全电阻为 $R_{total}=R_1+R_{par}$。对闭回路应用KVL得到 $V = I_{total} R_1 + V_{par}$，从而 $I_{total}=V/R_{total}$，并联部电压 $V_{par}=V-I_{total} R_1$。各支路电流为 $I_2=V_{par}/R_2$、$I_3=V_{par}/R_3$，节点处KCL自动满足 $I_{total}=I_2+I_3$。
默认值 $V=12$ V, $R_1=100$ Ω, $R_2=200$ Ω, $R_3=300$ Ω 时，$R_{par}=120$ Ω, $R_{total}=220$ Ω, $I_{total}=12/220\approx 54.5$ mA, $V_{par}=6.55$ V, $I_2\approx 32.7$ mA, $I_3\approx 21.8$ mA，$I_2+I_3=54.5$ mA $=I_{total}$ 成立。四个滑块实时更新所有这些数值。
实际应用
分流器（分流电阻）：用于扩展电流表量程的经典并联电路。将低值分流电阻与原电流表内阻并联，大部分电流通过分流器，原电流表电流缩小为 $I_m=I\cdot R_s/(R_s+R_m)$。这在模拟万用表、钳形表和汽车电池监测中广泛应用。
LED并联驱动问题：多个LED并联接在同一电源时，由于正向压降 $V_f$ 的个体差异，低 $V_f$ 的LED会吸收更多电流而烧毁。常见的解决方案是每个LED串一个小电阻，用电阻的压降来补偿 $V_f$ 的波动。这是KVL/KCL设计思想的典型应用。
电源线路配电与并联负载：在住宅配电、数据中心直流供电等系统中，多个负载并联从电源吸取电流。配线本身的电阻会造成电压降，长距离供电时必须选用足够粗的铜线来满足KVL的要求。
惠斯通电桥：四个电阻组成的电桥，在电桥平衡（R_1/R_2=R_3/R_4）时，中间没有电流。利用这一性质可以高精度测量未知电阻，还广泛用于应变片、温度传感器的差分检测。
常见误区与注意事项
误区一：并联电流等分。很多初学者以为并联分支的电流均匀分配，但实际上只有电压相同，电流需要按电阻的倒数比例分配。R_2=200, R_3=300时，电流比是3:2而非1:1。模拟器的条形图可以直观验证这一点。
误区二：并联电阻是"和"。直联电阻满足 $R_{\text{total}} = R_1 + R_2 + ...$，但并联时是逆数的和：$1/R_{par}=1/R_2+1/R_3$。结果R_par永远小于任何单个电阻。这是电路设计检查的关键。
误区三：忽视配线电阻。在实际电路中，导线、接触器、连接器都有电阻，不能在KVL列式时忽略。特别是在EV电池供电、数据中心远程直流供电等场景，配线压降会导致末端电压不足，必须在设计时考虑。
常见问答
取决于电路的结构。对于直并联电路，先用KVL求全电流，然后用KCL分解成分支电流。对于多环路复杂电路，可以用网孔分析（KVL联立）或节点分析（KCL联立）同时求解所有变量。本模拟器采用先KVL后KCL的顺序。
并联时各分支两端电压相同。若V_par为并联部电压，则 $I_k=V_{par}/R_k$，全电流 $I=V_{par}\sum(1/R_k)$。用等效电阻 $R_{par}$ 替代，则 $I=V_{par}/R_{par}$，所以 $1/R_{par}=\sum(1/R_k)$。两个电阻特例化为 $R_{par}=R_2 R_3/(R_2+R_3)$，即"积除和"。
完全满足。只不过需要用复数形式的阻抗Z，电压和电流用相量表示。KVL和KCL的形式完全相同，只是方程是复数的。包括RC、RL、RLC回路，共振电路，滤波器设计都用这套框架。本模拟器仅限纯电阻的直流情况。
KVL/KCL本身（电荷守恒和能量守恒）对任何元件都成立。但非线性元件的V-I特性曲线不是直线，用 $V=f(I)$ 表示，代入KVL/KCL后得到非线性方程，需要用Newton-Raphson等数值法求解。这正是SPICE仿真器的核心工作。本模拟器只有线性电阻，能求出解析解。