MMS: 压缩欧拉方程
可压缩欧拉方程MMS的理论基础
守恒形式与验证对象
可压缩欧拉方程是密度、动量、总能的守恒律方程组（二维、带源项）：
$$ \frac{\partial \mathbf{Q}}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{F}(\mathbf{Q}) = \mathbf{S}, \qquad \mathbf{Q} = \begin{pmatrix} \rho \\ \rho\mathbf{u} \\ E \end{pmatrix}, \quad E = \frac{p}{\gamma - 1} + \frac{1}{2}\rho|\mathbf{u}|^2 $$
MMS的做法是先取原始变量 \( (\rho_m, \mathbf{u}_m, p_m) \) 的制造解，代入守恒形式的左端，导出各方程的源项 \( \mathbf{S} = (s_\rho, \mathbf{s}_{\rho u}, s_E) \)。由于没有粘性项，推导本身比Navier-Stokes短，但双曲型方程组特有的难点——基于特征理论的边界条件、正定性、与激波捕捉格式的相互作用——才是验证的主战场。
制造解的设计——正定性与光滑性
我照着热传导MMS的套路放了个sin型制造解，结果算例立刻因为"负压力"崩掉了……
这是可压缩MMS的第一课。欧拉方程组中密度和压力必须在物理上为正，求解器本身也是按正定性前提写的。所以制造解的定番设计是"常数值＋小幅扰动"的形式，例如 \( \rho_m = \rho_0\,[1 + 0.1\sin(\pi x)\cos(\pi y)] \)，把扰动幅值压在基准值的10～20%，保证全场 \( \rho_m > 0,\ p_m > 0 \)。顺带一提，马赫数分布也是设计对象，一开始就要决定全场统一为亚声速还是超声速——因为边界条件的处理方式完全不同。
特征理论与边界条件的个数
在双曲型方程组中，边界上可以指定的条件数由入射特征的条数决定。二维欧拉的特征速度为 \( u_n - c,\ u_n,\ u_n,\ u_n + c \) 共4条（\( c \) 为声速），指定个数随边界处的流动状态而变。
| 边界状态 | 入射特征数（二维） | 应指定量的示例 |
|---|---|---|
| 超声速入流 | 4（全部） | 全部变量由制造解给定 |
| 亚声速入流 | 3 | 例：总温、总压、气流角（1个变量从内部外推） |
| 亚声速出流 | 1 | 例：仅指定静压，其余外推 |
| 超声速出流 | 0 | 全部外推（什么都不指定） |
MMS同样遵守这条规则：只对允许指定的条数给出制造解的值，才是正确的验证。若在所有边界把全部变量都用Dirichlet条件固定，亚声速情形就成了过约束，会在边界附近产生非物理的误差层，污染观测精度阶。这是可压缩MMS最高频的失败。
源项推导与精度阶验证的手法
推导要在守恒形式上做
源项要按求解器实际离散的形式推导。有限体积求解器解的是守恒形式，如果按原始变量写的非守恒形式导出源项再注入，即使在连续层面等价，作为离散层面的验证也是不合格的做法。用SymPy等的流程为：①定义原始变量的制造解，②符号化地构造守恒变量与通量，③对 \( \partial_t \mathbf{Q} + \nabla\cdot\mathbf{F} \) 求导得到各式的源项，④做CSE（公共子表达式消除）后生成代码。能量方程的源项因为牵涉压力功与动能的导数而最为冗长，务必通过与数值微分的随机点比对。
关闭限制器与人工粘性再测量
可压缩求解器标配了用于激波捕捉的限制器与人工粘性。它们在光滑解上也可能被触发，把局部精度阶压到一阶，妨碍对格式固有精度阶的验证。验证的规矩分两段：
- 第一段：关闭限制器（或使用在光滑区不激活的限制器）确认名义精度阶——验证离散化本身
- 第二段：在实际运行配置（限制器开启）下记录精度阶还能保持到什么程度——把握实用状态的误差行为。此处掉阶本身是设计使然，目的是知道掉多少
误差评估按守恒变量分别进行
误差范数要对 \( \rho, \rho u, \rho v, E \)（或原始变量 \( \rho, u, v, p \)）分别计算，以所有变量都以名义精度阶收敛作为合格判据。若只有一个变量精度阶偏低，就能把缺陷缩小到与该变量相关的边界处理或通量计算上（例如只有能量偏低→典型原因是边界处温度、压力外推的精度阶不足）。含时间推进时，与NS-MMS一样把空间与时间的验证分开做。
实务应用流程
标准验证方案的构成
- 二维亚声速MMS——马赫0.3～0.5左右的光滑流场。连同特征边界（入流指定3个、出流指定1个）的实现一起确认精度阶
- 二维超声速MMS——马赫1.5～3左右。全指定入流＋全外推出流，验证边界的另一条代码路径
- 三维化——用各方向波数不同的制造解，检出维度相关的缺陷（下标搞错等）
- 实用配置下的复测——记录限制器与人工粘性开启时的有效精度阶
这四项一套下来，通量计算、边界处理、多维推广这几条主要路径就基本覆盖了。若要验证壁面（滑移边界），一开始就要决定：是把制造解的速度场设计成在边界上与壁面平行，还是当作允许穿透的带源项边界来处理。
MASA收录解与已知精确解的利用
MASA库中收录了欧拉方程用的、已验证的制造解（二维/三维、亚声速设计），可作为自行推导结果的比对对象。此外可压缩领域还有等熵涡（isentropic vortex）输运这一精确解，无需注入源项即可测量时间推进格式的精度阶，是经典基准算例。"先用等熵涡确认基本功→再用MMS覆盖边界与全部项"的两段式，是代码验证方案在实务上的定番构成。
报告格式
报告书中应记载：①制造解的公式与幅值、马赫数设计，②各边界类型下所指定的量，③网格序列与加密比，④分变量的误差范数表与观测精度阶，⑤限制器开启/关闭各自的结果。其中②尤其是可重现性的关键——没有写明"亚声速入流指定了什么"的验证报告，第三方无法复现。
各求解器的实施方法
各求解器对应表
| 求解器 | 源项的注入方式 | 实务备注 |
|---|---|---|
| SU2 | 改造源代码（开源），或经Python wrapper自定义源项 | 验证套件中有MMS算例；研究用途实绩丰富 |
| OpenFOAM（rhoCentralFoam等） | fvOptions／改造求解器 | 注意中心迎风类格式的限制器设置 |
| Ansys Fluent（密度基） | UDF（DEFINE_SOURCE，逐方程） | 核对能量方程源项的单位（W/m³）与E的定义 |
| 自研代码 | 生成的代码直接嵌入 | 验证自由度最大，易于把精度阶测试接入CI |
实现前应确认的"定义差异"检查清单
- 总能的定义——用的是 \( E \)（单位体积总能）、\( e \)（内能）还是 \( h_0 \)（总焓）？能量方程源项的形式会随之改变
- 比热比与气体常数——推导时用的 \( \gamma, R \) 必须与求解器设置一致。注意空气默认值（1.4 / 287）的隐含假设
- 无量纲化——若求解器内部为无量纲，源项也要用相同的参考量无量纲化后再传入
- 源项的符号约定——是加在右端还是移到左端？以手册中方程的写法为准
前沿研究动态
高阶格式（DG·FR）的验证竞赛
间断伽辽金（DG）与Flux Reconstruction类高阶格式的名义精度阶高达四阶、六阶，因此用MMS实证精度阶已成为其开发文化的一部分。在国际研讨会（高阶CFD方法的对比活动）上，以共同的MMS与等熵涡问题横向比较"误差 vs 自由度""误差 vs 计算时间"已是标准流程，MMS由此超越了单纯的内部验证，成为格式间比较的共同语言。
熵稳定格式与结构保持
随着在离散层面满足熵不等式的熵稳定格式不断发展，验证项目也从单纯的"精度阶"扩展到结构的保持（熵收支、动能守恒性、自由流保持）。先用MMS确认精度阶，再叠加自由流保持测试（均匀来流会不会被扰乱）与熵收支测量的多层验证，已是当代可压缩求解器开发的标准。
含激波的验证研究
光滑的MMS无法验证激波捕捉能力。针对含间断的验证，学界正在研究严格满足激波关系式的分片制造解、运动激波的精确解、与激波贴体网格的比较等。实务上的整理是这样的分工："光滑区的精度阶用MMS，激波的位置与强度用Riemann问题类基准算例"。跨越激波的全局范数其精度阶在理论上就会降到一阶，在那里要求高阶属于验证设计上的错误。
故障排查
按症状的原因与对策
| 症状 | 可能原因 | 对策 |
|---|---|---|
| 出现负密度·负压力后立刻发散 | 制造解的扰动幅值过大 | 把幅值降到基准值的10～20%。推导时确认全场 \( \rho_m, p_m \) 的最小值 |
| 仅边界附近误差偏大且掉阶 | 亚声速边界过约束、ghost cell外推精度阶不足 | 按特征理论修正指定条数。边界外推取与内部格式同阶 |
| 精度阶在全场卡在一阶 | 限制器·人工粘性在光滑解上被触发 | 第一段验证中予以关闭。检查TVB常数等阈值 |
| 只有能量的精度阶偏低 | E的定义不一致、边界处温度/压力外推有缺陷 | 对照定义检查清单。用分变量误差把边界单独评估 |
| 加入源项后定常计算不收敛 | 漏掉了源项的时间依赖部分／定常MMS混入了时间项 | 做定常验证就从制造解中去掉 \( t \)。确认残差停滞的量级 |
| 二维合格但三维出不来精度阶 | 方向下标搞错、z方向通量有缺陷 | 用各方向波数不同的制造解，确认误差的方向依赖性 |
排查的最短路径
到底是边界有问题、通量有问题，还是源项有问题……排查有没有先后顺序？
三步就能锁定。第一步：源项的随机点比对——先给推导与代码生成洗清嫌疑。第二步：周期边界的制造解（用全方向周期的流场）——把边界处理排除在验证之外，只测内部格式的精度阶。这里若出不来精度阶，凶手就是通量或重构。第三步：把边界类型一种一种加回来——按周期→超声速进出流→亚声速进出流的顺序提高难度，定位在哪种边界上崩掉。再结合误差的空间分布来看，凶手在边界附近还是遍布全场就一目了然。这套步骤不限于可压缩，对双曲型方程组的MMS普遍适用。
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