预设场景
平行（全透射）
正交 → 全暗
正交＋45°中间 → I0/8
连续旋转
取放中间板 P2，观察 3 偏光板悖论中光线重新出现的现象。
默认值为 I0=100、θa=45°、θb=90°、ext=0。P1 固定在 0° 作为基准轴，自然光通过时半数透射并垂直偏光化。当 θb=90° 时 P1 与 P3 正交，无中间 P2 时光被阻挡，但在 θa=45° 处插入时，I3=12.5（全透射率 12.5%）被观测。点击播放可动画显示 E 场振动。
左=自然光（无偏光）入射 I0／P1（蓝色，0°）之后=垂直偏光化的 I1=I0/2／P2（绿色，θa）之后=由马吕斯定律计算的 I2／P3（红色，θb）之后=最终输出 I3。箭头长度表示强度，方向表示透射轴方向。
θ a 相关的最终强度 I3
横轴=中间板角度 θa（0°～180°）／纵轴=最终输出 I3（θb 固定）／蓝色曲线=理论曲线 cos²(θa)·cos²(θb−θa)／黄色标记=当前 θa／灰色虚线=移除中间 P2 时的 I3。
马吕斯定律描述线偏光通过与其形成角度 $\theta$ 的偏光板时的强度比例：
$$I = I_0 \cos^2\theta$$
自然光（无偏光）通过第一块偏光板时，半数透射并垂直偏光化，因此 3 块偏光板各阶段的透射强度可写为：
$$I_1 = \tfrac{1}{2} I_0,\quad I_2 = I_1\cos^2\theta_a,\quad I_3 = I_2\cos^2(\theta_b-\theta_a)$$
对于包含消光比 $\mathrm{ext}$ 的实际偏光板，透射函数近似为 $T(\theta) = \cos^2\theta + \mathrm{ext}$。$\theta_b - \theta_a$ 是 P2 轴基准下的 P3 轴相对角。当 $\theta_b = 90^\circ$、$\theta_a = 0^\circ$ 或 $\theta_a = 90^\circ$ 时，$I_3 = 0$；当 $\theta_a = 45^\circ$ 时达到最大透射 $I_3 = I_0/8$，重现"3 偏光板悖论"。
马吕斯定律模拟器说明
🙋
老师，听说两块偏光板正交时光线出不来，但在中间再插一块光线就会出来？板数增加了反而有光，这是真的吗？
🎓
完全是真的，这就是"3 偏光板悖论"。本工具的默认值（I0=100、θa=45°、θb=90°、ext=0）正好演示这个现象。P1=0° 偏光化后 I1=50.0，通过 P2=45° 后 I2=25.0，最后通过 P3=90° 后 I3=12.5，全透射率 12.5%。反过来看，"移除中间 P2 时的 I3"显示为 0.00。只是插入一块中间板，光就从无到有增加了 12.5 点——这就是中间板的贡献 +12.5。
🎓
能量没有增加，只是吸收方式不同。仅用 P1 和 P3，偏光光通过 P1 后 50% 被减少，然后 P3 中的 cos²(90°)=0 使全部被吸收。加入 P2 在 45° 时，P1 通过后的"竖偏光"被 P2"重新投影"到"45° 偏光"（cos²(45°)=0.5，再失去一半）。然后 P3 中"45° 偏光"与"水平轴"的夹角是 45°，又透射一半。每阶段 50% 的损失，0.5×0.5×0.5=0.125，即 12.5% 剩余。关键是"P2 重新准备了偏光状态"。用本工具拖动 θa 滑块，你会看到 I3 在 θa=45° 和 135° 处最大，在 0°、90° 和 180° 处为 0，形成 cos² 形状的峰值。
🙋
"消光比"是什么？滑块里的 ext 是个很小的数字，有什么用？
🎓
实物偏光板不完美。即使正交，也会漏 0.1～5% 的光。这个 ext 就是表现这个。在本工具中，把 ext 从 0 改到 0.05，设 θa=0°、θb=90°，本来应该是 0 的输出会漏出约 ext·I1/2 的光。LCD 设计中"对比度 = 1/ext"是决定画质的关键指标。市售偏光板 ext=0.001 时对比度 1000:1，廉价产品 ext=0.01 时对比度 100:1。在本工具中提高 ext，可以观察到 θa 依赖曲线的最低点上升——这就是"黑色变浅"的现象。
🙋
最后一个问题——这个悖论跟量子力学中的自旋测量有关吗？
🎓
完全有关。每块偏光板在量子论上表现得像"投影算子"。即使一个一个光子地做实验，结果也是一样的，P2 进行"45° 轴偏光测量"，状态被投影。这与施特恩-格拉赫实验中两次连续 z 轴测量间插入 x 轴测量时输出分布改变的原理一样。马吕斯定律 cos²θ 看起来古典，实际上本质是量子概率幅 cos θ 的平方，与贝尔不等式的前驱讨论有关。对物理学家来说，3 偏光板的演示是展示"测量改变状态"的最简洁实验之一。
常见问题
什么是马吕斯定律？
马吕斯定律是线偏光通过偏光板时强度比的表达式 I = I0 cos²θ。θ 是入射偏光方向与偏光板透射轴之间的夹角。1809 年 Étienne-Louis Malus 在水面反射光中首次发现这一现象。自然光（无偏光）通过第一块偏光板时，I → I/2（半数透射，垂直偏光化）。在本工具中，默认值 I0=100、θa=45°、θb=90°、ext=0 时，P1 后 I1=50.0、P2 后 I2=25.0、P3 后 I3=12.5，全透射率 12.5%。
什么是 3 偏光板悖论？
当两块偏光板正交排列（0° 和 90°）时，光被完全阻挡，但在两块板之间以 45° 角插入第三块偏光板时，光会透射。这是一个"增加板数反而有光透过"的直观悖论现象。在本工具的默认值（θa=45°、θb=90°）中，移除中间 P2 时 I3=0，加入时 I3=12.5，中间板的贡献为 +12.5 点（数值显示）。本质上与量子力学中的投影测量相同，因为各偏光板会"重新准备"偏光状态。
消光比 ext 是什么物理量？
消光比 ext 表示实际偏光板无法完全阻挡的光泄漏量。理想偏光板是 T(θ) = cos²θ，但实物是 T(θ) = cos²θ + ext（或等效的修正项），ext 值在 0.001～0.05 范围内。市售透射型偏光板 ext ≈ 0.001，廉价膜 ext ≈ 0.05。在本工具中，把 ext 从 0 调到 0.05，在 θ=90° 的遮挡状态下，仍会有有限透射，直观地显示消光比 1/ext 越小，偏光性能越差。
马吕斯定律有什么工程应用？
液晶显示器（LCD）的亮度控制是典型应用，通过改变两块偏光板之间液晶分子的方向来改变透射率，每个像素的光量正是马吕斯定律本身。偏光太阳镜阻挡水面和路面的反射偏光，3D 电影为两只眼睛分配正交偏光，光通信中隔离器阻挡反射回光。光弹性应力测量中，通过偏光板可视化应力引起的双折射，进行无损应力测量。本工具还可作为 LCD 设计师估计两块偏光板之间最优角度的快速计算工具。
实际应用
液晶显示器（LCD）的像素控制： LCD 每个像素由"两块正交偏光板 + 液晶分子"组成，液晶分子的方向决定偏光面旋转程度，从而改变透射率。无电压时液晶螺旋配列将偏光旋转 90°"明亮（白色）"，加电压时液晶竖立，旋转消失"暗淡（黑色）"。每个像素的亮度对应本工具中的 I2/I1（中间阶段透射率），是马吕斯定律本身。工具中 θa=45° 时 I2=25 是最大透射，θa=0° 或 90° 时为 0，这正是 LCD 黑白切换的原理。智能手机、电脑显示器、电视全采用这一原理。
偏光太阳镜与 3D 电影： 偏光太阳镜使用垂直透射轴的偏光板阻挡水面和路面的水平反射偏光，使眩光减少至 1/3 以下，对驾驶和钓鱼很有帮助。3D 电影将左右眼用正交偏光（水平、竖直或右旋、左旋圆偏光）分别投影，观众的偏光眼镜进行分离。这也是 3 偏光板悖论的同一原理，左眼透镜会以 cos²(90°)=0 阻挡右眼画面。用工具设 θa=0、θb=90 可验证阻挡状态。
光弹性应力测量（光弹性）： 透明物体（塑料、玻璃、树脂）受应力时产生双折射现象，偏光会旋转。在两块正交偏光板之间放置试样，应力分布以条纹图案（等色线）可视化，用于桥梁、齿轮、人工股骨头、牙齿等应力分布测量。本工具中的"中间 P2"扮演试样角色，改变 θa 对应复折射角度，得到透射图案。齿轮齿根应力集中和隐形眼镜制造时的变形检查是典型应用。
光通信隔离器与量子密码： 光纤通信中，激光的反射回光会造成谐振不稳定，使用偏光基隔离器（偏光子 + 法拉第旋转子 + 偏光子）使光只能单向通过，这是马吕斯定律的应用例。量子密码（BB84 协议）用光子偏光（0°、45°、90°、135° 四种状态）传输 1 比特，窃听者用错误基础测量时会被统计学检测到。本工具的 3 偏光板构成正是这种"不同基础下连续测量"的古典版模型。
常见误区和注意事项
最常见的误解是"马吕斯定律对无偏光（自然光）入射也直接用 cos²θ" 。实际上自然光通过第一块偏光板时，半数被吸收变成 I → I/2，此时"才第一次"偏光化。之后的马吕斯定律 cos²θ仅对偏光化的光适用 。本工具特别把 P1 作为独立卡片（蓝色 P1=0° 固定），输出 I1=I0/2 显示，就是为了强调这一点。若对自然光直接用"所有偏光板都乘 cos²θ"会漏掉 1/2 系数，3 偏光板会算成 25% 透射（实际 12.5%）。
第二常见误解是"3 偏光板悖论违反能量守恒" 。光不是"增加"，而是"P1→P3 直接组合吸收的量 > P1→P2→P3 逐级吸收的量"。P1 吸 50%、P2 吸 50%、P3 吸 50% 时，偏光板内共有 87.5% 变成热。剩余 12.5% 透出，本工具中 I2=25（P2 被吸收）右边看 P3 再吸 12.5，各阶段吸收量一目了然。能量完全守恒。
最后一个陷阱是"偏光板角度测量基准出错" 。马吕斯定律 cos²θ 中的 θ 是"入射偏光振动方向"与"偏光板透射轴"的夹角，不是固定的绝对坐标。本工具也用 cos²(θb − θa)，是"P2 偏光化轴"与"P3 透射轴"的相对角。LCD 设计、光弹性测量中多个素件组合时，必须始终明确"以什么为基准测角度"。实机实验设 θa=45°、θb=90° 却没得到 12.5% 透射时，首先要确认基准轴测定方法，这是铁律。