默认值为 I0=100、θa=45°、θb=90°、ext=0。P1 固定为 0° 基准轴，自然光经过后半数被吸收并变为竖直偏振。θb=90° 时 P1 与 P3 正交，若移除中间 P2 则无光透过；当 θa=45° 插入 P2 时即可观测到 I3=12.5（总透射率 12.5%）。
左侧＝无偏振自然光入射 I0／P1（蓝色，0°）后＝竖直偏振 I1=I0/2／P2（绿色，θa）后＝马吕斯定律给出的 I2／P3（红色，θb）后＝最终输出 I3。箭头长度表示强度，方向表示透射轴方向。
横轴＝中间角 θa（0°〜180°）／纵轴＝最终输出 I3（θb 固定）／蓝色曲线＝cos²(θa)·cos²(θb−θa) 理论曲线／黄色标记＝当前 θa／灰色虚线＝去掉中间 P2 时的 I3。
马吕斯定律给出线偏振光通过透射轴与入射偏振方向夹角为 $\theta$ 的偏振片后的强度：
$$I = I_0 \cos^2\theta$$
无偏振自然光通过第一片偏振片时一半被吸收并变为线偏振光，因此三偏振片各级透射强度为：
$$I_1 = \tfrac{1}{2} I_0,\quad I_2 = I_1\cos^2\theta_a,\quad I_3 = I_2\cos^2(\theta_b-\theta_a)$$
实际偏振片的透射函数可近似为 $T(\theta) = \cos^2\theta + \mathrm{ext}$，其中 ext 为漏光系数。$\theta_b - \theta_a$ 是以 P2 透射轴为基准测得的 P3 相对角。$\theta_b = 90^\circ$ 时纵列正交，$\theta_a = 0^\circ$ 或 $90^\circ$ 时 $I_3 = 0$；当 $\theta_a = 45^\circ$ 时取得极值 $I_3 = I_0/8$，正是著名的三偏振片悖论。
马吕斯定律模拟器是什么
🙋
老师，听说两片偏振片正交放置后光被完全遮断，但在它们中间再插入一片，反而能看到光，多加一片吸收元件却让光透过去了，这是真的吗？
🎓
完全正确，这就是"三偏振片悖论"。本工具默认参数（I0=100、θa=45°、θb=90°、ext=0）正好演示这一现象：P1 将自然光偏振为 I1=50.0；P2（45°）后变成 I2=25.0；P3（90°）后剩 I3=12.5，总透射率 12.5%。而"去掉中间 P2 时的 I3"显示 0.00，即直接 P1+P3 完全消光。仅插入中间片就凭空多出 12.5 强度单位，结果卡显示的中间片贡献正是 +12.5。
🙋
为什么会这样？光的能量怎么会增加？这不违反能量守恒吗？
🎓
能量没有被创造出来。P1+P3 直接正交时，P1 吸收 50%，剩下的全被 P3 用 cos²(90°)=0 吸收。插入 P2 后情形变化：P1 后竖直偏振 50→P2(45°) 把竖直分量投影到 45° 轴上，cos²(45°)=0.5 又过半；P3(90°) 再把 45° 偏振投影到水平轴，又过半。总透射 0.5·0.5·0.5=0.125。关键在"P2 重新制备了偏振态"。本工具中滑动 θa 时，I3 曲线在 45° 与 135° 处达极值、在 0° 90° 180° 处为零，正是 cos² 形状。
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消光比 ext 是什么？滑块只到 0.1，看上去很小，调它有什么用？
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实际偏振片做不到完全消光，会漏掉 0.1〜5% 的错误偏振分量。ext 就是描述这个漏光。本工具中设 θa=0、θb=90，把 ext 从 0 调到 0.05，原本为零的输出会抬高约 ext·I1/2。LCD 设计中"对比度=1/ext"，因此 ext=0.001 对应高端面板的 1000:1 对比度，ext=0.01 对应 100:1 低端面板。当 ext 增大时，图中曲线底部上升，对应 LCD"黑态发亮"现象，直观显示偏振性能差距。
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最后一个问题——听说三偏振片悖论与量子力学的自旋测量有关，是真的吗？
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完全正确。每片偏振片在量子力学中就是一个投影算符。用单光子重复实验也得到同样统计，P2 执行"沿 45° 方向的偏振测量"，把量子态重新制备到该轴。这与 Stern-Gerlach 实验中在两次 z 方向测量之间插入 x 方向测量后输出分布发生改变的原理完全相同。马吕斯定律 cos²θ 看似经典，本质上是量子概率振幅 cos θ 的平方，是通往 Bell 不等式讨论的入门钥匙。许多物理学家把三偏振片演示视作"测量改变量子态"最简洁的实验证明。
常见问题
什么是马吕斯定律？
马吕斯定律 I = I0 cos²θ 给出线偏振光通过理想偏振片后的透射强度，θ 是入射偏振方向与偏振片透射轴之间的夹角。1809 年 Étienne-Louis Malus 在研究水面反射光时发现该定律。无偏振自然光通过第一片偏振片时一半强度被吸收（I → I/2）后变为线偏振光。本工具默认参数 I0=100、θa=45°、θb=90°、ext=0 时，P1 后 I1=50.0，P2 后 I2=25.0，P3 后 I3=12.5，总透射率 12.5%。
什么是三偏振片悖论？
两片偏振片正交（0° 与 90°）放置时光被完全遮断，但在它们之间插入第三片偏振片（45°）后光反而能透过。多加一片吸收元件却让更多光出来，这就是著名的三偏振片悖论。本工具默认值（θa=45°、θb=90°）下，去掉 P2 时 I3=0，插入 P2 后 I3=12.5，中间片贡献 +12.5。本质是每片偏振片如同量子力学中的投影测量，把偏振态重新制备到自身透射轴上。
消光比 ext 代表什么物理量？
消光比 ext 描述实际偏振片无法完全遮断光线时的漏光量。理想偏振片满足 T(θ) = cos²θ，实物则近似为 T(θ) ≈ cos²θ + ext，ext 通常取 0.001〜0.05。高品质二色性薄膜偏振片 ext ≈ 0.001（对比度 1000:1），廉价塑料薄膜 ext ≈ 0.05。本工具将 ext 从 0 调到 0.05 时，正交配置下 I3 曲线底部抬高，对应 LCD 面板黑态发亮现象，直观显示偏振性能差距。
马吕斯定律在工程上有哪些应用？
液晶显示器 (LCD) 通过两片偏振片夹液晶层控制每个像素亮度，本质就是马吕斯定律。偏振太阳镜过滤水面与路面反射的水平偏振光；3D 影院利用正交偏振分别投影左右眼图像；光通信用偏振隔离器抑制反射回光；光弹性应力测量利用偏振片可视化应力诱导双折射，对桥梁、齿轮、医疗植入件进行无损检测。本工具也可作为 LCD 设计人员快速估算两片偏振片间最佳夹角的工具。
现实应用
液晶显示器像素控制： LCD 的每个像素由"两片正交偏振片 + 中间液晶层"构成，液晶分子取向使偏振面旋转改变透射率。不加电压时液晶扭转排列让偏振面旋转 90°，得到"亮（白）"；加电压后液晶竖立、旋转消失变为"暗（黑）"。每像素亮度即对应本工具中间段 I2/I1，正是马吕斯定律的实例。默认设置中 θa=45° 时 I2=25 取最大透射，θa=0° 或 90° 时为零，对应 LCD 的白黑切换。手机、电脑屏与电视都基于这一原理。
偏振太阳镜与 3D 影院： 偏振太阳镜采用竖直透射轴的偏振片来过滤水面、路面反射的水平偏振光，雪面或湿滑路面的反光大幅降低，是开车与垂钓的利器。3D 影院将正交偏振（线偏振或左右旋圆偏振）分别投射给左右眼，观影眼镜利用 cos²(90°)=0 的消光特性把"错配"图像滤除——这与本工具中 θa=0、θb=90 的消光设置完全相同。现代银幕能更好保持偏振状态，是高端 3D 体验的基础。
光弹性应力测量： 透明材料（塑料、玻璃、树脂等）受力时会出现双折射并改变偏振方向。把试样置于正交偏振片之间，可将内部应力分布以彩色干涉条纹（等色线）形式可视化，广泛用于桥梁、齿轮、人工髋关节、人造牙冠的应力分析。本工具中"中间 P2"对应应力诱导双折射试样，扫描 θa 即可对应不同主应力差。齿根应力集中、隐形眼镜制造的残余应力检测都属于这一应用范围。
光通信隔离器与量子密码： 光纤通信系统使用基于偏振的光学隔离器（偏振片 + 法拉第旋光器 + 偏振片）抑制反射光对激光源的扰动，正是马吕斯定律的工程化。BB84 量子密钥分发协议把单比特编码在四种偏振态（0°、45°、90°、135°）上，窃听者若用错误基矢测量将引入可统计检测的偏差。本工具的三偏振片纵列正是这种"不同基矢顺序测量"的经典模型。
常见误解与注意事项
最常见的误解是"马吕斯定律 cos²θ 可直接套用到无偏振自然光上" 。实际上自然光通过第一片偏振片时一半强度被吸收（I → I/2），此后才变为线偏振光，cos²θ 关系只对线偏振光成立 。本工具将 P1 单列为蓝色固定 0° 基准，并把 I1=I0/2 单独显示在结果卡中正是为了强调这点。若忘记一半的吸收步骤直接套 cos²θ，默认配置下会算成 25% 透射率而不是正确的 12.5%。
第二个常见误解是"三偏振片悖论违反能量守恒" 。光并非由 P2"凭空增加"，而是各片偏振片吸收量发生改变。P1+P3 直接正交时 P1 吸收 50%，P3 再吸收剩余 50%，全部成为热。插入 P2 后 P1 吸收 50%，P2 吸收 25%（25 单位的强度变为热），P3 再吸收 12.5%，最终剩 12.5% 透过。结合本工具的 I2=25 与"中间片贡献 +12.5"两个结果卡可验证每一份能量去向，完全符合守恒律。
最后一个易错点是"偏振片角度基准搞混" 。马吕斯定律 cos²θ 中的 θ 是入射偏振方向 与偏振片透射轴之间的夹角，而非固定实验室坐标系的绝对角度。本工具中 P3 用 cos²(θb − θa) 计算正是因为到达 P3 的光是沿 P2 透射轴偏振的，而不是沿 0° 绝对参考。设计 LCD 或光弹性装置时若涉及多片元件，务必明确每个角度的参考系。若实验中设置 θa=45°、θb=90° 却未得到 12.5% 透射，第一步应当检查角度基准的取法。