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構造解析シミュレーター

SFD・BMD シミュレーター — 単純支持梁の複合荷重

単純支持梁に集中荷重・等分布荷重を組み合わせたときの反力・せん断力図・曲げモーメント図をリアルタイム描画。最大曲げモーメントとその発生位置を自動算出します。

パラメータ設定
梁長 L
m
集中荷重 P
kN
P の位置 a
m
等分布荷重 w
kN/m

梁は両端単純支持。集中荷重 P は位置 a で下向き、等分布荷重 w は全長で下向き、外力モーメント M_0 は本シミュレーターでは 0 として固定しています（解説の式中にのみ残しています）。a が L を超えるとスライダーは自動で L 内にクランプされます。

計算結果
—
左支点反力 R_A
—
右支点反力 R_B
—
最大曲げモーメント M_max
—
M_max 発生位置
梁モデル・SFD・BMD

上＝梁と荷重（青矢印＝集中荷重・水色矢印群＝等分布荷重・三角＝支点）／中＝SFD V(x)／下＝BMD M(x)、赤マーカー＝M_max 位置

理論・主要公式

両端単純支持梁（長さ L）に、位置 a の集中荷重 P・全長の等分布荷重 w・位置 b の外力モーメント M_0 が作用するとき、釣合から反力が決まり、断面ごとに V(x) と M(x) が定まります。

力とモーメントの釣合から右支点反力 R_B、左支点反力 R_A：

$$R_B = \frac{P\,a + w\,L^2/2 + M_0}{L},\qquad R_A = P + w\,L - R_B$$

せん断力 V(x)。H(·) はヘビサイドの階段関数：

$$V(x) = R_A - w\,x - P\,H(x-a)$$

曲げモーメント M(x)：

$$M(x) = R_A\,x - \frac{w\,x^2}{2} - P\,(x-a)\,H(x-a) + M_0\,H(x-b)$$

M(x) の極値は dM/dx = V(x) = 0 の位置に現れ、その点が設計上もっとも応力が大きくなる断面です。

SFD・BMD シミュレーターとは

🙋
先生、SFD と BMD って構造系の授業で必ず出てくるんですけど、いまいち「で、何の役に立つの？」がわかってないんです。
🎓
ざっくり言うと、SFD は梁を「縦に断ち切ろうとする力」の地図、BMD は梁を「グニャッと曲げようとする力」の地図だ。設計者はこの BMD の最大値を見て、「ここに一番大きな曲げ応力が出るから、ここで折れないように断面を決めよう」と判断する。シミュレーターで P や w を動かすと、BMD の山がどう動くか観察できる。
🙋
SFD と BMD の関係って何でしたっけ？ 似てるようで違う図ですよね。
🎓
関係はとてもシンプルで dM/dx = V(x)、つまり BMD の傾きが SFD の値なんだ。だから SFD が 0 を横切るところで BMD は山か谷の頂点になる。初期値（L=6, P=30, a=2.5, w=10）で SFD を見てごらん。x=a=2.5 のところで V が +22.5 から −7.5 へジャンプしている。この符号反転点で BMD が頂上 M_max=87.5 kN·m に達する。教科書通りの結果だ。
🙋
あ、本当だ。じゃあ集中荷重を 0 にして等分布だけにしたら、頂点はどこに来るんですか？
🎓
やってみよう。P=0、w=10、L=6 にすると、R_A=R_B=30 kN で対称、SFD は左端 +30 から直線で減って中央で 0、右端 −30。BMD は中央 x=3 で最大、値は wL²/8 = 10·36/8 = 45 kN·m。教科書の「等分布荷重を受ける単純梁の最大モーメント wL²/8」がそのまま出てくる。シミュレーターの数値と手計算が一致することを必ず確認してから、複合荷重に進むのが王道だよ。
🙋
なるほど！じゃあ a の位置を動かして P を中央に持っていったら、BMD の三角形が中央でピークになるはずですよね？
🎓
その通り。a=L/2 だと PL/4 が集中荷重単独の最大モーメントになる。複合荷重では、集中分の三角形ピーク（x=a）と分布分の放物線ピーク（x=L/2）が重なり合った形になる。BMD の山頂が、a を端へ寄せると集中荷重側に、a を中央に寄せると中央付近に動くのを観察してみよう。これが「最大応力位置がどこに出るか」を予測する直感を養う一番の練習になる。

よくある質問

下向き荷重を正、上向き反力を正としています。せん断力 V(x) は断面の左側に上向きの合力が残るときを正、曲げモーメント M(x) は梁を下に凸に曲げる向きを正としています（いわゆる「サギング」を正）。BMD のグラフが正側に膨らんでいるとき、梁の下側に引張、上側に圧縮の応力が生じている状態です。設計の符号規約は教科書や規格で異なることがあるため、計算結果を他資料と照合する際は規約の整合に注意してください。
集中荷重 P は「点」に集中した力なので、その位置で SFD は瞬時に P だけ段差を生じます。BMD は SFD の積分なので、SFD が階段状に飛んだ位置では BMD は連続ですが、傾きが急変します。つまり折れ点（折線）になります。逆に外力モーメント M_0 が作用する点では、BMD が M_0 だけジャンプし SFD は連続です。実構造では完全な「点荷重」は理想化で、実際には荷重は微小領域に分布しています。
はい、教科書レベルの手計算で完全に追えます。釣合から R_B = (30·2.5 + 10·6²/2)/6 = (75 + 180)/6 = 42.5 kN、R_A = 30 + 60 − 42.5 = 47.5 kN。せん断力は V(0+) = 47.5、V(2.5−) = 47.5 − 25 = 22.5、V(2.5+) = 22.5 − 30 = −7.5、V(6−) = −7.5 − 35 = −42.5、最後に R_B が加わって V(6) = 0 で釣合います。最大モーメントは V が符号を変える x = a = 2.5 で、M = 47.5·2.5 − 10·2.5²/2 = 118.75 − 31.25 = 87.5 kN·m。シミュレーターの数値（R_A=47.5, R_B=42.5, M_max=87.5, x=2.50）と完全一致するはずです。
最大曲げモーメント M_max が得られたら、曲げ応力は σ = M_max·c / I で計算します。ここで I は断面二次モーメント、c は中立軸から断面の最外縁までの距離です。矩形断面（幅 b・高さ h）なら I = bh³/12、c = h/2 で、断面係数 Z = I/c = bh²/6 を使うと σ = M_max/Z と簡潔に書けます。既定値の M_max = 87.5 kN·m を、例えば H 形鋼 H-300×150（Z ≈ 4.81×10⁻⁴ m³）で受けると σ ≈ 182 MPa。SS400 の許容応力 160 MPa を超えるため、断面アップか部材変更が必要、と判断できます。

実世界での応用

梁部材の断面選定：鉄骨造の梁や木造の根太を設計するとき、まず SFD・BMD で最大せん断力 V_max と最大モーメント M_max を求め、それから許容応力（曲げ・せん断）を満たす最小断面を逆算します。H 形鋼の鋼材表から断面係数 Z と断面二次モーメント I を選び、σ = M_max/Z ≤ σ_allow と τ = V_max/A_w ≤ τ_allow（A_w はウェブ断面積）の両方が満たされる断面を採用します。

クレーンガーダ・橋桁の検討：クレーンの主桁では、走行する集中荷重（吊り荷を含む台車重量）を様々な位置に置いて BMD を作り、各位置の M_max の包絡線（影響線）を取ります。設計値は単一位置の M_max ではなく、可動荷重が全位置を通過した際の最大値で決まります。本シミュレーターで a スライダーを動かすことは、影響線解析の一歩目に相当します。

機械設計のサニティチェック：FEM 解析で複雑な梁構造を解く前後に、その一部を単純な梁モデルに簡略化して理論解と比較します。FEM 結果の最大曲げ応力が理論解と桁オーダーで合わなければ、メッシュ品質や境界条件の設定ミスを疑います。本ツールは現場のサニティチェックに使える簡易電卓として機能します。

教育・授業教材：「せん断力 → 曲げモーメント」の積分関係や「dM/dx = V」を、グラフを動かしながら体感するのは、紙の教科書だけでは難しい部分です。本ツールで荷重を順番に追加（w だけ→P を加える→a を動かす）すると、SFD と BMD がどう変化するかが連続的に見えるため、構造力学の入口教材として有効です。

よくある誤解と注意点

最も多い誤解は、「最大曲げモーメントは荷重の真下に出る」と決め込んでしまうことです。これは「単純梁＋中央集中荷重」だけの話で、複合荷重では最大位置は荷重位置とずれます。例えば一端に近い集中荷重と全長分布荷重が同時にかかる場合、最大モーメントは集中荷重の位置にも、梁の中央にも、その中間にも現れ得ます。本シミュレーターは V(x)=0 となる点を 401 点で離散探索し、さらに集中荷重点を別途評価することで、この位置を正確に求めています。a スライダーを動かしながら M_max 発生位置がどう変化するかを観察するのが、一番確実な学習法です。

次に多いのが、「SFD と BMD は別物だから別々に求める」と思い込むことです。両者は dM/dx = V(x) という積分・微分関係で結ばれた一つのペアです。SFD のグラフ面積が BMD の差分になり、SFD の符号反転位置が BMD の極値位置になります。手計算で BMD を求めるときも、まず反力から SFD を描き、その面積を順次積算して BMD を作るのが定石です。シミュレーターの SFD と BMD のグラフを上下に並べたとき、SFD が 0 を横切る位置で BMD のラインが平坦（接線が水平）になっていることを目視で確認してください。これが理論の整合チェックになります。

最後に、「両端単純支持＝両端ヒンジ」と「両端固定」の区別を曖昧にしないことです。本シミュレーターは両端単純支持（左ピン、右ローラー）を仮定しています。両端固定梁では端部に固定モーメントが発生し、最大曲げモーメントは固定端側に移動します。同じ荷重でも、両端固定にすると中央のモーメントは単純支持の 1/3 程度に下がりますが、端部に最大値が現れます。境界条件は構造設計で最も基本的かつ重要な仮定なので、現物の支持状態が「単純支持に近いのか固定に近いのか」を慎重に判断する必要があります。

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