半无限固体的非定常热传导
理论：只向一侧无限延伸的物体
概述
“半无限大物体”——现实中没有无限厚的东西吧？它有什么用？
热的传播速度有限，所以表面突然加热或冷却后的一段时间内，只有表面附近的薄层发生变化。这段时间里，背面在哪里都不影响结果。因此淬火的最初几秒、地面冻结、手触碰物体的瞬间、激光短脉冲等“短时间现象”，几乎都能按半无限大物体用解析解估算。它也是校核FEM结果最常用的基准解。
控制方程与三种边界条件
考虑初始温度为 $T_i$ 的均匀物体，热量从表面 $x=0$ 传入内部 $x>0$ 的一维非稳态导热：
(1) 表面温度突变为 $T_s$：解可用误差函数表示，表面热流随 $1/\sqrt{t}$ 衰减。
(2) 表面恒定热流 $q_0''$：激光加热或摩擦发热的模型，表面温度与 $\sqrt{t}$ 成正比上升。
(3) 表面与流体（温度 $T_\infty$、换热系数 $h$）对流：当 $h \to \infty$ 时与 (1) 一致。
它们都出现了 $x/(2\sqrt{\alpha t})$ 这个组合。
这正是半无限大物体最重要的特点。没有特征长度，长度只能用 $\sqrt{\alpha t}$ 来度量。也就是说，同样的温度变化传到两倍深度需要四倍时间。记住这个 $\sqrt{t}$ 规律，就能迅速判断实验或FEM结果是否合理。
渗透深度与可视为“半无限”的条件
在 $x = 4\sqrt{\alpha t}$ 处，温度变化小于表面变化的0.5%。厚度为 $L$ 的平板，在该深度到达 $L$ 之前（傅里叶数约小于0.06）可按半无限大物体处理。典型材料的渗透深度如下：
| 材料（热扩散率） | 1秒 | 1分钟 | 1小时 |
|---|---|---|---|
| 铝（9.8×10⁻⁵ m²/s） | 40 mm | 306 mm | 2.4 m |
| 碳钢（1.4×10⁻⁵ m²/s） | 15 mm | 115 mm | 0.89 m |
| 混凝土（6.9×10⁻⁷ m²/s） | 3.3 mm | 26 mm | 0.20 m |
用热传导估算地球年龄的故事
19世纪，开尔文勋爵把地球视为“最初均匀高温、从表面开始冷却的半无限大物体”，由地表附近测得的温度梯度反推冷却所需时间。他得到的年龄约为数千万年到一亿年，远短于地质学家和进化论一方的设想。后来发现了放射性元素发热和地幔对流，证明这一估计有误。但利用误差函数解的 $\sqrt{t}$ 特性由测量反推时间的思路，至今仍用于无损检测等领域。
算例
例1：土壤冻结深度
初始温度20℃的土壤（热扩散率 $\alpha = 1.38\times10^{-7}$ m²/s）地表突然降至 −15℃ 并保持。由解 (1)，$\operatorname{erf}(\eta) = 15/35 = 0.429$ 得 $\eta \approx 0.400$，0℃ 面的深度为 $x = 2\eta\sqrt{\alpha t}$。
| 经过天数 | 0℃ 深度 |
|---|---|
| 30 | 0.48 m |
| 60 | 0.68 m |
| 90 | 0.83 m |
期限增加到三倍，深度只增加到 √3≈1.7 倍。这就是水管埋深和寒冷地区基础埋深只需几十厘米到一米左右的原因。实际上积雪、植被的隔热以及水的凝固潜热会使冻结更浅，所以该计算偏于安全。
例2：金属为什么摸起来凉（接触温度）
两个温度不同的半无限大物体接触时，界面温度 $T_c$ 不随时间变化，等于以蓄热系数 $e$ 加权的平均值：
取皮肤 $k=0.37$ W/(m·K)、$\rho=1000$ kg/m³、$c=3500$ J/(kg·K)（$e \approx 1140$），表面34℃，接触20℃物体时的界面温度如下：
| 材料 | 蓄热系数 e [W·s1/2/(m²·K)] | 界面温度 |
|---|---|---|
| 铝 | 24,000 | 20.6 ℃ |
| 钢 | 13,400 | 21.1 ℃ |
| 玻璃 | 1,620 | 25.8 ℃ |
| 木材（针叶材） | 310 | 31.0 ℃ |
| 发泡聚苯乙烯 | 30 | 33.6 ℃ |
温度计上同样是20℃，指尖感受到的温度却相差10℃。
因为人感受到的是皮肤表面的温度，而不是物体的温度。这个公式在产品设计中也很常用：家电外壳、门把手摸起来的冷热感，烫伤评估，模具与树脂界面温度的初值等，都可以先用它估算，再用FEM细化。
例3：恒定热流下的表面温升
对钢（$k=50$ W/(m·K)、$\alpha = 1.38\times10^{-5}$ m²/s）表面施加 1 MW/m² 的热流，由 (2) 取 $x=0$ 得 $\Delta T_s = 2q_0''\sqrt{\alpha t/\pi}/k$：0.1秒后约升高27 K，1秒后约84 K。时间增加10倍，温升只增加 $\sqrt{10}\approx3.2$ 倍。短脉冲激光加工“提高功率、缩短时间”能减轻对母材的影响，正是这个道理。
用FEM求解与校核
表面附近的网格
- 在表面加密网格，使最早关心的时刻 $t_1$ 的渗透深度 $4\sqrt{\alpha t_1}$ 内至少包含若干个单元。钢在 $t_1 = 0.1$ 秒时渗透深度只有约5 mm。
- 越往内部单元可以越大，但相邻单元尺寸不要突变（每次约1.2～1.5倍）。
- 模型厚度要明显大于分析终了时刻的渗透深度。否则背面边界条件会影响结果，与半无限解对不上。
时间步长与初期振荡
表面温度突变的问题，最初几个时间步最难。隐式积分即使步长很大也不会发散，但步长太粗就抓不住表面附近陡峭的温度梯度。反过来，二次单元若步长过小，表面温度变化会在单元内振荡，出现低于初始温度（加热反而变冷）等非物理数值。Abaqus 手册对二次单元的非稳态传热给出的参考为 $\Delta t > \rho c\,\Delta\ell^2/(6k)$（$\Delta\ell$ 为表面单元尺寸）。
那怎样避免振荡？
基本做法是加密表面单元，并从满足上述参考的步长开始。改用一次单元、让表面温度在极短时间内斜坡上升，也是可行的办法。无论哪种，都应先在表面附近几个点与误差函数解比较确认，再进入正式模型。
用误差函数解校核
- 用实际材料和温差建立一维模型（细长杆或薄片），厚度明显大于终了时刻的渗透深度。
- 保持表面温度恒定求解，把若干深度的温度历程和表面热流与解 (1) 比较。
- 表面热流按 $1/\sqrt{t}$ 变化，越早期误差越大。调整网格和步长，直到最初几步的误差可以接受。
- 把同样的网格和步长设置应用到实际几何模型的表面附近。
淬火分析中“最初1秒”对不上的原因
淬火时，高温零件进入水或油后，表面换热系数会剧烈变化。被蒸汽膜覆盖时传热很差，蒸汽膜破裂、开始沸腾后冷却突然加快。表面附近的温度会立即响应，因此用恒定换热系数的模型，往往对不上最初1秒左右的冷却曲线。先用半无限大物体的公式估算表面温度变化的快慢，再把换热系数设为温度的函数，就更容易缩小与测量的差距。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 渗透深度超过板厚后仍用半无限公式 | 忽略背面影响，温度出错 | 检查 $Fo = \alpha t/L^2$，若较大改用平板解或数值解 |
| 混淆导热系数 $k$ 与热扩散率 $\alpha$ | 时间尺度相差数量级 | 每次计算 $\alpha = k/(\rho c)$ 并确认单位为 m²/s |
| 表面单元过粗 | 严重低估初期表面热流 | 在初期渗透深度内布置若干单元 |
| 把接触面视为完全接触 | 实际上接触热阻会改变界面温度 | 按粗糙度和面压给出接触热导 |
| 把随温度变化的物性固定为室温值 | 温差大时误差增大 | 解析解用于估算，细节用考虑温度依赖物性的FEM |
我想改变参数看看温度分布是如何扩展的。
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错误