連続の式 — CAE用語解説

「質量は消えないし湧かない」という事実を数式にしたものだから、当たり前に見えるのは正しい感覚だ（笑）。でもCFDでは離散化の段階で保存性が崩れることがあって、そこで問題になる。連続の式 div(rho*u) = 0 （非圧縮では div(u) = 0）が各計算セルで正確に満たされているかが、計算の信頼性の指標になる。解析後のpost-processingで「入口と出口の流量差が0.1%以内か」を確認するのは業界の基本作業だよ。

違う。非圧縮（密度が変わらない流れ、マッハ数<0.3程度）では div(u) = 0——速度発散ゼロ、つまり流体の体積も変化しないという条件になる。圧縮性流れでは密度rhoが変わるから partial(rho)/partial(t) + div(rho*u) = 0 という時間微分付きの形になる。ソルバーの選択もここで変わってくる——OpenFOAMのicoFoam、simpleFoamは非圧縮、rhoSimpleFoamは圧縮性対応だ。音速付近の流れや超音速では圧縮性は無視できない。

非圧縮流れでは圧力方程式が連続の式から導かれる。Navier-Stokes方程式（運動量）から速度を求めようとするとき、その速度が連続の式（div u=0）を満たすように圧力を修正する——これがSIMPLE法やPISO法の本質だ。圧力はいわば「速度が連続の式を守るように調整する代理変数」として機能する。これが非圧縮CFDで「圧力ポアソン方程式」を解くという処理の意味で、このステップが計算時間の大半を占めることが多い。

質量が計算内部で「湧き出す」「消える」ことになるから物理的に意味のない結果になる。OpenFOAMの残差モニタリングではcontinuity errorsという出力が毎ステップ表示される——initial残差が下がらない場合は時間刻み・緩和係数・メッシュ品質のどこかに問題がある。特に非構造格子で歪んだセル（skewnessが0.9以上）があると連続の式の残差が高くなりやすい。checkMeshコマンドでメッシュ品質をスクリーニングしてからソルバーを走らせるのが基本手順だよ。

速度場自体の連続の式は変わらない。ただしRANSモデルを使うとfiltering（時間平均や空間フィルタリング）によって平均速度の連続の式になる——形は同じだが変数が時間平均値になる。LESでは空間フィルタリング後の式になる。この連続の式をどの精度で解くかがソルバーの精度を決める基礎になる。圧縮性LESや反応性流れでは密度変動が入ってくるから連続の式も密度依存の完全形を解く必要があって、燃焼シミュレーションが計算コストを高い理由の一つでもある。