有效数字·舍入误差·测量不确定度计算器简介
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"测量值的不确定度"，在实验报告中要写，但实际计算时怎么算？比如长度 $10.2 \pm 0.1$ cm 和宽度 $5.00 \pm 0.05$ cm 的矩形面积，不确定度怎么求？
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简单说，原始测量值的不确定度如何"传播"到计算结果，这就是"误差传播"。你这个例子是乘法，要用相对不确定度来算。这个工具的"运算类型"选"乘法"，输入两个测量值和它们的不确定度，按计算，就能一步步看到相对不确定度怎么合成、二乘和平方根怎么算，整个过程都能看清楚。
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哦，相对不确定度的二乘和平方根？好复杂…。那算出来的面积值的有效位数怎么决定？"10.2"是3位，"5.00"也是3位，面积也是3位？
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这是个坑！乘除法不看有效位数，看的是计算出来的"不确定度的位数"。比如算出面积的不确定度是"0.7 cm²"左右，那不确定度精确到小数点后1位，面积本身也要舍入到小数点后1位，这才符合规则。这个工具有"舍入模式"，就是自动按不确定度的位数来帮你舍入，符合JIS和国际GUM标准。
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明白了，不确定度决定了有效数字。那我输入的"不确定度"本身，怎么确定它的值？比如卡尺测和普通尺测，不一样吧？
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问得好！实际上，测量器的说明书里有"最大允许误差"或"分辨率"。卡尺通常最小格是0.05mm，你可以把不确定度设成最小格的1/10，即0.005mm。普通尺子最小格0.5cm，不确定度通常取0.25cm。这个工具的"数轴可视化"能看到，测量值在不确定度范围内的位置，这样就能理解不确定度对整个测量的影响，是做可信工程数据的基础。
物理模型和主要公式
对于独立的测量值 $a \pm \Delta a$ 和 $b \pm \Delta b$ 进行加减法时，结果的绝对不确定度 $\Delta(a \pm b)$ 由各绝对不确定度的二乘和平方根给出。这是在误差统计独立、符合正态分布假设下的标准传播规则。
$$\Delta(a \pm b) = \sqrt{(\Delta a)^2 + (\Delta b)^2}$$
$\Delta a, \Delta b$：输入值的绝对不确定度。这个公式比最坏情况下的简单加法 $\Delta a + \Delta b$ 给出更现实的估计。
对于独立的测量值 $a \pm \Delta a$ 和 $b \pm \Delta b$ 进行乘除法时，结果的相对不确定度 $\frac{\Delta (a \cdot b)}{|a \cdot b|}$ 由各相对不确定度的二乘和平方根给出。要求绝对不确定度，再乘以计算结果的绝对值。
$$\frac{\Delta(a \cdot b)}{|a \cdot b|}= \sqrt{\left(\frac{\Delta a}{a}\right)^2 + \left(\frac{\Delta b}{b}\right)^2}$$
$\frac{\Delta a}{a}, \frac{\Delta b}{b}$：输入值的相对不确定度。用相对不确定度能使误差评估不受值的量级影响。
常见问题
对输入的数值，除去领导零后计数。例"0.0050"的有效数字是2位（5和0）。支持指数记法（1.23e4），整数末尾的零（如100）属于模糊情况，需要用户明确指定。
当测量误差统计独立、符合正态分布时，简单相加（最坏情况）会严重高估。二乘和平方根考虑了各误差互相抵消的可能性，给出更真实的估计。这是GUM（测量不确定度评估指南）的标准做法。
能直观看到计算结果的不确定度范围。如测量值10.0±0.5会显示9.5～10.5，可以快速判断是否与其他值重叠、是否在公差范围内。对实验报告、品质管理说明很有帮助。
可以。不确定度为0时，该值被视为确定值。如a=5.0±0.1与b=3.0±0.0相加，结果为8.0±0.1，b的不确定度不传播。但现实中很少有完全确定的测量值，使用时要谨慎。
实际应用
材料试验·特性评估：拉伸试验的应力-应变曲线中，从斜率求杨氏模量时，荷重传感器和变位计的测量不确定度分别如何传播到最终弹性率，用这个工具可以定量化。用此数据制作材料数据表时，信度会更强。
产品设计与公差分析：多个零件组装成总成时，各零件加工公差（不确定度）对最终尺寸的影响，可用误差传播律估算。这是统计公差设计的基础。
CAE/FEM结果验证：把模拟结果与试验值对比时，试验值的测量不确定度要考虑进去。这样能客观判断"差异有意义"还是"在误差范围内"。
测量器校准与溯源性：校准证书上的测量值都要附带合成的扩展不确定度（基于GUM标准），这涉及标准器的不确定度、环境变动、读数误差等多因素的传播计算。
常见误解与注意点
这类计算最容易踩的坑是混淆"不确定度的位数"和"有效位数"。比如计算结果12.345 ± 0.12，不确定度0.12精确到小数点后2位，那原值也要舍成12.34或12.35（小数点后2位），而不是被5位数字的"12.345"迷惑。这个工具的"舍入模式"就是帮你按照不确定度的位数正确舍入。
其次要注意"0"的处理。测测到1.0和0.5时，有效数字看起来分别2位和1位，但0.5的"5"确实是有效数字。而0.002中的小数点后的"0"是无效领导零。本工具会自动除去领导零，正确计数，可放心用。
最后要理解误差传播公式并非万能。二乘和平方根公式成立于误差独立、随机、较小的情况。若两个量之间有相关性（如温度和长度的热膨胀关联），或不确定度极大，简单公式就不适用了。先用工具掌握基础，再扩展到更复杂的场景。