参数设置
默认值为 β = 0.500（光速的一半）、t_0 = 10.0 s、L_0 = 10.0 m、E_rest = 938.5 MeV（质子的静止能量）。电子 0.511 MeV、μ 子 105.7 MeV、质子 938.3 MeV。
火箭的长度收缩和时钟偏差
蓝色火箭＝β 越大横向收缩越多（L = L_0/γ）/ 上方刻度＝当前 γ 值 / 左时钟＝地面系（时间膨胀 t）/ 右时钟＝船内系（固有时间 t_0）。把 β 推到 0.99 时会看到火箭大幅压扁，地面时钟比船内时钟走得快。
γ(β) 曲线
横轴＝速度比 β = v/c [0, 0.999] / 纵轴＝洛伦兹因子 γ [1, 25] / 蓝曲线＝γ = 1/√(1−β²) / 黄色标记＝当前 β。能看到 β → 1 时 γ 垂直发散的样子（接近光速时能量趋于无穷）。
理论与主要公式
洛伦兹变换由光速不变原理（在任何惯性系中光速 c 都相同）导出，是狭义相对性理论的核心。所有效应都可用洛伦兹因子 γ 来描述。
洛伦兹因子：
$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}},\qquad \beta = \frac{v}{c}$$
时间膨胀（固有时间 $t_0$ 对应的地面时间 $t$）和长度收缩（固有长 $L_0$ 对应的观察长 $L$）：
$$t = \gamma \cdot t_0,\qquad L = \frac{L_0}{\gamma}$$
相对论性运动动能（$E_{\rm rest} = mc^2$ 为静止能量）：
$$KE = (\gamma - 1)\,m c^2 = (\gamma - 1)\,E_{\rm rest}$$
其中 $\beta$ 是速度比，$c \approx 2.998\times10^8$ m/s 为真空中的光速。当 $\beta \to 1$（接近光速）时 $\gamma \to \infty$，所需能量也趋于无穷大，因此具有质量的物体不能达到光速。在低速 $\beta \ll 1$ 时，$\gamma \approx 1 + \beta^2/2$，相对论结果与经典力学 $KE \approx (1/2)mv^2$ 一致。
洛伦兹变换模拟器是什么
🙋
我听说光速附近时间会变慢，但实际慢了多少呢？在日常生活里我们根本感受不到啊。
🎓
这是个很好的问题。关键在于洛伦兹因子 γ = 1/√(1−β²)，其中 β = v/c 是速度比。在日常生活中 β ≈ 10⁻⁶ 以下，所以 γ 几乎等于 1，感受不到。但用本工具的默认值 β = 0.500（光速的一半！），γ = 1.1547，船内 10 秒在地面看来是 11.547 秒。当 β = 0.99 时，γ ≈ 7.09，地面的 7 秒在船内只过了 1 秒。接近光速时时间几乎"停止"了。
🙋
火箭也会从侧面收缩吗？但坐在火箭里的人不会感觉到收缩啊？
🎓
这正是相对论的妙处。长度收缩 L = L_0/γ 是指"地面观察者看到"的火箭长度。坐在火箭里的人仍然看到普通的 10 米长火箭。反过来，从火箭上看地球和星星都在 β 方向上缩短了。本工具默认值下，10 米的火箭在地面上看是 8.660 米。当 β = 0.99 时，10 米 → 1.41 米，戏剧性地压扁了。这就是特殊相对论的"对称性"——哪方才是"真实的"取决于你处在哪个惯性系。
🙋
运动动能 (γ−1)·mc² 和古典力学的 (1/2)mv² 有什么不同？
🎓
低速时两者一致，但高速时会发散。泰勒展开得 γ ≈ 1 + β²/2 + (3/8)β⁴ + ...，当 β ≪ 1 时 (γ−1)mc² ≈ (1/2)mv² 就是古典公式。本工具默认 β = 0.5、E_rest = 938.5 MeV（质子）时 KE = 145.2 MeV，但用古典式算出来是 117.3 MeV，足足少了 24%。接近光速时 γ → ∞，需要无穷大的能量，这就是"物质不能超过光速"的根本原因。LHC 把质子加到 γ ≈ 7500，KE ≈ 7 TeV。
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右下角的 γ(β) 曲线在 β → 1 时几乎垂直上升，这是什么意思？
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这就是"光速的障碍"的可视化。γ = 1/√(1−β²) 从 β=0.9 的 2.29 跳到 β=0.99 的 7.09，再跳到 β=0.999 的 22.4，β 稍稍增加 γ 就指数暴涨。本工具把滑块从 0.9 挪到 0.99，γ 就增加了 3 倍多，所需能量也翻倍。实际实验中 LHC 把质子加到 99.9999991% c 也到不了光速（量子扰动除外是不可能的）。曲线的发散正是特殊相对论"光速 c 是宇宙绝对上限"这一宣言的数学体现。
常见问题
洛伦兹因子 γ 定义为 γ = 1/√(1−β²)（β = v/c），是狭义相对性理论中的无量纲量，统一描述时间膨胀、长度收缩和相对论性能量。当 β = 0 时 γ = 1；β = 0.5 时 γ ≈ 1.155；β = 0.9 时 γ ≈ 2.294；β = 0.99 时 γ ≈ 7.089；β → 1 时 γ → ∞ 发散。本工具的默认值 β = 0.500 给出 γ = 1.1547。具有质量的物体达到光速需要无穷大的能量，这正是 γ 发散的含义。
时间膨胀 t = γ·t_0 与长度收缩 L = L_0/γ 是由同一洛伦兹因子 γ 联系的表里现象。固有时间 t_0（与运动体一起的时钟的时间）乘以 γ 得到地面观测者测得的时间 t。反之，地面测得的固有长 L_0 除以 γ 得到运动体所见的长度 L。本工具的默认值（β = 0.500、t_0 = 10.0 s、L_0 = 10.0 m）给出 t = 11.547 s、L = 8.660 m。10 m 的火箭在地面上显示为 8.66 m，10 秒的固有时间在地面显示为 11.5 秒。
相对论性运动动能为 KE = (γ−1)·m·c² = (γ−1)·E_rest。在低速 β ≪ 1 时，γ ≈ 1 + β²/2，KE 与经典公式 (1/2)·m·v² 一致；但接近光速时，γ → ∞，所需能量发散。本工具默认值 β = 0.500、E_rest = 938.5 MeV（质子）给出 KE = 145.2 MeV。LHC 的质子加速到 γ ≈ 7500，即 KE ≈ 7 TeV。
洛伦兹因子 γ = 1/√(1−β²) 在 β → 1 时发散。这意味着将具有质量的物体加速到光速需要无穷大的能量。用本工具把 β 设为 0.999 时，γ ≈ 22.4，动能需为静止能量的 21 倍以上。光子由于静止质量为零，是唯一可以以光速运动的例外。爱因斯坦在 1905 年从光速不变原理出发建立狭义相对性理论，证明洛伦兹变换是时空的对称性。
现实应用
GPS 卫星与时间校正：GPS 卫星以约 14,000 km/h 的速度绕行（β ≈ 4.7×10⁻⁵），特殊相对性效应导致时钟每天慢 7 μs。与此同时，2 万 km 高空的微弱重力使得一般相对性效应每天让时钟快 45 μs，综合结果是每天快 38 μs，如果不校正这个数字，定位误差会每天累积 10 km 以上。本工具虽然无法处理 β = 0.0001 这样的极小值（γ ≈ 1 + 10⁻⁹ 的微小差异），但现实工程中这样的微小差异也是致命的，说明爱因斯坦的理论并非"空中楼阁"，而是支撑现代基础设施的根基。
大型强子对撞机 LHC：欧核所的 LHC 把质子加速到 γ ≈ 7500（β ≈ 0.999999991），运动动能达到 KE ≈ 6.5 TeV = 6500 GeV。用本工具从默认值（β = 0.5、E_rest = 938.5 MeV）出发，把 β 推到 0.999 时 γ ≈ 22.4、KE ≈ 20 GeV，可以直观看到加速能量与 γ 成线性关系。LHC 就是通过将 γ 推向这个极限 γ ≈ 7500，在实验室里重现了初期宇宙的高能状态，从而生成了希格斯粒子（2012 年发现）等。
μ 子衰变实验与时间膨胀的证明：宇宙射线在大气上层（高度 15 km）产生的μ子固有寿命仅 τ₀ ≈ 2.2 μs，即使以光速也只能飞 660 m。然而μ子确实能到达地表，这是因为 β ≈ 0.998、γ ≈ 16 导致它的寿命在地面参考系中拉长为 τ = γ·τ₀ ≈ 35 μs，足以飞行约 10 km。用本工具设置 β = 0.998、t_0 = 2.2（任意单位），会看到 t ≈ 35 的结果。1941 年的 Rossi-Hall 实验首次测得这个效应，成为特殊相对论最经典的实验证明之一。
电子显微镜与相对论性电子：透射电子显微镜（TEM，200 kV）中的电子被加速到 v ≈ 0.695 c（γ ≈ 1.39），不考虑相对论修正的话焦距会偏 39%，导致图像扭曲。300 kV TEM 下 γ ≈ 1.59，500 kV 下 γ ≈ 1.98，电压越高 γ 越大。用本工具把 E_rest 设为 0.511 MeV（电子），β 调到 0.7 时得到 γ ≈ 1.40、KE ≈ 0.205 MeV = 205 keV，正好再现了 200 kV TEM 的工作条件。在半导体、生物和新材料的原子级观察中，相对论校正是必需的。
常见误解与注意点
最常见的误解是"随着自己运动，自己的时间会变慢"。这是错的。坐在运动体上的观测者，他的时钟、新陈代谢乃至一切都会等比例变慢，所以他主观上察觉不到任何变化。差异只在"比较不同参考系的时钟时"才出现。看本工具的船内系 t_0 和地面系 t，10 秒固有时间在地面"看起来"是 11.5 秒，但不是说地面上的时钟"物理上"在慢跑——那恰好相反！
另一个常见误解是"双生子悖论是个矛盾"。"既然相对，两个观察者都会看到对方时钟变慢，那怎么说哪个变年轻了呢？"这种疑惑很自然，但答案在"加速度的非对称性"上。留在地球的双生子始终在惯性系中，但去太空的那个在折返时经历了加速度，因此不完全是惯性系。这种非对称性破坏了对称性，太空旅行者确实会变年轻。本工具只处理纯惯性系内的洛伦兹变换，不涉及双生子悖论（需要一般相对论或跨多个惯性系的积分）。
最后，人们常以为"洛伦兹变换只在粒子加速器里用"。实际上它无处不在——GPS、卫星定位（日本的向导卫星、欧洲的伽利略系统）、原子钟、激光干涉计（LIGO 引力波检测）、核反应模拟、等离子体物理的 PIC 方法（粒子-网格法）、同步辐射设施中的 γ 射线计算等等，都离不开相对论。本工具处理 β ≤ 0.999 的纯特殊相对论范围，不涉及一般相对论（重力）或量子场论（场的量子化）。如果需要这些，需要用专门的求解器（Einstein Toolkit、QED 计算代码等）。