NAFEMS T3是什么问题？

长0.1 m的钢棒（导热系数35 W/mK，密度7200 kg/m³，比热440 J/kgK），初始全部0℃，一端保持0℃，另一端温度按100 sin(πt/40)℃变化的一维瞬态导热。目标是距0℃端0.08 m处32秒时的温度，参考值为36.60℃。

T3的答案如何验证？

可以用包含边界温度变化的本征函数级数精确求解，结果为36.63℃，与参考值36.60℃相差0.1%以内。差分法随单元加密、时间步长减小也逐渐接近36.6℃。

时间积分方法会影响结果吗？

会。40个单元时，Crank-Nicolson法时间步长2秒也有36.52℃，而后向欧拉法为35.61℃，低约1℃。后向欧拉法稳定但只有一阶精度，时间步长0.5秒时也只有36.33℃。检验时间步长的影响是这个基准的目的之一。

NAFEMS T3：一维瞬态导热

分类：V&V·NAFEMS基准 | 2026-10-01 改写

CAE visualization for nafems t3 theory - technical simulation diagram

NAFEMS T3: 二维定常热传导

问题：按正弦波加热的棒

概述

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NAFEMS T3是导热基准题吧。这么简单的一维问题要检验什么？

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这是温度随时间变化的瞬态问题，不仅检验单元细度，还检验时间推进是否正确。棒一端温度按正弦波升降，热量滞后传入内部。目标点温度是边界温度过峰值开始下降后32秒的值，时间积分误差容易直接显现。我们用级数构造精确解，并在差分法中改变单元数和时间步长，看它们如何接近参考值36.60℃。

问题定义

$$ \rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = k\,\frac{\partial^2 T}{\partial x^2},\qquad T(x,0) = 0,\quad T_{hot}(t) = 100\sin\frac{\pi t}{40},\quad T_{cold} = 0 $$

长0.1 m，导热系数35 W/mK，密度7200 kg/m³，比热440 J/kgK（热扩散率1.10×10⁻⁵ m²/s）。求距保持0℃的端0.08 m、即距加热端0.02 m处32秒时的温度，参考值为36.60℃。

级数精确解

$$ T = T_{hot}(t)\left(1-\frac{\xi}{L}\right) + \sum_{n=1}^{\infty} u_n(t)\sin\frac{n\pi\xi}{L},\qquad \dot u_n + \alpha\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 u_n = -\frac{2}{n\pi}\,\dot T_{hot}(t) $$

$\xi$ 为距加热端的距离。用直线分担边界温度，其余部分展开为本征函数级数，各系数变为一阶常微分方程即可求解。取4000项为36.626℃，8000项仍相同。

Coffee Break 随笔闲谈

NAFEMS基准题

NAFEMS于1983年在英国成立，旨在提高有限元等分析技术的可信度。1980年代后期到1990年前后，它整理了线性弹性（LE）、热（T）、振动（FV）等标准基准题，使任何软件都能求解同一问题并比较结果。许多商用软件的验证手册至今仍收录这些问题和参考值。T3是其中检验瞬态导热时间积分的基本问题。

算例：差分法的收敛

单元数、时间步长与时间积分

单元数	CN·Δt 2 s	CN·Δt 0.5 s	后向欧拉·Δt 2 s	后向欧拉·Δt 0.5 s
5	34.83	34.89	34.22	34.73
10	35.90	35.96	35.09	35.75
20	36.38	36.44	35.49	36.20
40	36.52	36.58	35.61	36.33

单位℃，CN为Crank-Nicolson法。40个单元、CN、Δt 0.05 s时为36.58℃。级数解为36.63℃，参考值为36.60℃。

温度随时间变化

时刻	加热端温度	目标点温度
8 秒	58.8 °C	2.8 °C
16 秒	95.1 °C	14.9 °C
24 秒	95.1 °C	28.8 °C
32 秒	58.8 °C	36.6 °C
40 秒	0.0 °C	33.9 °C

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加热端温度在20秒达到峰值，目标点却还在上升。

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热量传播0.02 m所需时间约为距离平方除以热扩散率，约36秒，与边界变化周期（80秒）相当。所以目标点温度滞后于边界：32秒时仍在上升，边界回到0℃的40秒时仍有34℃。要正确表示这种滞后，时间积分不能使相位偏移。后向欧拉法数值阻尼大，会把变化抹平，Δt 2 s时低约1℃。Crank-Nicolson法为二阶精度，Δt 2 s与0.5 s只差0.06℃。单元数影响也很大，5个单元低近2℃。40个单元加Δt 0.5 s，与参考值的差才在0.1%以内。

基准题的用法

先准确理解问题定义（目标点位置、哪端是加热端）。
单元数逐次加倍，由数值变化确认收敛阶。
同样改变时间步长，把时间积分误差与空间误差分开评估。
确认所用软件默认的时间积分方法（后向欧拉、CN等）。
记录结果时不仅记录与参考值之差，还要记录单元数和时间步长。

Coffee Break 随笔闲谈

“把位置读反了”

某软件验证中计算T3，目标点温度为0.09℃，与参考值36.60℃完全不符。怀疑软件有缺陷去查，原因却是读错了题：把“0.08 m处”从加热端量起。改在距0℃端0.08 m、即距加热端0.02 m处评估，就得到了36.6℃。教训是：做基准题时，计算前先准确读懂问题定义。

常见错误

错误与对策

错误	后果	对策
从错误的一端量取	得到0.09℃等完全不同的值	确认定义
时间步长大	峰值被抹平	改变步长确认
只用后向欧拉判断	约1℃误差	也试二阶方法
单元粗	近2℃误差	逐次加倍单元
物性单位错误	热扩散率差几个数量级	计算α确认

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