默认值：λ=1.54 Å（Cu Kα 线）、θ=30°、β_total=0.50°、β_inst=0.10°、K=0.94（球形晶粒、FWHM 基准）。工程实践中常用标准样品（LaB6、Si 等，晶粒 > 1 μm）预先标定 β_inst。除 Gaussian 假设 β_corr² = β_total² − β_inst² 外，还有 Lorentzian（线性差分）与 Voigt 函数等分析方法。
横轴＝2θ（°）／纵轴＝相对强度／蓝色＝样品贡献（β_corr）／灰色＝仪器贡献（β_inst）／黄色＝合成峰（β_total，实测）／绿色箭头＝β_total 的半高全宽
横轴＝校正后 FWHM β_corr（°，对数）／纵轴＝晶粒尺寸 D（nm，对数）／蓝色＝D ∝ 1/β 双曲线／红色虚线＝D=100 nm 适用边界／黄色标记＝当前 (β_corr, D)
谢乐方程由 X 射线衍射峰的半高全宽 $\beta$ 估算晶粒尺寸 $D$：
$$D = \frac{K\,\lambda}{\beta\,\cos\theta}$$
$K$ 为谢乐常数（球形晶粒、FWHM 基准约 0.94），$\lambda$ 为 X 射线波长，$\beta$ 为校正后 FWHM（弧度），$\theta$ 为布拉格角。在 Gaussian 假设下从实测峰宽 $\beta_{\text{total}}$ 中扣除仪器宽度 $\beta_{\text{inst}}$：
$$\beta_{\text{corr}} = \sqrt{\beta_{\text{total}}^2 - \beta_{\text{inst}}^2}$$
适用范围约为 $D < 100$ nm（纳米至微米晶范围）。超过此范围时晶粒尺寸贡献低于仪器宽度，可靠性下降。要分离晶粒尺寸与微观应变需借助 Williamson-Hall 法：
$$\beta_{\text{corr}}\cos\theta = \frac{K\lambda}{D} + 4\varepsilon \sin\theta$$
$\lambda$ 为 X 射线波长（Å）；$\theta$ 与 $\beta$ 为角度（转换后为弧度）；$D$ 为晶粒尺寸（Å，本工具以 nm 显示）。1 nm = 10 Å。
谢乐方程模拟器简介
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催化剂纳米粒子尺寸难道只能用电镜逐个测量吗？我听说 XRD 也能测，可"峰宽"和粒径之间到底是什么关系？
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好问题。XRD 峰宽与粒径的桥梁是谢乐方程 D = Kλ/(β cosθ)。当相干散射区（晶粒）较小时，本应锐利的布拉格线会展宽为峰，因为参与相长干涉的晶面数减少。在本工具默认值（Cu Kα、θ=30°、β_total=0.50°、β_inst=0.10°）下：校正后 FWHM β_corr ≈ 0.490°、晶粒尺寸 D ≈ 19.5 nm、适用范围内 — 正处于典型催化剂纳米粒子（5〜50 nm）的范围。
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面板里同时显示"校正后 FWHM"和"未校正 D"，为什么要做校正？
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实测峰宽 β_total 同时包含样品展宽与 X 射线管、单色器、狭缝等仪器宽度 β_inst。若两者都近似 Gaussian，则可用 β_corr² = β_total² − β_inst² 去除仪器贡献。在本工具中把 β_inst 从 0.10° 调到 0.30°，"校正后 D"和"未校正 D"之间的差距会迅速拉大。不做校正会系统性低估粒径，这是 XRD 分析中最常见的初学者陷阱之一。
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"适用范围"具体指什么？谢乐方程是不是不能一直用？
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不能一直用。晶粒过大（D > 100 nm）时，尺寸对峰宽的贡献已低于仪器宽度，由谢乐方程得到的 D 就不再可靠。在本工具中把 β_total 调到 0.1°，D 会超过 100 nm 并切换为"范围外"。晶粒过小（< 2 nm）则破坏了"完美晶体"的前提。另外，微观应变（不均匀应变）也会展宽峰，要分离两者需 Williamson-Hall 法（cosθ-sinθ 关系图）。
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谢乐常数 K = 0.94 是固定的吗？粒子形状会有影响吗？
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会有影响。K 取决于晶粒形状以及"宽度"和"尺寸"的定义。球形 + FWHM + 体积平均直径取 K ≈ 0.94；立方体 K ≈ 0.89；八面体或柱状粒子 K 在 0.8〜1.1 之间。文献常默认使用 K = 0.9 或 0.94，因此谢乐 D 通常带有 ±10% 量级的系统不确定度。最稳妥的做法是用透射电子显微镜（TEM）交叉验证。本工具固定 K = 0.94；若形状要求不同，请用文献值对结果做相应缩放。
常见问题
什么是谢乐方程？
谢乐方程 D = Kλ/(β cosθ) 用于由 X 射线衍射峰宽估算晶粒（相干散射区）尺寸 D，由 Paul Scherrer 于 1918 年提出。K 为谢乐常数（球形晶粒约 0.94），λ 为 X 射线波长，β 为校正后的峰半高全宽（FWHM，弧度），θ 为布拉格角。在本工具默认值（Cu Kα λ=1.54 Å、θ=30°、β_total=0.50°、β_inst=0.10°）下显示校正后 FWHM β_corr ≈ 0.490°、晶粒尺寸 D ≈ 19.5 nm、未校正 D ≈ 19.2 nm、适用范围（D < 100 nm）。
为什么需要校正仪器宽度 β_inst？
实测峰宽 β_total 同时包含晶粒尺寸带来的样品展宽与 X 射线管发散、单色器、狭缝等光学系统造成的仪器宽度 β_inst。若两者均近似 Gaussian，校正后宽度可由 β_corr = sqrt(β_total² − β_inst²) 求得。不做校正会系统性低估晶粒尺寸，尤其在 β_inst 接近 β_total 的大晶粒情形下误差最大。在本工具将 β_inst 由 0.10°→0.40° 时校正后 D 显著变化。工程实践中常用标准样品（LaB6 或 Si，晶粒 > 1 μm）预先标定 β_inst。
谢乐方程的适用范围是什么？大晶粒情形下还能用吗？
谢乐方程适用于晶粒尺寸 D 大致小于 100 nm 的纳米至微米晶范围。超过此范围后，晶粒尺寸对峰宽的贡献低于仪器宽度，由谢乐方程得到的尺寸不再可靠。另外晶粒尺寸之外，微观应变（不均匀应变）也会使峰展宽，二者分离需借助 Williamson-Hall 法（cosθ-sinθ 关系图）。在本工具中将 β_total 调小使 D 超过 100 nm 时，适用范围判定会切换为"范围外"。常见应用包括催化剂粒子（5〜50 nm）、锂离子电池正极材料、磁性纳米粒子的表征。
谢乐常数 K = 0.94 如何取定？粒子形状会影响吗？
谢乐常数 K（无量纲）取决于晶粒形状以及宽度与尺寸的定义。对球形晶粒采用 FWHM 与体积平均直径时，K ≈ 0.94；立方体形状 K ≈ 0.89；八面体或柱状粒子 K 在 0.8〜1.1 之间变动。文献中常默认使用 K = 0.9 或 K = 0.94，因此由谢乐方程导出的 D 大约带有 ±10% 的系统不确定度。本工具固定 K = 0.94；如需非球形形状校正，请用文献值对结果做相应缩放。理想做法是与透射电子显微镜（TEM）观察结合，对粒径进行交叉验证。
实际应用
催化剂纳米粒子粒径表征： 汽车三效催化剂（Pt/Pd/Rh 负载 γ-Al₂O₃）、燃料电池电催化剂（Pt/C）、质子交换膜燃料电池 Pt-Ru 合金催化剂等，其活性与粒径密切相关。由 XRD 峰宽通过谢乐方程估算晶粒尺寸，并与 TEM 观察结合评估粒径分布，是催化研究的标准做法。在本工具将 β_total 由 0.5°→2.0° 变化时，D 从约 19 nm 降至 4.9 nm，恰好覆盖典型催化剂粒径范围（5〜50 nm）。催化剂老化（颗粒长大）也常通过 XRD 峰形锐化进行追踪。
锂离子电池正极材料： LiCoO₂、LiFePO₄、NMC（Ni-Mn-Co 氧化物）等正极材料的晶粒尺寸对容量、循环寿命与倍率性能影响显著。研究人员将谢乐法测得的晶粒尺寸控制在 30〜100 nm 范围，并与纳米复合化、表面包覆等手段相结合，以实现高容量、长寿命电池。本工具的"适用范围"判定可在谢乐法失效时提示切换到 Williamson-Hall 法或 TEM 观察。
金属氧化物半导体气敏传感器： SnO₂、ZnO、WO₃ 等纳米晶薄膜的晶粒尺寸越小（10 nm 以下），气体分子吸脱附位点越多，灵敏度随 Debye 长度急剧提升。谢乐分析量化纳米晶化进程，用于优化煅烧温度与前驱体组成。在本工具中改变 K 可直观感受形状假设对结果的偏差。
磁性纳米粒子与薄膜： 磁记录介质、MRI 造影剂、磁分离载体、磁热疗粒子等的矫顽力与饱和磁化都与晶粒尺寸密切相关。低于约 10 nm 时会出现超顺磁转变，器件特性发生根本变化。谢乐法配合 VSM 或 SQUID 磁性测量可实现材料设计闭环。本工具中"校正后 D"与"未校正 D"之差直观展示仪器宽度校正的重要性。
常见误解与注意点
最常见的误解是认为 谢乐 D 就是粒径本身 。实际上 D 是"相干散射区（晶粒）"的体积平均尺寸。若一个粒子内部含多个晶粒（孪晶、多晶域），则 D 会小于真实粒径；若粒子之间外延连续生长，D 也可能大于单个粒径。本工具给出的 D 是仅由 XRD 得到的数值，需与 TEM、SEM 观察相结合才能称为"真实粒径"。
第二个误解是 仪器宽度 β_inst 可以忽略 。即使在最先进的高分辨 XRD 上，β_inst 仍在 0.05〜0.15° 量级；晶粒越大（D > 30 nm 左右），β_total 与 β_inst 越接近，Gaussian 校正后的 β_corr 对小误差也越敏感。在本工具中让 β_total 接近 β_inst 即可看到校正后 D 迅速发散。严格的处理需用标准样品（NIST SRM 660c LaB6、Si 标样等）将 β_inst 表征为 2θ 的函数，并用 Caglioti 关系 β_inst²(2θ) = U tan²θ + V tanθ + W 拟合。
第三个误解是 Gaussian 假设始终适用 。实际峰形通常是 Gaussian 与 Lorentzian 的混合（pseudo-Voigt）或更严格的 Voigt 函数。当 Lorentzian 成分显著时，应改用 β_corr = β_total − β_inst（线性差分），Gaussian 假设会"校正不足"。Rietveld 精修或全谱拟合（FullProf、TOPAS、GSAS-II）精细化 pseudo-Voigt 参数，并与 Williamson-Hall 法结合以同时分离晶粒尺寸与微观应变。本工具用于 Gaussian 近似入门理解；发表级精密分析必须使用专用软件。