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预设
速度叠加定理
合成速度 u′: —
理论与主要公式
$$\beta = \frac{v}{c}, \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$$
$$\Delta t' = \gamma\,\Delta t_0 \quad(\text{时间膨胀})$$
$$L' = \frac{L_0}{\gamma}\quad(\text{长度收缩})$$
$$KE = (\gamma - 1)\,m_0 c^2 \quad(\text{相对论动能})$$
速度叠加：$u' = \dfrac{u - v}{1 - uv/c^2}$
相对论多普勒（接近时）：$f_{obs}= f_0\sqrt{\dfrac{1+\beta}{1-\beta}}$
什么是狭义相对论模拟器
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简单来说，就是运动中的时钟会变慢。这不是科幻，是真实的物理效应！在实际工程中，比如GPS卫星上的原子钟，就因为它在高速运动，每天会比地面上的钟快大约38微秒，必须用这个效应来修正。你可以在模拟器里拖动“速度 β”的滑块，试着把速度调到0.9倍光速，看看下面的“时间膨胀因子γ”会变成多大，你就能直观感受到“变慢”的程度了。
🙋
诶，真的吗？那如果我跑得很快，我看到的尺子也会变短吗？
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没错，这就是“长度收缩”！不过要注意，是你看到的、沿着你运动方向放置的物体在收缩。比如，在粒子加速器里，接近光速飞行的质子，在实验室的科学家看来，它的尺寸在运动方向上就被“压扁”了。在模拟器里，你设置一个“固有长度L₀”，然后改变速度，旁边的“观测长度L‘”就会实时变化。试试把速度拉到很高，你会看到L’变得非常小。
🙋
那能量呢？经典动能公式 $\frac{1}{2}mv^2$ 在高速下还管用吗？
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在速度接近光速时，经典公式就完全不准了。这时候要用相对论动能公式 $KE = (\gamma - 1) m_0 c^2$。你看，这里的关键又是洛伦兹因子γ。当速度很低时，γ接近1，这个公式就退化回经典形式。但在高速下，比如你把模拟器里的“静止质量m₀”设成1，然后把速度调到0.99c，你会发现动能巨大无比，因为γ变得非常大。这就是为什么给粒子加速到接近光速需要耗费巨大能量，比如大型强子对撞机（LHC）。
物理模型与关键公式
一切相对论效应的核心是洛伦兹因子γ，它描述了速度接近光速时，时间、空间和能量如何被“扭曲”。
$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}, \quad 其中\ \beta = \frac{v}{c}$$
这里，$v$是物体的相对速度，$c$是真空中的光速（约 $3\times10^8\ m/s$）。$\beta$是归一化速度。当$v$远小于$c$时，$\gamma \approx 1$；当$v$趋近于$c$时，$\gamma$趋向于无穷大。
基于洛伦兹因子，我们可以得到三个最重要的动力学效应公式：
$$
\begin{align*}\Delta t' &= \gamma \, \Delta t_0 \quad &\text{(时间膨胀)}\\[4pt]
L' &= \frac{L_0}{\gamma}\quad &\text{(长度收缩)}\\[4pt]
KE &= (\gamma - 1) m_0 c^2 \quad &\text{(相对论动能)}\end{align*}
$$
$\Delta t_0$是静止观测者测得的固有时间，$\Delta t‘$是运动观测者测到的时间（更长）。$L_0$是物体的固有长度，$L’$是运动方向上观测到的长度（更短）。$m_0$是静止质量，$KE$是总动能。
现实世界中的应用
全球定位系统（GPS）：GPS卫星以约1.4万公里/小时的速度绕地球飞行。根据时间膨胀效应，卫星上的原子钟每天会比地面钟快约7微秒。同时，由于处于较弱的地球引力场（广义相对论效应），它又会每天慢约45微秒。两者相抵，净效应是每天快约38微秒。如果不进行相对论修正，定位误差一天就会累积超过10公里！
粒子物理学与加速器：在大型强子对撞机（LHC）中，质子被加速到光速的99.9999991%。此时γ因子高达约7000，质子的相对论动能巨大。计算束流能量、设计让粒子转弯的磁场强度，都必须使用相对论公式，经典力学完全失效。
宇宙射线研究：来自太空的高能粒子（如μ子）以接近光速撞击大气层。μ子的固有寿命仅约2.2微秒，按经典物理算，它衰变前只能走约660米，根本无法到达地面。但由于时间膨胀，在地面参考系看来，它的寿命被γ因子拉长了，因此能够穿越上百公里的大气层被我们探测到，这直接验证了相对论。
核能与医学成像：在核反应中，质量的微小亏损会通过公式 $E=\Delta m c^2$ 转化为巨大能量，这是相对论质能关系的直接体现。在正电子发射断层扫描（PET）中，使用的示踪剂会发生湮灭，产生一对方向相反的光子，其过程也完全遵循相对论能量动量守恒定律。
常见误解与注意事项
开始使用此模拟器时，存在一些容易陷入的误区，尤其对熟悉CAE的工程师而言。首先，“观测到的变化”并非视觉假象。这与材料弹性变形或热膨胀等物理“应变”有本质区别。例如，以0.9倍光速飞行的火箭在模拟器中显示为长度收缩约一半，但这并非火箭本身受应力挤压所致，而是时空本身的度量方式发生变化的结果。
其次，参数设置技巧。若将速度β设置为0.999等极端值，γ会急剧发散，数值显示趋近“无穷大”，导致现象难以直观感知。建议初期以β=0.5、0.8、0.95逐步提高，观察变化程度非线性增大的趋势。例如将β从0.9调整至0.99时，γ会从约2.3增至约7.1（增长超3倍），而动能则会跃升约10倍。这种非线性正是相对论效应的核心特征。
最后，实际应用中需注意“双向性理解”。模拟器虽以“静止观测者”与“运动物体”为框架计算，但在相对论中“何者在运动”是相对的。若A观察发现B的时钟变慢，则B观察A的时钟同样变慢。这并非矛盾，而在于除非两人重逢于同一时空点比较时钟，否则两种视角均成立——这一点与经典力学的直觉认知大相径庭。