参数设置
固定参数：矩形截面（宽 b = 高度 h 的正方形）、泊松比 ν = 0.3、剪切修正系数 κ = 5/6。
悬臂梁的挠曲形状
蓝色 = Euler-Bernoulli 挠曲形状 / 红色 = Timoshenko 挠曲形状（夸张显示）/ 左：固定端阴影、右：端部载荷 P
理论与主要公式
长度为 $L$ 的悬臂梁端部作用集中载荷 $P$ 时，端部挠度表示为弯曲贡献与剪切贡献之和。
欧拉-伯努利梁的端部挠度（仅弯曲贡献）：
$$\delta_\text{EB} = \frac{P L^3}{3 E I}$$
铁摩辛柯梁的端部挠度（弯曲 + 剪切）：
$$\delta_\text{T} = \frac{P L^3}{3 E I} + \frac{P L}{\kappa G A}$$
剪切弹性模量 $G$（泊松比 $\nu$）：
$$G = \frac{E}{2(1+\nu)}$$
矩形截面 $b \times h$ 时 $A = bh$、$I = bh^3/12$；矩形的剪切修正系数为 $\kappa = 5/6$。长细比 $L/h$ 越小，剪切贡献率 $\delta_\text{shear}/\delta_\text{T}$ 越大。
什么是铁摩辛柯梁模拟器
🙋
梁的挠度，教科书里给的是 $\delta = PL^3/(3EI)$ 这个公式。但还有所谓的「铁摩辛柯梁理论」吗？
🎓
那是欧拉-伯努利理论，只考虑了弯曲变形。其实梁变形时，除了弯曲，还存在「剪切引起的错动」。铁摩辛柯理论就是把剪切变形也包含进去的更精细理论。在模拟器里看蓝色 EB 和红色 Timoshenko 两条曲线，会发现后者稍微低一点。
🙋
可是默认设置下剪切贡献率只有 0.77%，非常小啊，可以忽略吗？
🎓
好问题。默认的长细比 L/h=10 是相对细长的梁。试试把梁长缩短到 0.20 m，截面高度增大到 200 mm。当 L/h 小于 1，变成「短粗梁」时，剪切贡献率会一下子飙升。短梁、粗梁里剪切是主导。
🙋
啊，真的！长细比小于 3 时贡献率就超过 10% 了。实务中怎么判断呢？
🎓
经验法则是 L/h 小于 10 时建议使用铁摩辛柯理论。比如汽车悬架臂、桥梁加劲肋、复合材料夹层板、I 型钢的局部构件都要注意。FEM 中像 ANSYS 的 BEAM188、Abaqus 的 B31 这类含剪切变形的单元已是标准选择。
🙋
原来如此。还会出现「短粗梁：需用 Timoshenko」的黄色警告呢。剪切修正系数 κ 是什么？
🎓
那是修正截面内剪切应力分布不均匀的系数。真实剪切应力在中性轴处最大、上下边缘为零，呈抛物线分布，但为按平均值处理而加入系数。矩形是 5/6，圆形是 9/10，I 形约 0.4。本模拟器固定矩形截面用 κ = 5/6，先记住「数值随截面形状而变」就够了。
常见问题
欧拉-伯努利理论假定「截面变形后仍与中性轴正交」，即认为截面对剪切应力是无限刚性的。实际上截面会因剪切而错动成平行四边形状，由此产生附加位移。这部分附加位移就是剪切贡献，对悬臂梁而言以 PL/(κGA) 的形式加到弯曲贡献上。梁越短，剪切应力越占主导，贡献也越大。
一般经验是 L/h < 10 时剪切变形不能忽略，L/h < 5 时则成为主导贡献；L/h ≥ 20 时欧拉-伯努利理论实用上已经足够。但杨氏模量与剪切模量之比 E/G 较大的复合材料梁，即使更细长也需要铁摩辛柯理论。夹层板和层合复合材料更需要特别注意。
商用 FEM 软件（ANSYS、Abaqus、Nastran）中，含剪切变形的铁摩辛柯型梁单元已是标准。ANSYS 的 BEAM188、Abaqus 的 B31、Nastran 的 CBEAM 都基于 Timoshenko，可用同一单元处理细长梁到短梁。相反，经典的欧拉-伯努利单元仅在明确是细长梁时才使用。从通用性考虑，选用 Timoshenko 系列更稳妥。
非常重要。忽略剪切变形的欧拉-伯努利理论会把高阶模态的固有频率预测得偏高，特别是高阶模态偏差更明显。第一阶模态在短梁中也会有数百分之一的误差，二阶、三阶模态可能高估 10%～30%。进一步包含转动惯量的「完整版铁摩辛柯梁理论」可同时加入两种修正，与实验吻合较好。涡轮叶片和高层建筑的振动分析中标准采用 Timoshenko 理论。
实际应用
夹层板与复合材料结构：飞机机翼和船舶甲板上使用的夹层板，是用薄面板夹住轻质芯材的结构。相对于面板，芯材的剪切刚度较低，因此即便整体看起来细长，剪切贡献也很大。设计时需要用铁摩辛柯理论或高阶剪切变形理论来评估挠度和固有频率。
桥梁与梁体设计：使用 I 型钢或箱形钢梁的桥梁中，腹板的剪切变形即使在长跨桥也不能忽略。特别是支座附近的局部应力评估或活载荷下挠度的精确预测，都会采用包含剪切变形的模型。钢桥规范中也明确给出了深度／跨度比较大时的修正项。
机械要素的振动分析：涡轮叶片、曲轴、机床主轴等旋转机械的动态分析，标准采用铁摩辛柯理论。尤其要精确求出固有频率的高阶模态，需采用同时考虑剪切变形和转动惯量的公式表达。这直接关系到避免共振设计的精度。
地震反应分析：RC 造的柱、梁构件，在短跨构件中弯-剪耦合行为显著。抗震设计中使用含剪切变形的弹塑性梁单元（多轴弹簧模型等），评估地震时的层间位移和塑性铰形成。经典的欧拉-伯努利单元在此情况下可能给出偏不安全的评价。
常见误解与注意事项
最常见的误解是认为「Timoshenko 理论是小众，实务中 Euler-Bernoulli 就够」。实际上商用 FEM 软件的梁单元（BEAM188、B31、CBEAM 等）默认基于 Timoshenko，已是现代梁分析的主流。Euler-Bernoulli 仅适用于细长梁这一特殊情形，在短梁、复合材料、振动分析中会给出错误结果，因此从通用性考虑应选用 Timoshenko 才是正解。在模拟器里改变长细比观察贡献率，应能把 Timoshenko 重新理解为「更一般的理论」而非「特殊理论」。
其次常见的是把剪切修正系数 κ 当作「始终是 5/6」。κ 强烈依赖于截面形状：矩形约 5/6 ≈ 0.833，圆形 9/10 = 0.9，薄壁圆管约 0.5，I 形截面依赖腹板尺寸约为 0.3～0.5。本模拟器固定为矩形截面，但实际构件若为 I 型钢或管材，不使用恰当的 κ 就会过高或过低地评估剪切贡献。各种截面 κ 的计算公式（Cowper 1966 等）在文献中已系统整理，设计时务必查阅。
最后要注意，不要把「弯曲贡献和剪切贡献可完全独立相加」过度简化。本模拟器在线性、小变形、各向同性材料、矩形截面这一理想条件下相加两项贡献，但实际结构中还涉及弯矩与剪力耦合的二次效应、截面翘曲、材料非线性、屈曲等问题。尤其是短 RC 柱或钢板剪切破坏中，剪切与弯曲的相互作用决定破坏形态，因此本模拟器结果仅应作为弹性、线性范围内「Timoshenko 一阶理论」的入门来理解。