参数设置
默认值下 I_total = 54.5 mA、I_2 = 32.7 mA、I_3 = 21.8 mA、V_par = 6.55 V。扫描将 R_3 从 1 Ω 平滑移动到 1000 Ω。
串并联电路图
电源 V → R_1（串联）→ 节点 a → R_2 与 R_3（并联）→ GND。箭头表示电流方向，标签标注各处电压降。
KCL 柱状图：I_total = I_2 + I_3
蓝色 = 总电流 I_total / 绿色 = 分支电流 I_2 / 橙色 = 分支电流 I_3。I_total 的高度与 I_2 + I_3 吻合，直观验证 KCL。
理论与主要公式
电源 V 经过 R_1 串联后接并联组合 R_2 与 R_3。并联段的等效电阻：
$$R_{par} = \frac{R_2\,R_3}{R_2 + R_3}$$
总电阻与总电流（KVL）：
$$R_{total} = R_1 + R_{par},\qquad I_{total} = \frac{V}{R_{total}}$$
并联段电压与各支路电流：
$$V_{par} = V - I_{total}\,R_1,\qquad I_2 = \frac{V_{par}}{R_2},\quad I_3 = \frac{V_{par}}{R_3}$$
基尔霍夫电流定律 (KCL) 验证：
$$I_{total} = I_2 + I_3$$
支路电流与电阻成反比，故当 R_2 < R_3 时 I_2 > I_3。
什么是基尔霍夫定律模拟器
🙋
单个电阻接在电池两端用欧姆定律 V = IR 就能算出电流，那串联和并联混合的电路要怎么解？
🎓
这正是基尔霍夫定律的用武之地。规则只有两条：KVL 说「沿任一闭合回路一周，各元件电压代数和为零」，KCL 说「流入任一节点的电流之和等于流出的电流之和」。串并联电路的窍门是先把并联部分合成为一个等效电阻，整张电路就退化为简单的串联回路，用 V = IR 算出总电流，再回到并联段把电流分配给各支路。
🙋
默认值 V = 12 V、R_1 = 100、R_2 = 200、R_3 = 300，模拟器显示 I_total 是 54.5 mA。能一步步带我走一遍这个计算吗？
🎓
没问题。并联段 R_par = R_2·R_3/(R_2+R_3) = 200·300/500 = 120 Ω。加上串联 R_1 后总电阻 R_total = 220 Ω，所以 I_total = 12/220 ≈ 0.0545 A = 54.5 mA，正好对应顶端蓝色的 stat。R_1 上的电压降是 I_total·R_1 = 5.45 V，故并联段电压 V_par = 12 − 5.45 = 6.55 V。由 V_par 即可把电流分配给 R_2 与 R_3。
🙋
那 I_2 与 I_3 哪一条支路电流更大？示意图上看起来差不多。
🎓
两条支路两端电压都是 V_par，所以支路电流与电阻成反比：电阻小的支路承担更多电流。V_par = 6.55 V，则 I_2 = 6.55/200 ≈ 32.7 mA，I_3 = 6.55/300 ≈ 21.8 mA，比例为 3:2。柱状图上 I_2 + I_3 = 54.5 mA 与 I_total 一致，这就是 KCL 的可视化。把 R_3 拖小，你能看到 R_3 支路的电流越来越大。
🙋
如果把 R_3 一路拉到 1 Ω 会怎样？感觉差不多就是短路了。
🎓
这是个好实验。R_3 = 1 Ω 时 R_par 降到约 1 Ω，总电阻约 101 Ω，I_total 升到约 119 mA。V_par 跌到约 0.12 V，于是 I_2 = 0.12/200 ≈ 0.6 mA，I_3 = 0.12/1 = 120 mA。几乎所有电流都从 R_3 流过，这就是「电流向低阻路径集中」的现象，分流电阻设计和保险丝选型都基于此。点 R_3 扫描按钮可以连续看到整个过程。
物理模型与主要方程
基尔霍夫定律提供两条守恒约束 —— 回路电压 (KVL) 与节点电流 (KCL) —— 用以闭合任意由电阻、独立电压源与独立电流源构成的线性网络。本模拟器处理最简单的非平凡情形：一条回路、一处节点；电源 $V$ 经过串联电阻 $R_1$ 后接并联组合 $R_2$ // $R_3$。
并联段的等效电阻为 $R_{par}=R_2 R_3/(R_2+R_3)$，总电阻为 $R_{total}=R_1+R_{par}$。沿回路应用 KVL 得到 $V = I_{total} R_1 + V_{par}$，从而 $I_{total}=V/R_{total}$，并联段电压 $V_{par}=V-I_{total} R_1$。各支路电流由欧姆定律给出 $I_2=V_{par}/R_2$ 和 $I_3=V_{par}/R_3$，节点 a 处的 KCL 等式 $I_{total}=I_2+I_3$ 自动满足。
取默认值 $V=12$ V、$R_1=100$ Ω、$R_2=200$ Ω、$R_3=300$ Ω 时，可得 $R_{par}=120$ Ω、$R_{total}=220$ Ω、$I_{total}=12/220\approx 54.5$ mA、$V_{par}=6.55$ V、$I_2\approx 32.7$ mA、$I_3\approx 21.8$ mA，并且 $I_2+I_3=54.5$ mA $=I_{total}$ 严格成立。拖动四条滑杆任一项，这些量都会实时刷新。
实际应用
电流计分流电阻：扩大电流计量程的经典方法是把一只小阻值的分流电阻 $R_s$ 与表头内阻 $R_m$ 并联。大部分电流走 $R_s$，进入表头的电流只有 $I_m=I\cdot R_s/(R_s+R_m)$。功率表、钳形表、汽车电池监控仪等至今仍采用这种结构。
LED 并联驱动失衡：把两只以上 LED 直接并联是教科书级错误。因正向电压 $V_f$ 存在微小差异，最低 $V_f$ 的 LED 将吸引大部分电流并烧毁。补救方法是为每只 LED 串入一只小阻值的镇流电阻，用电压降吸收 $V_f$ 偏差，这正是 KVL 与 KCL 的直接应用。
供电与并联负载分配：住宅交流配电盘、数据中心 DC 母线给多个并联负载供电，每个负载按 KCL 分得相应电流。在长距离电缆使导线电阻 $R_w$ 不可忽略时——例如 EV 充电线缆、传感器供电、母线——必须选择足够粗的导体并用 KVL 校核末端电压是否达标。
惠斯通电桥：四只电阻加一只中间检流计构成的电桥，是基尔霍夫定律最优雅的应用。平衡条件 $R_1/R_2=R_3/R_4$ 下检流计电流为零，可用于未知电阻的高精度测量，以及应变片、温度传感器等差动信号的提取。
常见误解与注意事项
最常见的错误是认为「并联支路平均分配电流」。共享的是电压而非电流，支路电流与电阻成反比，仅当各分支电阻相等时才会均分。默认值 R_2 = 200、R_3 = 300 时比例为 3:2，R_2 支路获得更多电流，模拟器中的柱状图能让这一点一目了然。
另一个经典错误是把并联电阻当成串联那样直接相加。串联电阻相加，并联电阻则需取倒数之和：$1/R_{par}=1/R_2+1/R_3$，结果必定小于最小的支路电阻。R_2 = 200、R_3 = 300 得 R_par = 120 Ω 即可作为快速核对，避免设计错误。
最后，写 KVL 时忽略导线电阻会带来现实意外。引线、连接器、PCB 走线都有不可忽略的电阻，「电源端 12 V」并不等于「负载端 12 V」。EV 电池布线、长距离传感器供电、DC 配电板都必须把导线电阻作为串联元件纳入 KVL/KCL 模型，否则末端电压无法预测。
常见问题
取决于电路拓扑。对于干净的串并联电路，先用 KVL 求总电流再回到并联段用 KCL 分配电流是最直接的做法。对于含多回路的复杂网络，一般使用网孔分析 (KVL 联立) 或节点分析 (KCL 联立) 一次性解出所有未知量。本模拟器属于前一种情形，KVL → KCL 即可。
并联支路两端电压相同，都是 $V_{par}$。每条支路电流 $I_k=V_{par}/R_k$，总电流 $I=V_{par}\sum 1/R_k$。把整段并联段替换为等效电阻 $R_{par}$ 后有 $I=V_{par}/R_{par}$，故 $1/R_{par}=\sum 1/R_k$。两支路情形可改写为紧凑的「积比和」公式 $R_{par}=R_2 R_3/(R_2+R_3)$，三支路以上需要使用一般的倒数之和。
成立。只需把电阻换为依频率的复阻抗 $Z=R+jX$，电压电流以相量 (复数) 表示。回路 $\sum V_k=0$ 与节点 $\sum I_k=0$ 仍然成立，可用于 RLC 电路、谐振电路、滤波器等设计。本模拟器只使用电阻并工作在直流，因此不出现相位。
KVL 与 KCL 本身适用于任何元件，无论线性还是非线性，因为它们表达的是电荷与能量守恒。变化的是元件关系 $V=f(I)$ 不再是直线，回路方程和节点方程变为非线性，通常需要 Newton-Raphson 等迭代解法 —— 这就是 SPICE 类仿真器的内核。本模拟器仅含线性电阻，故可使用闭式解。